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专题六立体几何第1讲空间几何体高考导航高考导航热点透析热点透析思想方法思想方法高考体验1.(2014高考浙江卷,理3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )(A)90 cm2(B)129 cm2(C)132 cm2(D)138 cm2D D2.(2014高考新课标全国卷,理6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )C C3.(2013高考浙江卷,理12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3.答案答案: :24244.(2012高考浙江卷,理11)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于 cm3.答案答案: :1 1感悟备考从近几年的考情分析来看:三视图是每年的必考内容,一般以选择题的形式出现,一是考查相关的识图,由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查体积的计算等,均属低中档题.预计2015年仍以选择题形式考查三视图的识图问题以及简单几何体体积的计算,另外,由直观图判断三视图以及由三视图求几何体表面积侧面积,也不能忽视,所以在备考中应熟悉常见几何体的三视图及其画法,掌握数形结合与化归与转化思想在解题中的应用.热点一 空间几何体三视图的识别【例1】 (1)(2014温州二模)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是()(2)(2012年高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为()解析解析: :(1)B(1)B选项与侧视图不符选项与侧视图不符,C,C中与俯视图不符中与俯视图不符,D,D中与中与正视图不符正视图不符. .故选故选A.A.(2)(2)左视图即左视图即ADAD、DDDD1 1、D D1 1A A、ABAB1 1、B B1 1D D1 1在原正方体右侧部在原正方体右侧部分投影分投影, ,为实线为实线, ,另另B B1 1C C也在其中为虚线也在其中为虚线, ,只有选项只有选项B B符合符合, ,故选故选B.B.题后反思题后反思 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图, ,因因此在分析空间几何体的三视图问题时此在分析空间几何体的三视图问题时, ,先根据俯视图确定先根据俯视图确定几何体的底面几何体的底面, ,然后根据正然后根据正( (主主) )视图或侧视图或侧( (左左) )视图确定几视图确定几何体的侧棱与侧面的特征何体的侧棱与侧面的特征, ,调整实线和虚线所对应的棱、调整实线和虚线所对应的棱、面的位置面的位置, ,再确定几何体的形状再确定几何体的形状, ,即可得到结果即可得到结果. .热点训练1:(1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()(2)(2013高考新课标卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()解析解析: :(1)(1)由于俯视图是两个圆由于俯视图是两个圆. .所以排除选项所以排除选项A A、B B、C,C,故选故选D.D.(2)(2)在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,设正方体设正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1棱长为棱长为1,A1,A1 1(1,0,1),B(1,1,0),C(1,0,1),B(1,1,0),C1 1(0,1,1),O(D)(0,0,0),(0,1,1),O(D)(0,0,0),若以若以zOxzOx平面为投影面平面为投影面, ,即从右向左看的正视图为正方形即从右向左看的正视图为正方形ADDADD1 1A A1 1, ,其其中中A A1 1D D、BCBC1 1分别为虚线、实线分别为虚线、实线. .故选故选A.A.热点二 由三视图求空间几何体的体积及表面积【例2】 (1)(2014温州一模)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()(A)1 cm3(B)3 cm3(C)5 cm3(D)7 cm3题后反思题后反思 求解几何体的体积的技巧求解几何体的体积的技巧(1)(1)求几何体的体积问题求几何体的体积问题, ,可以多角度、多方位地考虑可以多角度、多方位地考虑, ,熟熟记公式是关键所在记公式是关键所在. .求三棱锥的体积求三棱锥的体积, ,等体积转化是常用等体积转化是常用的方法的方法. .(2)(2)求不规则几何体的体积求不规则几何体的体积, ,常用分割或补形的思想常用分割或补形的思想, ,将不将不规则几何体转化为规则几何体来求解规则几何体转化为规则几何体来求解. .热点训练2:(1)一个五面体的三视图如图,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五面体的体积为.(2)(2014高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()答案答案: :(1)2(1)2(2)A(2)A热点三 几何体的综合问题【例3】 给出下列命题:在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直;所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.其中正确命题的序号是.解析解析: :正确正确, ,正四面体是每个面都是等边三角形的四面正四面体是每个面都是等边三角形的四面体体, ,如正方体如正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中的四面体中的四面体A-CBA-CB1 1D D1 1; ;错误错误, ,如如图所示图所示, ,底面底面ABCABC为等边三角形为等边三角形, ,可令可令AB=VB=VC=BC=AC,AB=VB=VC=BC=AC,则则VBCVBC为等边三角形为等边三角形, ,VABVAB和和VCAVCA均为等腰三角形均为等腰三角形, ,但但不能判定其为正三棱锥不能判定其为正三棱锥; ;错误错误, ,必须是相邻的两个侧必须是相邻的两个侧面面; ;错误错误, ,如果有两条侧棱和底面垂直如果有两条侧棱和底面垂直, ,则它们平行则它们平行, ,不不可能可能; ;正确正确, ,当两个侧面的公共边垂直于底当两个侧面的公共边垂直于底面时成立面时成立; ;错误错误, ,当底面是菱形时当底面是菱形时, ,此此说法不成立说法不成立, ,所以应填所以应填. .答案答案: :题后反思题后反思 几种常见的多面体的结构特征几种常见的多面体的结构特征(1)(1)直棱柱直棱柱: :侧棱垂直于底面的棱柱侧棱垂直于底面的棱柱. .特别地特别地, ,当底面是正当底面是正多边形时多边形时, ,叫正棱柱叫正棱柱( (如正三棱柱如正三棱柱, ,正四棱柱正四棱柱).).(2)(2)正棱锥正棱锥: :指的是底面是正多边形指的是底面是正多边形, ,且顶点在底面的射且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥影是底面中心的棱锥. .特别地特别地, ,各条棱均相等的正三棱锥各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体又叫正四面体. .热点训练3:以下命题中,说法正确的是.底面是矩形的四棱柱是长方体;直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥;四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形.解析解析: :命题不是真命题命题不是真命题, ,若侧棱不垂直于底面若侧棱不垂直于底面, ,这时四棱柱这时四棱柱是斜四棱柱是斜四棱柱; ;命题不是真命题命题不是真命题, ,直角三角形绕着它的一条直直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥, ,如果绕着它的斜边旋如果绕着它的斜边旋转一周转一周, ,形成的几何体则是两个具有共同形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥底面的圆锥; ;命题是真命题命题是真命题, ,如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥PABCDPABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形, ,PAPA平面平面ABCD,ABCD,则可以得到四个侧面都是直角三角形则可以得到四个侧面都是直角三角形. .答案答案: :方法点睛方法点睛 求空间几何体的体积时求空间几何体的体积时, ,常常需要对图形进行适当的常常需要对图形进行适当的构造和处理构造和处理, ,使复杂图形简单化使复杂图形简单化, ,非标准图形标准化非标准图形标准化, ,此时转化此时转化与化归思想就起到了至关重要的作用与化归思想就起到了至关重要的作用. .利用转化与化归思想求利用转化与化归思想求空间几何体的体积主要包括割补法和等体积转化法空间几何体的体积主要包括割补法和等体积转化法, ,具体运用具体运用如下如下: :(1)(1)补法是指把不规则的补法是指把不规则的( (不熟悉或复杂的不熟悉或复杂的) )几何体延伸或补成几何体延伸或补成规则规则( (熟悉的或简单的熟悉的或简单的) )的几何体的几何体, ,把不完整的图形补成完整的把不完整的图形补成完整的图形图形. .(2)(2)割法是指把复杂的割法是指把复杂的( (不规则的不规则的) )几何体切割成简单的几何体切割成简单的( (规则的规则的) )几何体几何体. .(3)(3)等体积转化法是把不易求高的几何体的体积通过已知条件等体积转化法是把不易求高的几何体的体积通过已知条件转化为易求高的几何体的体积求解转化为易求高的几何体的体积求解. .变式训练:已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的体积;(2)如果点P,Q在正视图中所示位置:P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体侧面上,从P点到Q点的最短路径的长.【例2】 (2013高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()(A)180(B)200(C)220(D)240解析解析: :由三视图画直观图如图所示由三视图画直观图如图所示, ,所以几何体为直四棱柱所以几何体为直四棱柱, ,其高为其高为10,10,底面是上底为底面是上底为2,2,下底下底为为8,8,高为高为4,4,其腰为其腰为5 5的等腰梯形的等腰梯形, ,
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