2018年高考数学二轮复习 专题22 数学思想方法讲学案 理

专题22 数学思想方法函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法一、函数与方程思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题1方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决2方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域函数与方程的这种相互转化关系十分重要可用函数与方程思想解决的相关问题1函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的2方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题二、数形结合的数学思想数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。1数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。常见方法有：解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b22与余弦定理沟通，将abc0且b+ca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。常见的转换途径为：方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。三、分类讨论的思想分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度1由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等2由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等3由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等4由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等5由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法6由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用四、化归与转化的思想1、化归与转化的思想方法解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”2 、化归与转化的思想方法应用的主要方向化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现3、等价转化和非等价转化转化有等价转化和非等价转化之分等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证考点一、运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题例1若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_【答案】(1，2【解析】由题意f(x)的图象如右图，则1a2. 【变式探究】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2xByx3x23xCyx3xDyx3x22x考点二、运用函数与方程思想解决方程问题例2、设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a取值范围是()A. B0，1C. D1, )【答案】C【规律方法】研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决【变式探究】已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】记h(x)f(2x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：yx4，当直线lAB且与f(x)的图象相切时，由解得b，(4)，所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当b2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即yf(x)g(x)恰有4个零点选D.考点三、运用函数与方程思想解决不等式问题例3已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_【答案】(，0)(1，)【规律方法】(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法 (2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数 (3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式【变式探究】设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取到极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x0，3都有f(x)c2成立，求c的取值范围；(3)若方程f(x)c2有三个根，求c的取值范围【解析】(1)f(x)6x26ax3b3(2x22axb) 因为函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取到极值，所以解得当a3，b4时，f(x)3(2x26x4)6(x2)(x1)当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以此时1与2都是极值点，因此a3，b4，f(x)2x39x212x8c.(2)由(1)知函数yf(x)在x1处取到极大值f(1)58c，在x2处取到极小值f(2)48c.因为f(0)8c，f(3)98c，所以当x0，3时，函数yf(x)的最大值是f(3)98c，所以要使对于任意的x0，3都有f(x)c2成立，需要f(3)98c0，解得c9.考点四、运用函数与方程思想解决最优化问题例4、某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型 (1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为，【规律方法】解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决 【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【解析】(1)设需要新建n个桥墩，(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)x m2m256.【小结反思】1函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现2有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想3有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力考点五、 用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题例5、(1)已知：函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1，1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是()A5个 B7个 C9个 D10个(2)设有函数f(x)a和g(x)x1，已知x4，0时恒有f(x)g(x)，求实数a的取值范围思路点拨：(1)在同一坐标系中画出yf(x)和ylg x的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数(2)先将不等式f(x)g(x)转化为x1a，然后在同一坐标系中分别作出函数y和yx1a的图象，移动yx1a的图象使其满足条件，数形结合得要满足的数量关系解析：(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x)lg x，则x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数 由图象可知共9个交点，故选C.(2)f(x)g(x)，即ax1，变形得x1a，令y，yx1a，误区警示：作图时弄清ylg x的图象何时超过1，否则易造成结果错误【规律方法】(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数 (2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化的数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降，奇偶性经常联系函数图象的对称性，最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标【变式探究】已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_【答案】8.考点六、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题例6、 (1)已知x，y满足条件1，求y3x的最大值与最小值(2)已知实数x，y满足不等式组求函数z的值域思路点拨：(1)令by3x，即y3xb，视b为直线y3xb的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值(2)此题可转化成过点(1，3)与不等式组表示区域的点的连线的斜率的范围【解析】(1)令y3xb，则y3xb，原问题转化为在椭圆1上找一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距由图可知，当直线y3xb与椭圆1相切时，有最大或最小的截距将y3xb代入1，由图显见，过点P和点A(0，2)的直线斜率最大，zmax5.过点P向半圆作切线，切线的斜率最小设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为axby4.又B在半圆周上，P在切线上，则有又a0，解得因此zmin.综上可知函数的值域为.误区警示：此题很容易犯的错误是由z得到点(1，3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序【规律方法】如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)ykxb中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离(4)导函数f(x0)表示曲线在点(x0，f(x0)处切线的斜率只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法【变式探究】已知x，y满足条件1，求5x4y的最大值与最小值考点七、根据数学的概念分类讨论例7、设0x1，a0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小思路点拨：先利用0x1确定1x与1x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小【规律方法】本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论，我们称为概念分类型由概念内涵引起的分类还有很多：如绝对值|a|分a0，a0，a0三种情况；直线的斜率分倾斜角90，斜率k存在，倾斜角90，斜率不存在；指数、对数函数yax(a0且a1)与ylogax(a0且a1)可分为a1，0a1两种类型；直线的截距式分直线过原点时为ykx，不过原点时等考点八、根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例8、在等差数列an中，a11，满足a2n2an，n1，2，(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanpan(p0)，求数列bn的前n项和Tn.思路点拨：(1)由a2n2an，n1，2，求出公差d，即得an的通项公式(2)先求bn的通项公式，然后用错位相减可求Tn，但由于公比q不确定，故用等比数列前n项和公式求Tn时要分类讨论 【解析】(1)设等差数列an的公差为d，由a2n2an得a22a12，所以da2a11.又a2nanndann2an，【规律方法】(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理，等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论 (2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等考点九、根据字母的取值情况分类讨论例9、已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切(只需写出结论)?【解析】(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23，令f(x)0，得x或x，因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间2，1上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得：4x6xt30，设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”， 【规律方法】题目中含有参数的问题(含参型)，主要包括：含有参数的不等式的求解；含有参数的方程的求解；对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；二元二次方程表示曲线类型的判定等求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想考点十、根据图形位置或形状变动分类讨论例10、长方形ABCD中，|AB|4，|BC|8，在BC边上取一点P，使|BP|t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|.思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q，R的坐标，利用两点间的距离公式建模y4，可得Q，R，这时|QR| ；当4t8时，Q，R两点分别在BC，AD上，对方程分别令y0和y4，可得Q，R，这时|QR|.综上所述：当0t84时，|QR|2；当84t4时，|QR| ；当4t8时，|QR|.【规律方法】一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等 【小结反思】1分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结2简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等3进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论其中最重要的一条是“不漏不重” 4解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；(2)要找准划分标准，把好“分类关”；(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”考点十一、 数列问题化归为函数问题解决例11、某厂2016年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是()AMNBMNCMN D无法确定【答案】A【解析】每月的利润组成一个等差数列an，且公差d0，每月的投入资金组成一个等比数列bn，且公比q1.a1b1，且a12b12，比较S12与T12的大小若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式ana1(n1)d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列等比数列的通项公式bna1qn1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出aibi，则S12T12，即MN.点评：把一个原本是求和的问题，转化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是学生所熟悉的在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新考点十二、立体几何问题通过转化得以解决例12、 在三棱锥PABC中，已知PABC，PABCl，PA，BC的公垂线EDh.求证：三棱锥PABC的体积Vl2h.思路点拨：如视P为顶点，ABC为底面，则无论是SABC以及高h都不好求如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境点评：辅助截面ECB的添设使问题转化为已知问题，迎刃而解 考点十三、函数与不等式中变换主元将二次函数问题化归为一次函数解决例13、若不等式x2px4xp3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转变其他变量在问题中的地位，就能使问题迎刃而解本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，将主元进行转化，使问题变成关于p的一次不等式，问题实现了从高维向低维的转化，解题简单易行【小结反思】1化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2)简单化原则将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据(3)和谐化原则化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律(4)直观化原则将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 (5)正难则反原则当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解2熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识，需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙3为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式；既可以从代数的角度去认识问题，也可以从几何的角度去认识问题23