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精选优质文档-倾情为你奉上 空间图形与平面图形【概 述】1立体几何是平面几何的继续与发展. 平面几何研究平面图形(由同一个平面内的点、线构成的图形)的形状、大小和位置关系；立体几何的研究空间图形(由空间的点、线、面构成的图形)的性质、画法、计算，以及它们的应用，主要表现为空间位置关系的判断、空间角与距离的计算以及特殊几何体的有关面积与体积的计算；2研究立体几何的主要思想方法是：空间问题平面化；3观察、类比、空间想象，作图、识图、计算等是研究立体几何的必备技能. 【问题解决】一、空间角与距离1 空间角主要有：异面直线所成角(定义、度量、范围)、直线与平面所成角、二面角；2 平行与垂直等位置关系可以看成是特殊的角；3 空间距离主要有：点与线的距离、点与面的距离、线与线(平行、异面)的距离、线与面的距离、面与面的距离等ABCD.例1 已知正四面体ABCD的棱长为a.(1) 求点A到面BCD的距离；(2) 求AB与面BCD所成角；(3) 求二面角ACDB的大小；.例2 如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA面ABCD，且PA = AB = 2BC = 2.(1)求证AD面PBC；(2)求证面PBC面PAB；(3)求点A到面PBC的距离；(4) 求异面直线PC与AD所成的角. A BD CP 例3 已知P是正方形ABCD所在平面外一点，PA面ABCD，且PA = AB = a. 求：(1)PC与平面ADP所成角；(2)面PCD与面ABCD所成角；(3)AP与面CDP所成角；(4)面PAB与PCD所成角；(5) 点D到面PBC的距离；(6)若E、F分别为BC、CD的中点，求A到面PEF的距离和直线BD到面PEF的距离.A BD CP例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1C1D1的中心，求：A BD CA1 B1D1 C1E(1)AE与面ABCD与成的角；(2)AE与A1C所成的角； (3)AE与面ABB1A1与成的角；(4) AE与BD1所成的角. OA BD CA1 B1D1 C1G例5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，G为CC1的中点.(1) 求证：A1O面GBD；(2) 求异面直线A1O与D1G所成角的余弦值；(3) 求异面直线AC与D1G所成角的正弦值.A BD CA1 B1D1 C1例6 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，侧棱AA1和AB、AD所成的角相等，且.(1) 求证：对角面ACC1A1底面ABCD；(2) 求证：对角面BB1D1D是矩形；(3)若BAD = 60，AA1 = AB，求二面角B1BDC的大小.ABCD例7 已知平面/平面，AB与CD是夹在平面与平面之间的两条线段，若AB与平面所成的角为30，且ABCD，AB = 2.(1) 求平面与平面的距离；(2) 求线段CD的取值范围 例8 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为a，侧棱长为2a.(1) 求点B1到面A1BC1的距离；(2) 求二面角A1BC1B1的正切值；(3) 求异面直线AC1与B1C所成的角；(4) 若E是BB1上的点，异面直线AE与A1D所成的角是60，求BE的长.A BD CA1 B1D1 C1E例9 如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1平面DBC1；(2)假设AB1BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角的度数.例10 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,EBB1，截面A1EC侧面AC1.()求证:BE=EB1；()若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数. 例11 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1AB1，BC1A1C，求证AB1 = A1C. A BCA1 B1C1二、折叠与展开折叠、围圈、旋转是将平面图形扩展生成空间图形的主要途径. 在生成的空间图形中，各相关元素的位置关系与数量关系，既与原平面图形中的相关元素的位置关系与数量关系有关联，又会形成新的位置关系与数量关系，这些变化都与生成过程有关. 射影、展开、截面是将空间图形转化为平面图形的主要途径和方法. 这些途径和方法既用于空间直线与平面位置关系的判定，又用于空间几何量(角、距离、面积、体积等)的计算，是分析和解决空间图形各种问题的基本思路之一，也是化归思想 “空间问题平面化”的具体体现. 例12 把边长为a的正ABC沿其高AD折成60的二面角. (1)求BC的长；(2)求二面角ABCD的度数；(3)求二面角ACDB的度数.B D CAD CBA A E BD CEPD C例13 如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如果将DAE和CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为 度.例14 已知长方形ABCD中，AB = 4，BC = 3，把长方形沿对角线AC折成一个二面角，此时D在面ABC上的射影E在AB上.(1) 求证：面ABD面BCD；(2)求BD的长；(3)求二面角DACB的度数.A BD CA CBDE例15 如图，在ABC中，ACB = 90，D、E分别是AC、AB的中点，沿DE将ADE折起，使点A到A的位置，且平面ADE平面ABC，设M是AB的中点.(1) 求证：ME平面ACD；(2) 求证：ME平面ABC；(3) 若，求直线AB与平面ABC所成角的正切值；(4) 若RtABC中，求点C到平面ABE的距离.B E ACDAM例16 把边长为a的正方形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H，沿对角线BD将正方形折成直二面角. DCABE HF G(1) 证明四边形EFGH是矩形；(2) 求四边形EFGH的面积；(3) 求面EFGH与面BCD所成角的大小； 例17 如图，在边长为a的正三角形三个角处各剪去一个相同的四边形，用余下的部份做成一个无盖的正三棱柱容器，则此容器的高是多少时，容器的容积最大？最大值是多少？OC DB ANMO1 例18 如图，一扇形铁皮AOB的圆心角为60，半径OA = 72cm. 现剪下一个扇环ABCD做圆台形容器的侧面，并从余下的扇形OCD内下一个最大的圆刚好做容器的下底(圆台的下底面大于上底面)，若不计焊接，则OC的长为 .例19 已知RtABC中，C = 90. 设BC = a，CA = b，AB = c，以AB边所在直线为轴将ABC旋转一周生成的旋转体的侧面积为S1，ABC的内切圆面积为S2.(1) 求S1，S2；(2) 设，试将表示为x的函数f (x)，并求函数的定义域；(3) 判断函数f (x)的单调性，并求函数的最小值.例20 关于直角ABC在已知平面内的射影，有如下判断：可能是一条线段；可能是一个锐角三角形；可能是一个直角三角形；可能是一个钝角三角形；可能是一个点. 其中正确判断的序号是 . (注：把正确判断的序号都填上)例21 如图，在正三棱锥A-BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，E、F分别是侧棱AC、AD上的动点，求截面BEF的周长的最小值，及相应的E、F的位置.ACB DEF 例22 已知圆台的轴截面的两条对角线互相垂直，上下两底面半径之比为3：4，圆台的侧面积为，求圆台的母线长. 三、综合问题(接与切，割与补，简单组合体等)A BD CE F例23 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF与面ABCD的距离为2，求这个多面体的体积.A BD CB1D1C1例24 如图，多面体ABCDB1C1D1是底面为ABCD的正四棱柱的一部份，若面AB1C1D1与底面ABCD成30，若BB1=DD1，且AB=1，求这个多面体的体积.例25 一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆，如果椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截得的几何体的的最短母线长为1，求此几何体的体积.例26 已知PQ是过抛物线焦点F的任意一条弦，点M、N分别是点P、Q在准线l上的射影，若将PQ绕准线l旋转一周所得旋转面的面积为S1，以MN为直径的一球面面积为S2，试比较S1和S2的大小.例27 过椭圆的左焦点作一条长为的弦AB，将此椭圆绕其左准线旋转，求弦AB扫过的曲面的面积. 例28 如图，SG是正三棱锥SABC的斜高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点. (1) 指出SG与平面DEF的位置关系，并予以证明；A CBSGDEF(2) 若，求二面角F-DE-C的度数. 例29 如图，M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1、BC、CD的中点.A BD CA1 B1D1 C1NMP(1) 求证A1P面DMN；(2) 求DC与面DMN所成的角. B ACC1 例30 如图，已知直角三角形ABC的斜边AB在平面内，点C在平面上的射影为C1，若AC = 3，BC = 4，CC1 = 2. (1) 求BC与平面所成的角；(2) 求二面角A-BC-C1的大小；(3) 求三棱锥C1-ABC的体积. 例31 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点.A BD CA1 B1D1 C1E(1) 求截面A1BD与截面EBD所成角的度数；(2) 求几何体A1-EBD的体积.例32 已知正四棱锥P-ABC的内切球半径为1. 若下四棱锥底面边长为x，高为h.(1) 试求高h关于x的函数，并指出其定义域；(2) 当x为何值时，正四棱锥的体积最小，并求出这个最小值；(3) 当正四棱锥的体积最小时，求二面角B-PC-D的度数. 专心-专注-专业
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