揭密高考数学考点新方向

揭密高考数学考点新方向2006年的高考试题，将会继承和发扬历年高考改革的成果和经验，在保持整体稳定的前提下，加大改革创新的力度，形成“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的特点。这样有利于中学课程改革的实施和高校创新人才的选拔。2006年高考数学考点总体上不会有大的变化，重点还将是函数、三角、不等式、数列、解析几何、立体几何和概率上，但在保持基本要点的基础上，2006年考点将会沿着2004、2005年步伐，继续向前推进改革，以达到推改高中课改的要求，以有利于对学生创新能力和后继学习数学能力的考查。下面将2006年高考数学考点新动向作大胆的预测：一、向量知识综合化向量作为新增内容之一，自一开始引入中学数学教材就备受高考命题者的青睐，成为新高考的一个亮点，这是因为向量不仅拥有一套优良运算通性的数学体系，而且向量知识、向量观点在数学很多分支都有着广泛的应用，平面向量具有几何形式与代数形式的双重身份，能融数形一体，从而使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为数学多次内容的媒介。向量在2006年的高考中将向综合化发展，向量与三角，数列函数和解析几何等章节在高考中将综合命题，而向量与解析几何综合交汇命题是2006年高考的新动向。如2004年天津高考题。例1：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F（c，0）（c0）的准线l与x轴相交于点A，=2，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若=0，求直线PQ的方程；（3）设（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明。解析：设椭圆的方程为（ab0），由题意知b=，又，=2（）=2，c2 = 2b2 = 4，a2 = 4+2 = 6，故椭圆方程为，离心率e=。（2）由（1）解得椭圆方程（如图所示）过A（3，0）的直线与椭圆交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2）故应将过A（3，0）的直线方程y = k（x3）代入椭圆方程化成（3k2 +1）x218k2x + 27k26=0由于直线与椭圆有两个交点，故0，得出k（，）又，（x1，y1）（x2，y2）=0，即x1x2 + y1y2=0故需借助韦达定理，解得：k=，显然k=从而求得直线PQ方程为或（3）这一问主要对学生进行两个向量共线（即平行）的概念考查，是由条件（1）转化推理得到。由（1），得，又P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆上 由解得，（1），M（x1，y1），显然可证明本题构思新颖，具有初中平面几何特点，容易读懂，但处理起来有一定的困难，它反映出平面向量已经从高考的背后走向前台，已由单一的形式给出条件向综合的形式发展。可以看出以解析几何知识为载体，以向量为工具，以考查轨迹方程曲线性质和向量有关公式及其应用为目标，是2006年高考卷在向量与解析几何交汇点上设置试题的显著特点，向量将在2006年的高考中向综合形式发展。二、导数知识工具化导数由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数问题提供了一般性的方法。中学数学引入导数的内容使数学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，导数知识为我们研究函数问题提供了种很好的工具，利用导数知识可以很好的研究和解决不等式、数列和函数问题。在2004、2005年的高考试卷中有些不等式证明和数列题目可用导数知识来解决，把不等式证明变成函数求其值域，而数列问题变成函数问题研究其单调性。从这类题目中可以看出其本质是利用函数知识求其单调性，可以预测在2006年的高考试题中导数的工具性将会越来越明显，这也为后继学习作准备，但其实质不会改变，其实质是利用导数知识来求函数的单调性，再利用函数单调性求解。如2005年湖南卷中第21题。例2：已知函数f（x）=lnx，g（x）=，a0. （1）若b=2，且函数h（x）= f（x）g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围。（2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N。证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。解析：（1）b=2时，h（x）=lnx，则（x）=。因为函数h（x）存在单调递减区间，所以（x）0，则0有x0的解。当a0时，y=ax2 + 2x1为开口向上的抛物线，ax2 + 2x10总有x0的解；当a0有x0解，则= 4 + 4a0，且方程ax2 + 2x1=0至少有一正根。此时，-1a0。综上所述，a的取值范围为（1，0）（0，+）。 （2）证法一：设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0x1x2。则点M、N的横坐标为