高考数学一轮总复习 第十章 算法初步、复数与选考内容 第3讲 几何证明选讲课件 理

第3讲 几何证明选讲考纲要求考点分布考情风向标1.了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).5.几何证明选讲考纲要求(5)(8)略2011年新课标卷考查四点共圆及求圆的半径；2012年新课标卷考查线线平行判 定、三角形相似的判定等基础知 识；2013年新课标卷考查证明弦长相等；考查求三角形外接圆的半径；2014年新课标卷考查圆的内接四边形性质，证明三角形两个角相 等；考查证明等边三角形；2015年新课标卷考查圆的切线判定与性质，直角三角形射影定理从近几年的高考来看，几何证明选讲作为选考内容基本没有变化，都是二选一，主要考查平行线截割定理、射影定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理，内容很多，但考试还是侧重圆内的边角运算，因此在备考时也应该有所侧重1.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.推论 1：平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.推论 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.2.射影定理的结论直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积.在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于点 D，则 AB2BDBC；AC2CDCB；AD2_.BDDC相似三角形的判定定理相似三角形的性质预备定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似相似三角形对应高的比等于相似比；对应中线的比等于相似比；对应角平分线的比等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方判定定理 1 两角对应相等判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等判定定理 3 三边对应成比例判定定理 4直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例3.相似三角形的判定与性质4.圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论.定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论：(1)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(2)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.5.弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.6.圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)推论：推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.7.与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB，CD相交于圆内点P(1)PAPBPCPD.(2)ACPBDP(1)在PA，PB，PC，PD四条线段中知三求一.(2)求弦长及角割线定理PAB，PCD是O的割线(1)PAPBPCPD.(2)PACPDB(1)求线段PA，PB，PC，PD.(2)应用相似求AC，BD切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC.(2)PABPCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一(2)求解AB，AC切线长定理PA，PB是O的切线(1)PAPB.(2)OPAOPB(1)证线段相等，已知PA求PB.(2)求角8.圆内接四边形的性质定理与判定定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理.定理 1：圆内接四边形的对角互补.定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.(2)圆内接四边形的判定定理及推论.判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.1.(2015 年天津)如图 10-3-1，在圆 O 中，M，N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N.若 CM2，MD4，CN3 ，则线段 NE 的长为()图 10-3-1A.83B.3C.103D.52CMMD 24 8解析：由相交弦定理可知：AMMBCMMD，CNNE ANNB.又因为M，N 是弦AB 的三等分点，所以AMMBANNB.CNNECMMD.所以 NECN 3 3 .故选 A.答案：A2.(2015 年广东)如图 10-3-2，AB 为圆 O 的直径，点 E 为AB 的延长线上一点，过点 E 作圆 O 的切线，切点为 C，过点 A，则 AD作直线 EC 的垂线，垂足为 D.若 AB4，CE_.2 3图 10-3-2 图D70 答案：33.(2015 年重庆)如图 10-3-3，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA 6，AE9，PC3，CEED2 1，则 BE_.图 10-3-3PD 12，CEED 63解析：由切割线定理，得PA2PCPD，因此623CDPDPC9.又 CEED21，因此 CE6，ED3.因为 AEEBCEED，所以 BEAE 92.答案：2考点 1 相似三角形例 1：(2015 年江苏)如图 10-3-4，在ABC 中，ABAC，ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D，求证：ABDAEB.图 10-3-4解：因为 ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE.又BAEDAB，所以ABDAEB.【规律方法】(1)判定两个三角形相似的常规思路：先找两对对应角相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.(2)借助图形判断三角形相似的方法：有平行线的可围绕平行线找相似；有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边.【互动探究】1.(2012 年新课标)如图 10-3-5，D，E 分别是ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F ，G 两点，若CFAB，证明：(1)CDBC；(3)BCDGBD.图 10-3-5解：(1)如图 D72，D，E 分别为 AB，AC 的中点，DEBC.CFAB，四边形 BCFD 是平行四边形.CFBDAD.连接 AF，四边形 ADCF 是平行四边形.CDAF.CFAB，BCAF.CDBC.图 D72(2)FGBC，GBCF.由(1)知，BDCF，GBBD.DGBEFCDBC，BCDGBD.考点 2 与圆有关的角例 2：(2015 年新课标)如图 10-3-6，AB 是圆 O 的直径，AC 是圆 O 的切线，BC 交圆 O 于点 E.(1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 O 的切线；(2)若 OA CE，求ACB 的大小.图 10-3-63解：(1)如图 D71，连接 AE，由已知，得 AEBC，ACAB.在 RtAEC 中，由已知，得 DEADDC，DECDCE.连接 OE，OBEOEB，ACBABC90，DECOEB90.图 D71OED90.DE 是圆 O 的切线.【规律方法】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；过切点有弦，应想到弦切角定理；若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.【互动探究】2.(2014 年新课标)如图 10-3-7，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CBCE.(1)证明：DE；(2)设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形.图 10-3-7解：(1)由题设知，A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE，由已知，得CBEE.故DE.(2)如图 D73，设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知，MNBC，故 O 在直线 MN 上.又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD.所以 ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.图 D73由(1)知，DE，所以 ADE 为等边三角形.考点 3 与圆有关的比例线段例 3：(2014 年新课标)如图 10-3-8，P 是O 外一点，PA是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PC2PA ，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，证明：图 10-3-8(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.证明：(1)如图 10-3-9，连接 AB，AC.由题设知 PA PD，图 10-3-9故PAD PDA.因为PDADACDCA，PAD BADPAB，DCAPAB，所以DACBAD.因此 BEEC.(2)由切割线定理，得 PA 2PBPC.因为 PC2PA ，所以 PA 2BP.所以 PD2PB，所以 BDPB.所以 BDDCPB2PB.由相交弦定理，得 ADDEBDDC.所以 ADDE2PB2.【规律方法】相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分.在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到圆的两条割线就要想到割线定理；见到圆的切线和割线就要想到切割线定理.【互动探究】3.(2015 年湖南)如图 10-3-10，在圆 O 中，相交于点 E 的两弦 AB，CD 的中点分别是 M，N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F，证明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.图 10-3-10解：(1)如图 D74，M，N 分别是弦 AB，CD 的中点，OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，OMEENO180.又四边形的内角和等于 360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N 四点共圆，故由割线定理即得 FEFNFMFO.图 D74易错、易混、易漏审题不清造成漏解例题：过不在O 上的一点 A 作直线交O 于 B，C，且ABAC64，OA10，则O 的半径等于_.正解：当点 A 在圆外时，由割线定理，得 ABAC 64 (OAr)(OAr)100r2，r236，r6；当点 A 在圆内时，根据相交弦定理，有 ABAC 64 (OAr)(rOA)r2100，r2164，r .答案：或 6【失误与防范】点 A 不在O 上，则点 A 有可能在圆外，也有可能在圆内，对于没有给出图形的问题要认真审题，并想清楚各种可能，本题很容易思维定势地认为点 A 在圆外而出错.2 412 411.圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递.2.要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连接直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题.3.判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明.4.证明多点共圆的常用方法：(1)证明几个点与某个定点距离相等；(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角).5.圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比.