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专题04立体几何核心考点一平行关系的证明平行关系包括直线与直线平行、直线与平面平行及平面与平面平行,平行关系的证明一般作为解答题的第一问,难度中等或中等以下,解答此类问题要注意步骤的规范.【经典示例】如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.答题模板证明BE平面DMF的步骤第一步,在平面DMF内找出一条直线MO与BE平行；第二步,指出 BE平面DMF,MO平面DMF；第三步,由线面平行的判断定理得BE平面DMF.【满分答案】证明(1)如图所示,设DF与GN交于点O,连接AE,则AE必过点O,连接MO,则MO为ABE的中位线,所以BEMO.因为BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DEGN.因为DE平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.因为M为AB的中点,所以MN为ABD的中位线,所以BDMN.因为BD平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE平面MNG.【解题技巧】1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a, b,aba)；(3)利用面面平行的性质定理(,aa)；(4)利用面面平行的性质(,a,a,aa)2. 证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化3. 平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”；而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定的,不可过于“模式化”模拟训练1如图所示,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点(1)当等于何值时,BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1,求的值由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,点O为A1B的中点在A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,OD1BC1.又OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,BC1平面AB1D1.当1时,BC1平面AB1D1.(2)由平面BC1D平面AB1D1,且平面A1BC1平面BC1DBC1,平面A1BC1平面AB1D1D1O,得BC1D1O,同理AD1DC1,又1,1,即1.核心考点二垂直关系的证明平行关系包括直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直,垂直关系的证明一般作为解答题的第一问,难度中等或中等以下,解答此类问题要注意步骤的规范.【经典示例】如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.答题模板证明PD平面ABE(线面垂直)的步骤：第一步,证明AEPD,ABPD(在平面ABE内找出两条直线与AD垂直)；.第二步,指出ABAEA (两直线相交)；.第三步,利用线面垂直的判定定理确定PD平面ABE.【满分答案】(1)在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAACA,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中点,AEPC.由(1)知AECD,且PCCDC,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PAAB.又ABAD且PAADA,AB平面PAD,而PD平面PAD,ABPD.又ABAEA,PD平面ABE.【解题技巧】1.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab,ab)；面面平行的性质(a,a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想2. 判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a,a)(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直3. 垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即：在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决. 模拟训练2如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.【解析】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1FA1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.核心考点三求几何体的体积全国卷文科高考立体几何解答题第二问通常为几何体体积的计算,难度多为中等或中等以下,计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.【经典示例】如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M为线段AD上一点,AM2MD,N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积答题模板求三棱锥体积的步骤第一步,确定几何体是三棱锥或把几何体分割为几个三棱锥；第二步,确定棱锥的顶点及底面(注意一般以高与底面积比较容易求为原则)；第三步,求出高于底面积；第四步,代入体积公式进行计算.【满分答案】(1)由已知得AMAD2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TNBC2.又ADBC,故TN=AM,TNAM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由ABAC3得AEBC,AE.由AMBC得M到BC的距离为,故SBCM42.所以四面体N-BCM的体积VN-BCMSBCM.【解题技巧】1.若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解2.求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；等积变换法：特别的,对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.3. “补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形,对于还原补形,主要涉及台体中“还台为锥”,将不规则的几何体补成规则的几何体等模拟训练3如图所示,在空间几何体ADEBCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD平面CDEF,ADDC,ABADDE2,EF4,M是线段AE上的动点(1)试确定点M的位置,使AC平面MDF,并说明理由；(2)在(1)的条件下,平面MDF将几何体ADEBCF分成两部分,求空间几何体MDEF与空间几何体ADMBCF的体积之比 (2)将几何体ADEBCF补成三棱柱ADEBCF,如图所示,三棱柱ADEBCF的体积为VSADECD.2248,则几何体ADEBCF的体积VADEBCFVADEBCFVFBBC82.因为三棱锥MDEF的体积VMDEF1,所以VADMBCF,所以两几何体的体积之比为14.9
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