备战2018年高考数学 回扣突破30练 第21练 圆锥曲线的综合应用 理

第21练圆锥曲线的综合应用【理】一.题型考点对对练1.(直线与圆锥曲线的位置关系)【黑龙江省齐齐哈尔2018届模拟】已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，其中点是椭圆的上顶点，椭圆的左顶点为，直线分别与直线相交于两点.则（ ）A. B. C. D. 【答案】B本题选择B选项.2.(圆锥曲线中的范围、最值问题)已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点,则周长的最小值为A. （B） C. （D）【答案】A3.(圆锥曲线中的定值、定点、存在性问题)如图， 为椭圆长轴的左、右端点， 为坐标原点， 为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则（ ）A. 14 B. 12 C. 9 D. 7【答案】A【解析】设， 斜率分别为，则的斜率为，且，所以，同理，因此.故选A4.(轨迹与轨迹方程)已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点.（2）由题意可设直线，代入，得，设，则；又，设直线的斜率分别为，则，设，令，得，同理，得，从而；.又以为直径的圆的方程为： ，即，即，令，解得或，从而以为直径的圆恒过定点和.5.(直线与圆锥曲线的位置关系)【2018届南京市联考】已知椭圆： 的右焦点为，过作直线（不过原点）交椭圆于两点，若的中点为，直线交椭圆的右准线于（1）若直线垂直轴时， ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的离心率，当直线斜率存在时设为，直线的斜率设为，试求的值。6. (圆锥曲线中的范围、最值问题)如图，在平面直角坐标系中，椭圆W： 的离心率为，直线l：y2上的点和椭圆W上的点的距离的最小值为1() 求椭圆W的方程；() 已知椭圆W的上顶点为A，点B，C是W上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F记直线与的斜率分别为， 求证： 为定值； 求CEF的面积的最小值. 证法二：直线AC的方程为， 由得，解得，同理，因为B，O，C三点共线，则由，整理得，所以 直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，令y2，得，而，所以，CEF的面积 由得，则 ，当且仅当取得等号，所以CEF的面积的最小值为7. (圆锥曲线中的范围、最值问题)如图，过椭圆： 的左右焦点分别作直线， 交椭圆于与，且.（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时， 为定值；（2）求四边形面积的最大值.（2）当的倾斜角为时， 与重合，舍去.当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形， ，设直线的方程为，代入，得.显然， ， .所以，设，所以， .所以.当且仅当即时等号成立，所以.所以平行四边形面积的最大值为.8.(圆锥曲线中的定值、定点、存在性问题)已知的顶点，点在轴上移动， ，且的中点在轴上（）求点的轨迹的方程；（）已知过的直线交轨迹于不同两点， ，求证： 与， 两点连线， 的斜率之积为定值由得，所以， ，同理，所以与， 两点连线的斜率之积为定值49. (圆锥曲线中的定值、定点、存在性问题)【江苏省如东2018届期中】已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点是坐标平面内一点，且， （为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过该点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）设， ， ，则由，得；由得，即.所以.又因为，所以.因此所求椭圆的方程为： .（2）设动直线的方程为： ，由得.设， ，则， .假设在轴上是否存在定点，满足题设，则， . ，由假设得对于任意的， 恒成立，即解得.因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过该点，点的坐标为.二.易错问题纠错练10.（忽略轨迹的纯粹性）如图，抛物线： 与圆： 相交于， 两点，且点的横坐标为.过劣弧上动点作圆的切线交抛物线于， 两点，分别以， 为切点作抛物线的切线， ， 与相交于点.（）求的值；（）求动点的轨迹方程.【解析】（）由点的横坐标为，可得点的坐标为，代入，解得（）利用直线与圆锥曲线的位置关系，可知方程为，其中， 满足， ，再利用中点公式，可知满足，代入得，考虑到，知，动点的轨迹方程为， 【注意问题】求出轨迹方程后注意范围，不符合的点11. （忽略对直线斜率不存在的情况）已知动圆过定点，并且内切于定圆.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若上存在两个点，（1）中曲线上有两个点，并且三点共线， 三点共线， ，求四边形的面积的最小值.（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，四边形的面积.当直线斜率存在时，设其方程为，联立方程得，消元得设，则，直线的方程为，得设，则，四边形的面积，令， ，上式，令，（），综上可得，最小值为8.【注意问题】设直线方程时，用到斜率需讨论率不存在时12.（直线与圆锥曲线有两个交点忽略）已知椭圆： 的上下两个焦点分别为， ，过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点， 的面积为，椭圆的离心力为（）求椭圆的标准方程；（）已知为坐标原点，直线： 与轴交于点，与椭圆交于， 两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围【解析】（）根据已知椭圆的焦距为，当时， ，由题意的面积为，由已知得，椭圆的标准方程为且， ，由，得，即，即当时， 不成立，即，解得或综上所述， 的取值范围为【注意问题】在解直线与二次曲线位置关系是，需考虑直线与二次曲线有有两个交点即三.新题好题好好练13. 【四川省成都市2018届一诊】已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足（1）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；（2）直线与曲线交于两点， ，试问：当变化时，是否存在一直线，使得面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.（2）由方程组得设则所以因为直线过点，所以的面积，令则不成立，不存在直线满足题意.14. 【2018届辽宁省沈阳联考】平面直角坐标系中，椭圆： （）的离心率是，抛物线： 的焦点是的一个顶点（1）求椭圆的方程；（2）设是上动点，且位于第一象限， 在点处的切线与交于不同的两点， ，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点（i）求证：点在定直线上；（ii）直线与轴交于点，记的面积为， 的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上（）由（）知直线方程为，令得，所以，又 ，所以，所以，令，则，当，即时， 取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为16.已知点是长轴长为的椭圆： 上异于顶点的一个动点， 为坐标原点， 为椭圆的右顶点，点为线段的中点，且直线与的斜率之积恒为.（1）求椭圆的方程；（2）设过左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求的最小值.设， 中点，.的垂直平分线方程为，令，得，- 15 -