甘肃省地区中考数学总复习 第23讲 矩形、菱形与正方形课件

第23讲矩形、菱形与正方形要点梳理 1有一个角是_的平行四边形是矩形矩形的四个角都是_，对角线 矩形的判定方法：(1)有三个角是_的四边形是矩形；(2)有一个角是 的平行四边形是矩形；(3) 的平行四边形是矩形；(4) 的四边形是矩形直角直角相等且互相平分直角对角线相等对角线相等且互相平分直角要点梳理 2有一组_ _的平行四边形叫做菱形菱形的四条边都_，对角线_ _，且每一条对角线 菱形的判定方法：(1)四条边都_的四边形是菱形；(2)有一组_ _的平行四边形是菱形；(3)对角线_ _的平行四边形是菱形；(4)对角线_ _的四边形是菱形邻边相等相等互相垂直平分平分一组对角相等邻边相等互相垂直互相垂直平分要点梳理 3有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的四个角都是_，四条边都_，两条对角线_，并且 ，每一条对角线 正方形的判定方法：(1)邻边相等的_是正方形；(2)有一角是直角的_是正方形直角相等相等互相垂直平分平分一组对角矩形菱形1(2012甘南州)顺次连接菱形的各边中点，所得的四边形一定是()A平行四边形B矩形C菱形D正方形B2(2011甘南州)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是()AAC，BD互相平分BBABCCACBDDABCDA3(2011兰州)如图，依法连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_ 4(2013甘南州)如图，在菱形ABCD中，A60，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接CG.(1)求BGD的度数；(2)求证：BGDGCG.(1)120(2)证明：由(1)得BGDG，且CBG90，CGB60，CG2GBBGDG5(2013白银)如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD，连接BF.(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由(1)BDCD.理由如下：AFBC，AFEDCE，FAECDE.又E是AD的中点，AEDE.AFE DCE.AFCD.又AFBD，BDCD(2)当ABC满足ABAC时，四边形AFBD是矩形理由如下：AFBC，AFBD，四边形AFBD是平行四边形又ABAC，BDCD，ADBC.ADB90.四边形AFBD是矩形6(2012天水)如图所示是一张矩形纸片ABCD(ADAB)，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE.(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2ACAP；(3)若AE10 cm，ABF的面积为24 cm2，求ABF的周长(1)证明：由折叠得OAOC，EFAC.ADBC，AEOCFO，EAOFCO.AOECOF，AECF.又AECF，四边形 AECF 是平行四边形又ACEF，四边形 AECF 是菱形 (2)证明：AEPAOE90，EAOEAP， AOEAEP，AEAPAOAE，AE2AOAP.四边形AECF 是菱形，AO12AC，AE212AC AP， 2AE2ACAP (3)24 cm 7(2014甘肃省)D，E分别是不等边三角形ABC(即ABBCAC)的边AB，AC的中点，O是ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)(1)证明：D，E 分别是 AB，AC 边的中点，DEBC，且 DE12BC，同理，GFBC，且 GF12BC，DEGF且 DEGF，四边形DEFG 是平行四边形 (2)当 OABC 时，平行四边形DEFG 是菱形 矩形【例 1】 (2014枣庄)如图， 四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，已知 O 是 AC 的中点，AECF，DFBE. (1)求证：BOEDOF； (2)若 OD12AC，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论 (1)DFBE，FDOEBO，DFOBEO， O 为 AC 的中点，即 OAOC，AECF， OAAEOCCF，即 OEOF，在BOE 和DOF中，FDOEBO，DFOBEO，OEOF，BOEDOF(AAS) (2)若 OD12AC，则四边形 ABCD 是矩形，理由为：BOEDOF，OBOD，OAOBOCOD，即BDAC，四边形 ABCD为矩形 【点评】利用平行线的相关性质找到对应角相等，再结合已知条件来证三角形的全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便1(2013聊城)如图，四边形ABCD中，ABCD90，BCCD，CEAD，垂足为E.求证：AECE.证明：过点B 作 BFCE 于 F，CEAD，DDCE90，BCD90，BCFDCE90 ， BCF D ， 在 BCF 和 CDE 中 ，BCFD，CEDBFC90，BCCD，BCFCDE(AAS)， BFCE，又A90，CEAD，BFCE， 四边形AEFB 是矩形，AEBF，AECE 菱形 【例2】(2013黄冈)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DHAB于H，连接OH，求证：DHODCO.证明：四边形ABCD是菱形，ODOB，COD90，DHAB，OHOB，OHBOBH，又ABCD，OBHODC，在RtCOD中，ODCDCO90，在RtDHB中，DHOOHB90，DHODCO【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键2(2014厦门)如图，在四边形ABCD中，ADBC，AMBC，垂足为M，ANDC，垂足为N，若BADBCD，AMAN，求证：四边形ABCD是菱形证明：ADBC，BBAD180，DC180，BADBCD，BD，四边形ABCD 是平行四边形，AMBC，ANDC，AMB AND 90 ， 在 ABM和 ADN中 ，BD，AMBAND90，AMAN，ABMADN(AAS)， ABAD，四边形 ABCD 是菱形 正方形【例3】(2013毕节)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DEBF，连接AE，AF，EF.(1)求证：ADE ABF；(2)填空：ABF可以由ADE绕旋转中心_点，按顺时针方向旋转_度得到；(3)若BC8，DE6，求AEF的面积(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ADAB，D ABC90，而 F 是 CB 的延长线上的点，ABF 90，在ADE 和ABF 中ABAD，ABFADE，BFDE，ADEABF(SAS) (2)ADEABF， BAFDAE， 而DAEEAB90， BAFEAB90， 即FAE90， ABF可以由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到，故答案为：A，90 (3)BC8，AD8，在 RtADE 中，DE6，AD8，AE AD2DE210，ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到，AEAF，EAF90，AEF 的面积12AE21210050(平方单位) 【点评】正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点3(1)(2014扬州)如图，已知RtABC中，ABC90，先把ABC绕点B顺时针旋转90至DBE后，再把ABC沿射线平移至FEG，DE，FG相交于点H.判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；连接CG，求证：四边形CBEG是正方形FGED.理由如下：ABC 绕点 B 顺时针旋转 90至DBE后， DEBACB， 把ABC 沿射线平移至FEG， GFEA， ABC90， AACB90， DEBGFE90，FHE90，FGED 证明：根据旋转和平移可得GEF90，CBE90，CGEB，CBBE，CGEB，BCGCBE180，BCG90，四边形 BCGE 是矩形，CBBE，四边形 CBEG 是正方形 (2)(2014牡丹江)如图，在RtABC中，ACB90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.求证：CEAD；当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；若D为AB中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由证明：DEBC，DFB90，ACB90，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四边形ADEC是平行四边形，CEAD解：四边形BECD是菱形，理由是：D为AB中点，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四边形BECD是平行四边形，ACB90，D为AB中点，CDBD，四边形BECD是菱形当A45时，四边形BECD是正方形，理由是：解：ACB90，A45，ABCA45，ACBC，D为BA中点，CDAB，CDB90，四边形BECD是菱形，四边形BECD是正方形，即当A45时，四边形BECD是正方形