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第四讲 相交线与平行线（二） 例例1：如图：如图1，先找到长方形的宽，先找到长方形的宽DC的中点的中点E，将，将C过过E点折起任意一个角，折痕是点折起任意一个角，折痕是EF，再将，再将D过过E点折起，使点折起，使DE和和CE重合，折痕是重合，折痕是GE. 请探究下列问题：请探究下列问题： (1)FEC 和和GED 互为余角吗？为什么？互为余角吗？为什么？ (2)GEF是直角吗？为什么？是直角吗？为什么？ (3)在上述折纸图形中，还有哪在上述折纸图形中，还有哪 些互为余角，哪些互为补角？些互为余角，哪些互为补角？一.典型例题图图1 解解: (1) 由折纸实验知，由折纸实验知，31，42 . 又又1234180, 1290. 即即FEC GED=90. FEC 和和GED互为余互为余角角. (2)GEF 1290, GEF是直角是直角. (3) 3和和4, 1和和EFG互为余角互为余角, AGF和和DGF, CEC 和和DEC 互为补角互为补角,等等等等(答案不惟一答案不惟一).一.典型例题点评：通过自己实际动手折纸实验点评：通过自己实际动手折纸实验,体会了互为余角体会了互为余角,互为互为补角等数学概念补角等数学概念,既培养了自己动手操作能力既培养了自己动手操作能力,又把知识运又把知识运用到实践用到实践,解决了问题解决了问题,还能提高自己对数学学习的认识还能提高自己对数学学习的认识. 例例2：如图：如图2,A、B、C分别表示三个小城镇每分别表示三个小城镇每两个之间都由笔直的公路连接，他们计划共同两个之间都由笔直的公路连接，他们计划共同投资建一座变电站，并希望到三个小镇的距离投资建一座变电站，并希望到三个小镇的距离相等，请确定变电站的位置相等，请确定变电站的位置.一.典型例题图图2分析：变电站分析：变电站P P要到三个小镇的要到三个小镇的距离相等，实际我们可以判断距离相等，实际我们可以判断点点P P在线段在线段ABAB、BCBC的垂直平分线的垂直平分线上上, ,只要作出线段只要作出线段ABAB、BCBC的垂直的垂直平分线平分线, ,确定出交点确定出交点. . 例例2：如图：如图2,A、B、C分别表示三个小城镇每分别表示三个小城镇每两个之间都由笔直的公路连接，他们计划共同两个之间都由笔直的公路连接，他们计划共同投资建一座变电站，并希望到三个小镇的距离投资建一座变电站，并希望到三个小镇的距离相等，请确定变电站的位置相等，请确定变电站的位置.一.典型例题图图2作法作法:作线段作线段AB的垂直平分线；的垂直平分线；作线段作线段BC的垂直平分线的垂直平分线,两条垂两条垂直平分线的交点为直平分线的交点为P. 则点则点P就是变就是变电站的位置电站的位置.图图3点评：解答此题的关键是能够根据点评：解答此题的关键是能够根据已知的条件判断出是有关线段垂直已知的条件判断出是有关线段垂直平分线的问题平分线的问题,掌握了作线段垂直平掌握了作线段垂直平分线的方法即可解决问题分线的方法即可解决问题. 例例3： 如图如图3, ABC中中,BC=10,BC的垂直平分的垂直平分线分别交线分别交AB、BC于点于点E和和D,BE=6,求求EBC的的周长周长. 解解:DE是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线, BE=CE=6, EBC的周长的周长= BECEBC =22. 点评：解答此题的关键是运点评：解答此题的关键是运 用线段垂直平分线的性质，用线段垂直平分线的性质， 得到两线段相等得到两线段相等,进行替换进行替换, 将周长转化为已知线段的和将周长转化为已知线段的和.一.典型例题 1.如图如图4，DHEGBC，且，且DCEF，那么图中和，那么图中和1相等的角的个数是（相等的角的个数是（ ）图）图4 A.2 B.4 C.5 D.6二.能力提高 2 与与 是同一平面内的两条相交直线，它们有是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交个交点；如果在这个平面内，再画第三条直线点；如果在这个平面内，再画第三条直线 ，那么这，那么这三条直线最多有三条直线最多有_个交点；如果在这个平面内再个交点；如果在这个平面内再画第画第4条直线条直线 ，那么这，那么这4条直线最多可有条直线最多可有_个交个交点点. 由此可以猜想：由此可以猜想： （1）在同一平面内，）在同一平面内，6条直线最多可有条直线最多可有_个交个交点；点；n条直线最多可有条直线最多可有_个交点个交点.（用含（用含n的代数式表的代数式表示）图示）图5 （2）在同一平面内有）在同一平面内有m条直线，其中有条直线，其中有n（nm） 条直线平行，则最多有条直线平行，则最多有_个交点个交点.（用含（用含m、n的代的代数式表示）数式表示）二.能力提高1l2l3l4l 3如图如图5 ，OB，OC是是AOD内部的任意两内部的任意两条射线，条射线，OM平分平分AOB，ON平分平分COD，若若MON= ，BOC= ， 则则AOD等于等于_.（用含（用含 、 表示）表示）二.能力提高 D O A B C N M图图5 4如图如图6 , ABCD,1=B, 2=D.运用平行运用平行线的知识说明线的知识说明BEDE.二.能力提高21BACDE图图6 5如图如图7所示的容器，你能设计一种所示的容器，你能设计一种测量容器内壁测量容器内壁AB与与CD夹角的方法吗？夹角的方法吗？二.能力提高 C A D B 图5-1-17图图7 6(1) 如图如图8，MA1NA2，则，则A1A2_度度. (2)如图如图9，MA1NA3，则，则A1A2A3_度度.二.能力提高A1A2图8MNA1A3图9MN (3)如图如图10，MA1NA4，则，则A1A2A3A4_度度. (4)如图如图11，MA1NA5，则，则A1A2A3A4A5_度度. 二.能力提高A2MA3A1A4图10NA3A1A2A4A5图11MN (5) 从上述结论中你发现了什么规律？从上述结论中你发现了什么规律？ 如图如图12，MA1NAn，则，则A1A2A3An_度度.二.能力提高0A1A3A4A5A2A6An图图12MN 7在同一个平面内在同一个平面内 （1）已知三条不同的直线）已知三条不同的直线a1、a2，a3，且，且a1a2，a2a3.请问请问a1与与a3有什么位置关系？有什么位置关系？为什么？为什么？ （2）已知十条不同的直线）已知十条不同的直线a1、a2，a9、a10，且，且a1a2，a2a3，a3a4，a4a5，a5a6，a6a7，a7a8，a8a9，a9a10.请问请问a1与与a10有什么位置关系？为什么？有什么位置关系？为什么？ 二.能力提高 8. 如图如图13,要在河边修建一个抽水站要在河边修建一个抽水站,分别向张庄分别向张庄和李庄送水和李庄送水.抽水站建在河边什么地方抽水站建在河边什么地方,可使所用水可使所用水管最短管最短?(说明说明:河边用直线河边用直线a表示表示,A表示张庄表示张庄,B表示表示李庄李庄)二.能力提高 1.（2006四川成都）把一张长方形的纸片四川成都）把一张长方形的纸片按如图按如图14所示的方式折叠，所示的方式折叠，EM、FM为折痕，为折痕，折叠后的折叠后的C点落在点落在BM或或BM的延长线上，那的延长线上，那么么EMF的度数是（的度数是（ ） A.85B.90C.95D.100 三.体验中考 2. (2006江苏宿迁江苏宿迁)如图如图15，将矩形，将矩形ABCD沿沿AE折叠，若折叠，若BAD30，则，则AED 等于（等于（ ） A.30 B.45 C.60 D.75三.体验中考 3.（2005河南省）如图河南省）如图16，点，点O在直线在直线AB上，上，OC为射线，为射线，2比比1的的3倍少倍少10 ，设，设1 ， 2的度数分别为的度数分别为x,y,那么下列能求出这两个角那么下列能求出这两个角的度数的方程组是的度数的方程组是 （ ） A. B. C. D.三.体验中考10180yxyx103180yxyx10180yxyx1031803yxyCAB图图1612O四.参考答案参考答案：参考答案：二能力提高二能力提高1C 2. 3 6 15 n(n-1)2 (m-n)n3. 2- 4. 提示：过点提示：过点E作作EFAB，则，则1=BEF,2=DEF,得得BED=90。5运用对顶角相等的方法运用对顶角相等的方法.四.参考答案6（1） 180 （2） 360 （3） 540 （4）720 （5）（）（n-1）1807（1）a1a3 （2） a1a108略略三体验中考三体验中考1B 2. C 3. B
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