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第3章空间向量与立体几何栏目索引知识网络 整体构建要点归纳 主干梳理方法总结 思想构建返回 知识网络 整体构建1.空间向量的运算及运算律空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立.2.两个向量的数量积的计算向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中.3.空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求解.常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题. 要点归纳 主干梳理4.空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.5.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解.6.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.返回1.数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.空间向量是既有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过程顺畅、简捷、有效，提高解题速度. 方法总结 思想构建例1某几何体ABCA1B1C1的三视图和直观图如图所示.解析答案(1)求证：A1C平面AB1C1；证明由三视图可知，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，B1C1A1C1，且AA1AC4，BC3.解析答案以点C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由已知可得A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)，CA1C1A，CA1C1B1，又C1AC1B1C1，C1A平面AB1C1，C1B1平面AB1C1，A1C平面AB1C1.(2)求二面角C1AB1C的余弦值.解析答案设平面AB1C的法向量为n(x，y，z)，跟踪训练1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；解析答案证明建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，解析答案设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)，令z12，则y11，所以n1(0，1,2).又因为FC1 平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)平面ADE平面B1C1F.令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.解析答案2.转化和化归思想转化和化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.其本质含义是：在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的.解析答案解如图所示，连结ED，解析答案EA底面ABCD且FDEA，FD底面ABCD，FDAD，DCAD，FDCDD，FD平面FDC，CD平面FDC，AD平面FDC，解析答案(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；解析答案解以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 由已知可得A(0,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，F(0,2,1)，设平面ECF的法向量为n(x，y，z)，取y1，得平面ECF的一个法向量为n(1,1,2)，设直线EB与平面ECF所成角为，解析答案(3)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.解如图所示，取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求. 解析答案解析答案设平面ABF的法向量n1(x，y，z)，由n1n20知，平面ABF与平面ADF垂直，方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.用空间向量解决立体几何问题属于用代数方法求解，很多时候需引入未知量.3.方程思想解析答案解以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，(2)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，并求出点N到AB的距离和点N到AP的距离.解析答案解由于点N在侧面PAB内，故可设点N的坐标为(x,0，z)，解析答案解析答案跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点.(1)求点C到平面A1ABB1的距离；解由ACBC，D为AB的中点，得CDAB，又CDAA1，AA1ABA，AA1平面A1ABB1，AB平面A1ABB1，故CD平面A1ABB1，(2)若AB1A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.解析答案解如图，过点D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. 解析答案设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，设平面C1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，取x21，得n(1,0,0)，空间向量的引入为立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题解决的过程之中，成为高考必考的热点之一.(1)对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空间中的线线角、线面角以及二面角的求解；空间中简单的点点距和点面距的求解.给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年考查中已有体现.题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间向量的基本概念和运算.课堂小结(2)空间向量的引入使空间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数字运算问题，降低了思维的难度，成为高考必考的热点.考查的重点是结合空间几何体的结构特征求解空间角与距离，其中二面角是历年高考命题的热点，多为解答题.(3)利用向量处理平行和垂直问题，主要是解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题.对于垂直，主要利用abab0进行证明.对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.利用向量处理角度的问题，利用向量求空间角(线线角、线面角、二面角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos 进行计算.返回
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