高等数学公式大全

高等数学公式简航整理 fydstudio FP高等数学公式大全导数公式:基本积分表：| tgxdx = - hi|cosx + C j ctgxdx = lii|sin 斗 + C j* sec xdx = In | sec x + /g.v| + C j* esc xdx = lii|csc x - etg + C f dx1xI =-c/g-+C 丿 0 + r aaf = ln x1 -a2aJ，办，二冲-ln 二 + CJcr_x 2a a-x r dxx(=arcsin+ CaX+CIf = f sec2 xdx = tgx+ CJ COS X J牛=esc2 xdx = -cfgx+ CJ surx | secxtgxdx = secx+ Ccsc x-ctgxdx= -esc x+ Caxdx= CJInaj shxdx = chx + Cjchxdx= shx+ Cj j f、= ln(x + y/x2 a2) + C(tgxY = sec x(aresm x)f = /71-x2(c/gx) =-csc*x1(sec x) = sec x fgx(arccosx)=；=4(esex)1 = -esexetx1(ax) = aA Ina(aretgx),l + .v(log “ x)A lii a(arcctgx)-,1+ X*fydstudio高等数学公式大全fydstudio高等数学公式大全sinz, xdx = f cos xdx = - ln ,in J y/x2 + a2dx = y/x2 + a2 + 牛 ln(x+ -Jx2 + a2) + C111 X+ y/x1 - a1 + Cj Jx_a、dx =兰 J兀丄. a2j ycr -x2dx =号 yja1 - x2 + -aicsui + C三角函数的有理式积分:x . 2duu = tg9 ax=:2l + “2u-irSill X = , cosx =1 + M21 + W21/16fydstudio高等数学公式大全fydstudio高等数学公式大全一些初等函数:两个賣要极限:双曲正弦Vhin = l10 x双【II除弦2 双曲正切:加=竺=chx f、+ earshx = ln(.v+ +1) archx = ln(.v+ y/x2 -1).1 f 1+ xarthx = In21-xlun(l+-)K = e= 2.718281828459045.YX X三角函数公式: 诱导公式：、数 角卜sincostgctg-a-smacosa-tgactga90-acosasinactgatga90+acosa-smactga-tga180o-asina-cosatga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-smactgatga270+a-cosasinactga-tga360-a-iauacosaaga360+asinacosatgactga和差化积公式：和差角公式:fydstudio高等数学公式大全sin(z P) = sinacos0cosasm 0cos(z P) = cosa cos/? + sin a sm 0l + fgafg 卩c以a0)/2唧刊ctg/3 ctgasin a + sin 0 = 2sin a + cos22sin a - sin 0 = 2cos + sin _22a a a + 0a_ 卩cosa + cosp = 2cos cos2 2.a + p . a_0cosa-cosp = 2sui sin2 2fydstudio高等数学公式大全fydstudio高等数学公式大全2/16fydstudio高等数学公式大全倍角公式:sui la = 2smacosacos la = 2cos: a-1 = 1- 2sin2 a = cos a-sin1 a ctg2a = -2ctga.a 2tga仪 2a=l /gssin 3a = 3sma-4sin3(zcosSa = 4cos5 a 一 3cosaga =3tga-tg3a1一辭半角公式:.a |l-cos(zsui = J2 V 2a /l-cos(z l-cosa sui atg = + /=2 V l + cosa sui a l + cosa十* 宀eabc rc正弦定理：=-=2Rsui A sui d sui Ca(1 + cosa 1 + cosa sin ac/g = =2 vl-cosa sm a l-cosa余弦定理：c2 = ci2 +b2 - 2nfccosCfydstudio高等数学公式大全fydstudio高等数学公式大全arctgx = arcctgx反三角函数性质：aicsmx=-arccosx 高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:=汕b +沁叫+心-1)严+ “严2!R!中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:= /W-)柯西中值定理:广忆)F当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗II中值定理。曲率:3/16fydstudio高等数学公式大全弧微分公式：ds = J1+)dx,其中y = tga Ary平均曲率,K=Aa从M点到M点，切线斜率的倾角变化島As： MAT弧长。M点的曲率:也线：KaK = nnTO &ds# /16fydstudio高等数学公式大全# /16fydstudio高等数学公式大全半径为a的圆:K =丄.a定积分的近似计算:bi矩形法寸 /(.v) W(y。+ % + + yn-Ja梯形法寸/(x) a牛扣。+儿)+)+.+儿ab匕抛物线法：f/(x) -(o + 儿)+ 2(旳 + 儿 + + 儿_2)+ 4(开 +), + + 儿_丿定积分应用相关公式:功：W = F-s水压力：F = p-A引力：F = k巴0,k为引力系数 厂函数的均值:亍二均方根:空间解析几何和向矍代数:空间2点的距离：d = MiM/l = JCe _+ （儿一 ）1），+ （E -向量在轴上的投影:Pi人乔彳乔Feos咙屈与“轴的夹角。Pr + a2） = Pr ja, + Prja2ab = a-cosO = axbx + ayby+a.bz,是一个数量,两向帚:之间的夹角:cos。=也+乡 +。=Ja： + a , + a J Jb： + b： + b；c = axb =ax a. ,|c| = |- h sin.J：线速度：v=wxr.向量的混合积iabc =（axb）c =ax心aX b、bc. C c=p胡冋cosa,a为锐角时,5 /16fydstudio高等数学公式大全# /16fydstudio高等数学公式大全代表平行六仰体的体枳。平面的方程：1、点法式：A(x-xQ) + B(y-yQ) + C(z- z0) = 0,其4,/i= A,C,Af0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0久截距世方程：-+- = 1a b c# /16fydstudio高等数学公式大全Aa0 + By。+ Cz0 + D平面外任意-点到该平面的距离：d=侶占# /16fydstudio高等数学公式大全空间W.线的方程:七土 = 二m n px = xQ + mt=,其中 F = /n,n,p;参数方程： y= y0 + nt& = Z。+ pt# /16fydstudio高等数学公式大全# /16fydstudio高等数学公式大全二次曲面:1、椭球面:二+其+二=1旷 lr c222、抛物ffi：+= zSp.Q同号）2p 2q攵双曲面:单叶双曲er b er双叶双曲阮二-吴+二=1（马鞍面） CT /广 L# /16fydstudio高等数学公式大全多元函数微分法及应用全微分：dz = dx + dy du = dx+dy + dz dx 0vdv 0v dzWIF全微分的近似计舁：y q dz = fx(x,y)x+ fx(x,y)Av多元复合函数的求导法：2 = /m(0M0Jdz dz dii di dv dt dii dt dv dtz = /Mg)gy)dzdz dudz dvjdxdu dx3v dx3.# /fydstudio高等数学公式大全当“ =w(x,y)t v = v(x,y)时, du . dii . du = dx+ dy dx Ov 隐函数的求导公式:dv = dx+dydx Sr隐函数尸dy _ Fx dx Fy&F隐函数 F(x,y,z) = 0, =-,dxF.翌=_L矿一可隐函数方程组益鳥二0(F,G) dii dv代F、如川)dG dGG. G、du dvdF dF1。(化 G) J d(x.v)1 G)J (y川)O111 d(F,G)dxJ d(ux)dv _1 d(F.G)dyrJ 0()微分法在几何上的应用:x=(P(t)空间曲线,.y =艸)在点M(Xo,)b，Zo)处的切线方程:Z = co(t)x-x?(Uy_y。_ z_z”仇)一 0仏)在点M处的法平面方程:0(*)( X。) + “(/)(y- y0) + eQo)(z- Z。) = 0若空间曲线方程为临:;爲则切向量化3.# /fydstudio高等数学公式大全3.# /fydstudio高等数学公式大全曲面F(xjz) = 0上一点M(xO9yO9zo)f 则:1、过此点的法向量:iE(Xo,yo,),F(Xo,yo,Zo),F：(Xo,yo,)2、过此点的切平而方程：Ft(x0,y0,z0)(x-x0) + Fy(x0,y0,z0)(y- y0) + Fz(x0,y0,)(2- ) = 03.# /fydstudio高等数学公式大全3.# /fydstudio高等数学公式大全y-y0zG过此点的法线方私靑心Fgg W)3.# /fydstudio高等数学公式大全df厂 I + / dx Ovr它与方向导数的关系是务 gM（x,），）V,其屮臣= COS0j +S1110 j,为/方向上的方向导数与梯度：函数Z= /（X,刃在一点p（x,v）沿任一方向/的方向导数为:卑= %COS0+%S11Wdl oxdv其中0为X轴到方向/的转角。函数Z= /(禺y)在一点p(x,y)的梯度:grad/*(X.y)=7/16fydstudio高等数学公式大全单位向量C.善是gra萌（x,y）在/上的投影。多元函数的极值及其求法：改A（Xo，y）=人（兀,儿）=0,令：几住0，几）= 人Qo，y） = B,几（x,y）= cACB，0时叱警代1人0,（兀0，儿）为极小值则:”C-肝0时，无极值AC-于=01甘，不确定重积分及其应用：j f (.V,y)dxdy = j| /(rcos,rsm 6)rdrd0曲面2 = f (x, y)的面秩S = JJ D友 dxdy*D05xp(x,y)daJjyp(x,y)d7平而薄片的重心：丫=答=,2匚汨 MJJ p(x)d0)的引力:F = F,F、,FJ,其中:F = fjj P(y)xd(yF =pa,)%, 尸=p(x,y)xclal) (x2 + y2 +a2)l) (x2 + y2 +a2)D (x2 + y2 + a2y柱面坐标和球面坐标:柱面坐标:-y = rsmO,z)dxdydz = JJJ尸(,zjrdrdOdz,其中：F(r.O,z) = /(rcosO.rsmO.z) x= rsm (pcosO球而坐标彳 y = rsui(psm6, dv= rdq)-rsui(p d6 dr= r2 sui(pcIrcIqxlOZ = rcos(pr1 sui(pdrd(p(l0 = ddd(p E(r.(p,6)r sin (pclr重心：x =y =jjjypdvyZ = zpdw其中M =壬=jjfprfvM aM cq转动惯量:Zx = JJJ(y2 + z2)prfv, /v = Jjj(x2 + Z2)pjv, /. = JJJ(x2 + y2)prfvQQQ曲线积分：第一类Illi线积分(对弧长的曲线积分)：y=W)谿(x,y)在厶上连续，厶的参数方程为(atz)dzdx = JJQx,y(z,x),zdzdx,取曲面的右侧时取正号。 两类曲而积分之间的关系寸Pdydz +ZZ高斯公式:11/16fydstudio高等数学公式大全( 4-4- )dv = HPdydz + Qdzdx 4- Rdxdy - K(Pcosa + Qcosp + Rcosy)dsa dx dyzz高斯公式的物理意义通量与散度：散度：d】vy二孚+孚+竺，即：单位体积内所产生的流体质量，若divvl时，级数发散 nT8 1时，不确定2、比值审敛法：设:lununpvl时，级数收敛 则pl时，级数发散 p = l时，不确定3、定义法: = +“；山】存在，则收敛：否则发散。 “T8交错级数坷-“2 + “3 -(或-血+心-3 +M 0)的审敛法莱布尼兹定理：Un %如果交错级数满足抚，那么级数收敛且其和$町,其余项/;的绝对值|r|1时收敛幕级数：,3”/冈1时，收敛于亠1+X+0+X +X + / 1 11-X|恥1时,发散对丁级数0 + /+。2兀+，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全 lxR时收敛数轴上都收敛，则必心任R，使(同尺时发散，其中R称为收敛半径。|时=尺时不定(卩工0时，/? = 0时，/?十p = +s时，R=0函数展开成幕级数：函数展开成泰勒级数：/二/此心-阳+丄単仗-忑尸+以卑住-阳”+ 2! /?!f UrH) /余项：Rn = 1_(x-x0)J(x)可以展开成泰勒级数的充耍条件屆Un】/?n = 0( + 1)!“T8x0 = Ollt即为麦克劳林公式：/=/(0)+八0)x +厶型亍+ +竺型x +2n一些函数展开成幕级数：(1+创=1+站(心心+.+一 1)(+】+2!(一 1 vxvl)v3 x5sinx= X- + 3?5!(-00 X+CO)欧拉公式：=cos.v+/sinxcosx = 或sin x =三角级数:00co/(0 = A) + S A： sm(讪 + %)=y+ X g COS/U+/:=1Z n=lbnsin nx)其中，aQ = an = An sm(ptj9 bn = Ancos(pn,(a = x.正交性：l,an x,cosx,sin 2x,cos2x- -sui /ucos/tv任意两个不同项的乘积在一/r护上的积分=0。傅立叶级数:11/16fydstudio高等数学公式大全00/(力=牛+工(%L nlcos/Lr + Z?z, sui nx),/( = J / (x)c os nxdx 其中一-M(n= 0J、2)( = 1,2,3)4+4+=(相加)32 426_L_L+.=1(相减)32 4212正弦级数：d” = 0, /? = f/(X)SUl ilvJ.v 余弦级数：bn = 0, an = f(x)cosnxdxn = 123 /(x)=工* sin处是奇函数n= 0,1,2 - f(x) = + ancos”x是偶函数周期为21的周期函数的傅立叶级数:13/16fydstudio高等数学公式大全/(X)=牛 + E (an cos罕 + b sin 罟卜 周期=2/n-1 一几)仏%)丰0H寸为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y+py+qy= 0,其中阳为常数;求解步骤：1、写出特征方程心)尸+ “+?=(),其中凡 啲系数及常数项恰好是(*)式的系数;2、求出()式的两个根斤込fydstudio高等数学公式大全3、根据人込的不同借况，按下表写出(J式的通解:斤，4的形式(J式的通解两个不相等实根(p2 - 4 0)y = c严+ c严两个相等实根(p2-4g = 0)y = (q + c2x)er,x一对共轨复根(p2-4g0) 斤=a + 妙 r2 = a-ip a, pJ4q-pl2 2y =严(q cospx+c2 sin px)二阶常系数非齐次线性微分方程y+ py+qy=f(Q，为常数/二严梯(x)型，2为常数；f(X) =(x)cosfth + Pn (x) sui on型15/16fydstudio