【新步步高】(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题一 集合与常用逻辑用语、函数 第3讲 函数的应用 理

【新步步高】(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题一 集合与常用逻辑用语、函数 第3讲 函数的应用 理 第3讲 函数的应用 61(2014北京)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) x A(0,1) C(2,4) B(1,2) D(4，) 22(2014江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x)|x 12x|.若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围2 是_ 3(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718?为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时 4(2014湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F76 000vv18v20l2 (1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时； (2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现. 2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题 . 热点一 函数的零点 1零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程 1 f(x)0的根 2函数的零点与方程根的关系 函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标 1例1 (1)(2015杭州模拟)函数f(x)lg x( ) x A(0,1) C(2,3) xB(1,2) D(3,10) (2)已知函数f(x)ex，g(x)ln xx，h(x)ln x1的零点依次为a，b，c，则( ) Aa<b<c Cc<a<b Bc<b<a Db<a<c 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解 跟踪演练1 (1)函数f(x)x2在xR上的零点的个数是( ) A0 B1 C2 D3 (2)已知定义在R上的函数f(x)满足： ?x2，x0，1?，f(x)?2?2x，x1，0?，?22x 2x5且f(x2)f(x)，g(x)f(x)g(x)在x2 区间5,1上的所有实根之和为( ) A5 C7 B6 D8 热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 ?b，ab1，例2 (1)对任意实数a，b定义运算“?”：a?b?a，ab<1. 设f(x)(x1)?(42 x)，若函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( ) A(2,1) B0,1 2 C2,0) D2,1) (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是( ) A多于4个 C3个 B4个 D2个 思维升华 (1)f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；(2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域 跟踪演练2 (1)(2015绍兴模拟)若函数f(x)mlog2x(x1)存在零点，则实数m的取值范围是( ) A(，0 C(，0) B0，) D(0，) x(2)(2015湖南)若函数f(x)|22|b有两个零点，则实数b的取值范围是_ 热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答 例3 一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计 (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价 3 思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去 (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法 跟踪演练3 (1)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是 ( ) A560万元 C350万元 B420万元 D320万元 (2)某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为_元 1f(x)2sin xx1的零点个数为( ) A4 B5 C6 ?21，x>0，2已知函数f(x)?2?x2x，x0，?x D7 若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的 取值范围是_ 3已知函数f(x)5x2，g(x)log5xx2的零点分别为x1，x2，则x1x2的值为_ 4在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 _m. x 提醒：完成作业 专题一 第3讲 4 二轮专题强化练 专题一 第3讲 函数的应用 A组 专题通关 21函数f(x)ln(x1)的零点所在的区间是( ) x 1A(，1) 2 C(e1,2) B(1，e1) D(2，e) 1x2已知函数f(x)()cos x，则f(x)在0,2上的零点个数是( ) 4 A1 C3 1?x2，x<0，3函数f(x)?2 ?x1，x0 A2 C0 22B2 D4 的所有零点的和等于( ) B1 D1 4若函数f(x)x2a|x|4a3的零点有且只有一个，则实数a等于( ) A. C.33 2232B3 2D以上都不对 2?x1，1x1，?5定义在R上的函数f(x)满足f(x4)f(x)，f(x)?log2?|x2|2?，1<x3. 若关于x的方程f(x)ax0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是( ) 11A(，) 43 1C(167) 6 ?2a，x0，6若函数f(x)?ln x，x>0x11B() 641D(815) 6 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_ 5 7某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低，该企业_年后需要更新设备 8我们把形如y(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地|x|a 称为“囧函数”，若当a1，b1时的“囧函数”与函数ylg|x|的交点个数为n，则n_. 9已知函数f(x)mx2x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围 10随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 3万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的4 益，该公司应裁员多少人？ 6 2b B组 能力提高 11已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0x1时，f(x)x.如果函数g(x)f(x)(xm)有两个零点，则实数m的值为( ) A2k(kZ) C0 1B2k或2kkZ) 41D2k或2kkZ) 42 12(2014浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进 行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大 小(仰角为直线AP与平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m，BCM 30，则tan 的最大值是( ) A.30304353 B. C. D. 51099 ?x1，x0，13已知函数f(x)?log2x，x>0，? 则函数yff(x)1的零点有_个 14已知函数f(x)logaxxb(a>0，且a1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，求n的值 7 学生用书答案精析 第3讲 函数的应用 高考真题体验 1C 由题意知，函数f(x)在(0，)上为减函数，又f(1)606>0， f(2)312>0， f(4)log242<0， 由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点 12(0) 2 解析 作出函数yf(x)在3,4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2) 11f(3)f(4)，观察图象可得0<a<22 643212 324 ?e192，解析 由题意得?22kb?e48，?b 48122ke， 1924 111ke 2 x33时，ye33kb(e)e 11k3b 1?13?24. 8?2? 4(1)1 900 (2)100 解析 (1)当l6.05时，F 76 000121v18276 000v v18v121v76 00076 0001 900. 2218121v18v 8 当且仅当v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时 (2)当l5时，F76 000v76 000v18v100100v182v76 00076 0002 000. 2018100v18v 当且仅当v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时 比(1)中的最大车流量增加100 辆/时 热点分类突破 例1 (1)C (2)A 1解析 (1)f(2)lg 2<0， 2 f(3)lg 3>0， f(2)f(3)<0， 故f(x)的零点在区间(2,3)内 (2)由f(a)ea0，得ae<0； aa13 b是函数yln x和yx图象交点的横坐标，画图可知0<b<1； 由h(x)ln c10知ce， 所以a<b<c. 跟踪演练1 (1)D (2)C 1解析 (1)注意到f(1)f(0)(1)<0，因此函数f(x)在(1,0)上必有零点，又f(2)2 f(4)0，因此函数f(x)的零点个数是3，选D. 2x52?x2?11(2)由题意知g(x)2f(x)的周期为2，则函数f(x )，x2x2x2 g(x)在区间5,1上的图象如图所示： 由图形可知函数f(x)，g(x)在区间5,1上的交点为A，B，C， 易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为t(0<t<1)，则点A的横坐标为4t，所以方程f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为3(4t)t7. 例2 (1)D (2)B 9 解析 (1)解不等式x1(4x)1， 得x2或x3，所以，f(x) ?x4，x?，23，?，?2?x1，x?2，3?.2 函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数yf(x)的图象和直线yk恰有三个不同交点 如图，所以1<k2，故2k <1. (2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数 在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如下： 观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数yf(x)log3|x|有4个零点 跟踪演练2 (1)A (2)(0,2) 解析 (1)mlog2x(x1)存在零点，则m的范围即为函数ylog2x(x1)的值域，m0. (2) 将函数f(x)|22|b的零点个数问题转化为函数y|22|的图象与直线yb的交点个数问题，数形结合求解 由f(x)|22|b0， xxx 10 得|2x2|b. 在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示 则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点 例3 解 (1)设污水处理池的宽为x米，则长为162x米 总造价f(x)400(2x2162x)2482x80162 1 296x1 296100x12 960 1 296(x100x)12 960 1 2962 x100 x12 96038 880(元)， 当且仅当x100 x(x>0)， 即x10时取等号 当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元 ?0<x16， (2)由限制条件知?0<162 x16， 81 8x16. 设g(x)x10081 x8x16)， g(x)在81 816上是增函数， 当x81 8(162 x16)， g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为 818800 81)12 96038 882(元) 当污水处理池的长为1681 838 882元 跟踪演练3 (1)D (2)4 050 解析 (1)设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有 280p%?x280?p2?% x(p0.25)%，解得x320. 故该公司的年收入为320万元 11 (2)设每辆车的月租金为x(x>3 000)元，则租赁公司月收益为 x3 000x3 000y(100x150)50， 5050 整理得y162x21 000 50 12(x4 050)307 050. 50 当x4 050时，y取最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元 高考押题精练 1B 令2sin xx10，则2sin xx1，令h(x)2sin x，g(x)x1，则x2f(x)2sin xx1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问 2题h(x)2sin x的最小正周期为T2，画出两个函数的图象，如图所示，因为 h(1)g(1)，h(g，g(4)3>2，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为 5. 5252 2(0,1) 解析 画出f(x) ?21，x>0，?2?x2x，x0x 的图象，如图 由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0<m<1， 即m(0,1) 32 解析 令f(x)0，g(x)0，得5x2，log5xx2.作出函数y5，ylog5x，yx2的图象，如图所示，因为函数f(x)5x2，g(x)log5xx2的零点分别为xxx x1，x2，所以x1是函数y5x的图象与直线yx2交点A的横坐标，x2是函数ylog5x的图象与直线yx2交点B的横坐标 12 因为y5与ylog5x的图象关于yx对称，直线yx2也关于yx对称，且直线yx2与它们都只有一个交点，故这两个交点关于yx对称又线段AB的中点是yx与yx2的交点，即(1,1)，所以x1x22. 420 解析 如图， x 过A作AHBC交于点H，交DE于点F，易知?AFx?FH40x，则SBC40ABAHDExADAFx(40x)()2，当且仅当40xx，即x20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m. 402 13 二轮专题强化练答案精析 第3讲 函数的应用 1321C 因为f(4<0，f(1)ln 22<0，f(e1)1<0，f(2)ln 31>0，22e1 故零点在区间(e1,2)内 1x2C f(x)在0,2上的零点个数就是函数y()和ycos x的图象在0,2上的交4 1x点个数，而函数y()和ycos x的图象在0,2上的交点有3个 4 1x3C 令()20，解得x1，令x10，解得x1，所以函数f(x)存在两个零点2 1和1，其和为0. 4C 令|x|t，原函数的零点有且只有一个，即方程t2at4a30只有一个0根或一个0根、一个负根，4a30，解得a222333a满足题意 222 5D f(x)是周期为4的周期函数做出yf(x)和y ax的图象， 由图可知，要使方程f(x)ax0有5个不同实根，即yf(x)和yax的图象有5个交点由图可知，当x(3,5)时，f(x)(x4)1，此时若yax与其相切，则a815； 11又方程f(x)ax在(5,6)无解，得aa的取值范围是815)，选D. 66 6(0,1 解析 当x>0时，由f(x)ln x0，得x1. 因为函数f(x)有两个不同的零点， 则当x0时， 函数f(x)2a有一个零点， 令f(x)0得a2， 因为0<221，所以0<a1， 所以实数a的取值范围是0<a1. 710 x02xx 14 解析 由题意可知x年的维护费用为24?2xx(x1)，所以x年平均污水处理费用y1000.5xx?x1?100100x1.5，由基本不等式得yx1.52 xxxx100 x 1.521.5，当且仅当x 84 100x10时取等号，所以该企业10年后需要更新设备 x 1?x1?x0且x1?，1解析 由题意知，当a1，b1时，y|x|1?1?x1?x<0且x1?. 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数ylg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点 9解 依题意，得 m>0，?2?2?4m>0， ?f?0?<0 m<0，?2?2?4m>0， ?f?0?>0 ?m0，?2?2?4m0.? 或 或 显然无解；解，得m<0；解，得m1，经验证，满足题意又当m0时，f(x)2x1，它显然有一个为正实数的零点 综上所述，m的取值范围是(，01 10解 设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则 y(2ax)(b0.01bx)0.4bx x2(a70)x2ab. 100 3依题意得2axa， 4 所以0<x2 15 b2a 又140<2a<420，即70<a<210. 当0<a7070<a140时，xa70，y取到最大值； 2 当a70>，即140<a<210时，xy取到最大值 22 故当70<a<140时，公司应裁员(a70)人，经济效益取到最大； 当140<a<210时，公司应裁员 2 11D 令g(x)0，得f(x)xm.因为函数f(x)x在0,1上的两个端点分别为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线为yx.当直线yxm与f(x)x(x0,1)的图象相切时，与f(x)在x(1,2上的图象相交，也就是两个交点，此时g(x)有两个零点，可求得此时的 11切线方程为yx根据周期为2，得m2k或2k(kZ) 44 12D 如图，过点P作POBC于点O， 连接AO，则PAO. 设COx m，则OP3 m. 322aaaa在RtABC中，AB15 m，AC25 m， 4所以BC20 m所以cosBCA. 5 在AOC中，由余弦定理得 AO 242225x225x 5x40x625(m) 3x3所以tan 3 3x40x625 4062512xx 33 ?25429?x525?. 3 353254125当，即x tan . x5439 5 16 134 解析 当f(x)0时，x1或x1，故ff(x)10时，f(x)11或1.当f(x) 111，即f(x)2时，解得x3或x；当f(x)11，即f(x)0时，解得x4 1或x1.故函数yff(x)1有4个不同的零点 142 解析 在直角坐标系下分别作出ylog2x，ylog3x及y3x，y4x的图象，如图所示，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2,3)之内，又因为x0(n，n1)，nN，故n 2. * 17