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1.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值)2了解二次函数的广泛应用3了解幂函数的概念4结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况知识点一 幂函数 1幂函数的定义形如_(R)的函数称为幂函数，其中x是_，为_2五种幂函数的图象3五种幂函数的性质答案1yx自变量常数3RRR0，)(，0)(0，)R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶奇非奇非偶奇0，)(，0增增(0，)(，0)1判断正误(1)函数f(x)x2与函数f(x)2x2都是幂函数()(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)()(3)幂函数的图象不经过第四象限()答案：(1)(2)(3)2(必修P82A组第10题改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A. B1C. D2解析：因为f(x)kx是幂函数，所以k1.又f(x)的图象过点，所以，所以，所以k1.答案：C知识点二 二次函数 1二次函数的三种常见解析式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，(m，n)为顶点坐标；(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2分别是f(x)0的两实根2二次函数的图象和性质函数二次函数yax2bxc(a，b，c是常数，a0)图象a0a.答案：C5已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_解析：如图，由图象可知m的取值范围是1,2答案：1,2热点一幂函数的图象与性质 【例1】(1)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()(2)当0x1时，f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_【解析】(1)设幂函数的解析式为yx，幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，24，解得.y，其定义域为0，)，且是增函数，当0xg(x)f(x)【答案】(1)C(2)h(x)g(x)f(x)【总结反思】(1)幂函数解析式一定要设为yx(为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.比较下列各组数的大小：(1)1.1，0.9，1；(2) ，(1.1) .解：(1)把1看作1，幂函数yx在(0，)上是增函数00.911.1，0.911.1，即0.911.1.(2)因为，(1.1) (1.12) 1.21，幂函数yx在(0，)上是增函数，且1.21.4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()解析：若0a1，则ylogax单调递增，y(a1)x2x开口向上，其图象的对称轴在y轴右侧，排除B.故选A.答案：A热点三 二次函数的性质及应用 考向1二次函数的单调性问题【例3】已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间【解】(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.所以实数a的取值范围是(，64，)(2)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6且f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0考向2二次函数的最值问题【例4】已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值【解】函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.考向3二次函数中的恒成立问题【例5】已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，求实数a的取值范围【解】由题意知2ax22x30在1，1上恒成立，当x0时，30，适合；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以abc，且abc0，则它的图象是()(2)(2017定州模拟)已知函数f(x)x24x在区间1，n上的值域是5,4，则n的取值范围是()A2,5 B1,5C1,2 D0,5(3)(2017开封模拟)已知f(x)x22(a2)x4，如果对x3,1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为_.解析：(1)因为abc，且abc0，得a0，且c0，所以f(0)c0恒成立，所以讨论对称轴与区间3,1的位置关系得：或或解得a或1a4或a1.所以a的取值范围为.答案：(1)D(2)A(3)1求二次函数的解析式常用待定系数法2二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，可分成三个类型(1)顶点固定，区间也固定(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数3二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图象的顶点处取得- 10 -
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