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专题03概率与统计核心考点一概率与随机变量的分布列随机变量的分布列及期望是高考考查的热点,在考查时经常与统计知识结合在一起考查,求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法,求概率时一定要弄清相应的概率类型（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）.【经典示例】从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.答题模板第一步,理解的意义,写出可能取的全部值；第二步,求取每个值的概率；第三步,写出的分布列；第四步,由均值的定义求E().【满分答案】（1）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.,.所以随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（2）设表示第一辆车遇到红灯的个数,表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【解题技巧】1.利用古典概型求事件A的概率,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)求出事件A的概率,注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)求概率.2.几个事件不能同时发生的应用问题,可转化为互斥事件来解决,关键是分清事件是否互斥；相互不影响的事件是否发生的实际应用问题,可转化为独立事件的概率问题,解决此类问题要注意相互独立事件同时发生与二项分布的区别与联系.3.对于复杂概率的计算一般要先设出事件,准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次判断事件是AB还是AB事件,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式；最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解4.超几何分布的特点是：整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,总体一般是有限个,超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布. 5.列出分布列后,可用所有概率之和为1进行检验.模拟训练1甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分；如果只有一个人猜对,则“星队”得1分；如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望.,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.（2）由题意,随机变量的可能取值为.由事件的独立性与互斥性,得,.可得随机变量X的分布列为012346所以数学期望.核心考点二正态分布正态分布是概率统计中相对较独立的一个考点,且已经从冷点转化为热点,求解此类问题,一般从入手,对于应用问题,要注意从较大的阅读量中提取有用的信息.【经典示例】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取个零件,并测量其尺寸（单位：）根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常,记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得,其中为抽取的第个零件的尺寸,用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据,用剩下的数据估计和（精确到）附：若随机变量服从正态分布,则,答题模板第一步,读懂题意,从题中提取有用信息；.第二步,通过计算确定的值；.第三步,利用正态分布的性质或3解题.第四步,检验、作答.【满分答案】（1）由题可知尺寸落在之内的概率为,落在之外的概率为,由题可知,所以.（2）（i）尺寸落在之外的概率为,由正态分布知尺寸落之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理（ii）,因为,所以需对当天的生产过程检查因此剔除,剔除数据之后：.所以.【解题技巧】(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称,及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的,进行对比联系,确定它们属于(,),(2,2),(3,3)中的哪一个.模拟训练2从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求E(X).附：12.2.若ZN(,2),则P(Z)0.682 6,P(2Z0.5,解得x13,故预计上市13个月时,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.核心考点五独立性检验在高考中独立性检验常与抽样方法、样本对总体的估计等知识结合在一起考查,难度多为中等或中等以下,属于得分题.【经典示例】某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组：50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2P(K2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828答题模板第一步,假设两个分类变量x与y没有关系；第二步,计算出K2的观测值,其中K2；第三步,把K2的值与临界值比较,作出合理的判断【满分答案】(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名,所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有600.053(人),25周岁以下组工人有400.052(人),从5名工人中随机抽取2人有C10种情形,每种情形都是等可能出现的,其中至少抽到一名“25周岁以下组”工人有CCC7种,故所求概率P.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有600.2515(人),“25周岁以下组”中的生产能手有400.37515(人),据此可得22列联表如图所示：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以K21.79.因为1.792.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” .【解题技巧】(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆(2)在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错(3)对判断结果进行描述时,注意对象的选取要准确无误,应是对假设结论进行的含概率的判断,而非其他模拟训练5.某公司为评估两套促销活动方案（方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件）,在某地区部分营销网点进行试点（每个试点网点只采用一种促销活动方案）,运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等高条形图如图所示（1）请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案（不必说明理由）；（2）已知该公司产品的成本为10元/件（未包括促销活动运作费用）,为制定本年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的8组售价（单位：元/件,整数）和销量（单位：件）（）如下表所示：售价3335373941434547销量840800740695640580525460请根据下列数据计算相应的相关指数,并根据计算结果,选择合适的回归模型进行拟合；根据所选回归模型,分析售价定为多少时？利润可以达到最大.49428.7411512.43175.26124650（附：相关指数）回归模型对应的相关指数.因为,所以采用回归模型进行拟合最为合适.由（1）可知,采用方案1的运作效果较方案2好,故年利润, ,当时, 单调递增；当时, 单调递减,故当售价时,利润达到最大.14
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