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专题07 三角恒等变换与解三角形和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力1和差角公式(1)cos()coscossinsin；(2)sin()sincoscossin；(3)tan().2倍角公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3) tan2.3半角公式(1)sin；(2)cos；(3)tan；(4)tan.4正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)5余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.6面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.7解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；(4)已知三边，利用余弦定理求解8“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.考点一三角恒等变换及求值例1、【2017山东，文7】函数 最小正周期为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以其周期,故选C 【变式探究】(1)(2016高考全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.【答案】，tantantan.如图，在RtACB中，不妨设A，由sin 可得，BC3，AB5，AC4，B，tan B，tantan B. (2)(2016高考全国卷)若tan ，则cos22sin 2()A.B.C1 D.【答案】A (3)设，且tan ，则()A3 B3C2 D2【答案】C【解析】通解：由tan 得，即sin cos cos sin cos ，所以sin()cos ，又cos sin，所以sin()sin，又因为，所以，0，因为，所以2，故选C.【方法规律】1三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍公式降幂； (4)弦、切互化：切化弦，弦化切，减少函数种类2解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小【变式探究】已知sin，cos 2，则sin 等于()A. BC D.考点二正、余弦定理的简单应用例2、【2017课标3，文15】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60，b=，c=3，则A=_.【答案】75【解析】由题意： ，即 ，结合 可得 ，则. 【变式探究】(1)(2016高考全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A()A. B.C. D.【答案】D【解析】通解：设BC边上的高为AD，则BC3AD，DC2AD，所以ACAD.由正弦定理，知，即，解得sin A，故选D.优解：设出BC长度求边，用正弦定理求sin A.设BC3，则高ADBD1，DC2.AC，sin A. (2)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_【答案】形时，S22sin 60.【方法技巧】1解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到2关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”【变式探究】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin 2A，且c，C，则ABC的面积是()A. B.C. D.或考点三正余弦定理的综合应用例3、【2017课标1，文11】ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，a=2，c=，则C=A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，即，所以由正弦定理得，即，因为ca，所以CA，所以，故选B 【变式探究】已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C3cos Acos B，tan Atan B1，c.(1)求的值；(2)若1，求ABC的周长与面积【解析】(1)由sin C3cos Acos B可得sin(AB)3cos Acos B，即sin Acos Bcos Asin B3cos Acos B，因为tan Atan B1，所以A，B，两边同时除以cos Acos B，得到tan Atan B3，因为tan(AB)tan(C)tan C，tan(AB)，所以tan C【方法规律】1注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解2写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点才得分【变式探究】在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,2acos C2ccos Aac. (1)若，求的值；(2)若C，且ca8，求ABC的面积S.解：(1)2acos C2ccos Aac由正弦定理：2sin Acos C2sin Ccos Asin Asin Csin Asin C2sin(AC)2sin(B)2sin Bac2b，由得：.(2)ca8，ac2b，ba4，ca8，C.由余弦定理得：(a8)2a2(a4)22a(a4)cos，解得：a6，b10.所以Sabsin C61015.考点四三角形的交汇问题例4、已知向量m(sin x，1)，n，函数f(x)(mn)m(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a3，g，sin Bcos A，求b的值cos A，在ABC中，sin Bcos A0，sin B.由正弦定理：，b3.【方法规律】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直 、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 【变式探究】在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(2sin(AC)，)，向量n，且mn.(1)求角B的大小；(2)若sin Asin Csin2B，求ac的值1.【2017课标1，文11】ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，a=2，c=，则C=A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，即，所以由正弦定理得，即，因为ca，所以Cc, a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.于是=.【考点定位】解三角形、三角恒等变换.22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，设函数，且的图象过点和点.（）求的值；（）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.【答案】（I）.（II）函数的单调递增区间为.【解析】解得.【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.23. 【2014高考四川第16题】已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若是第二象限角，求的值.【答案】（1）；（2）,.【解析】（1）；（2）由题设得：，即，.若，则，若，则.【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.24.【2014高考浙江文第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，（I）求角的大小；（II）若，求的面积. 【答案】（1）；（2），所以；（2）由，得，由，得，从而，故，所以的面积为【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 25.【2014高考重庆文科第17题】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（I）求和的值；（II）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.1已知2sin 21cos 2，则tan 2()A B.C或0 D.或0【答案】D【解析】基本法：，或tan 20或tan 2.2若tan 2tan，则()A1 B2C3 D4【答案】C【解析】基本法：，tan 2tan，3.故选C.3已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为()(导学号 55460112)A. B. C. D.或【答案】A【解析】依题意得sin，cos .注意到sin()(否则，若，则有0，0sin sin()，这与“sin()sin ”矛盾)，则cos()，sin sin()sin()coscos()sin .4函数f(x)sin 2xtancos 2x的最小正周期为()A.BC2D 4【答案】B【解析】f(x)sin 2xcos 2xsin，函数f(x)的最小正周期T.5已知tan(3)，tan()，则tan _.【答案】【解析】基本法：依题意得tan ， 又tan()，tan tan().6已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_【答案】1【解析】基本法：由sin 2cos 0得tan 2.2sin cos cos21.7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A(2sin Bsin C)b(2cb)sin C，则A_【答案】1208.如图，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为_米【答案】400 (400)280022400800cos 15040021 3，解得AC400(米)故索道AC的长为400米9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值(1)证明：由题意知2，化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B.ABC，sin(AB)sin(C)sin C，从而sin Asin B2sin C，由正弦定理得ab2c.(2)解：由(1)知c， cos C，当且仅当ab时，等号成立，故cos C的最小值为.45
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