高中数学基础复习 第五章 平面与空间向量 第5课时空间向量及其运算

要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展误 解 分 析第5课时 空间向量及其运算1.若若a、b是空间两个非零向量，它们的夹角为是空间两个非零向量，它们的夹角为(0)，则把，则把a、b的数量积定义为的数量积定义为|a|b|cos，记作，记作ab.即即ab=|a|b|cos. 2.ab=ba，(a+b)c=ac+bc返回返回3.若若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，则，则 ab=x1x2+y1y2+z1z2222222212121212121zyxzyxzzyyxxbabacos1.在以下四个式子：在以下四个式子：a+bc，a(bc)，a(bc)，|ab|=|a|b|中正确的有中正确的有( ) (A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)0个个2.若若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果，如果a与与b为共线向量，则为共线向量，则( ) (A)x=1 , y=1 (B)(C) (D)3.已知四边形已知四边形ABCD中，中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，对角线，对角线AC，BD的中点分别为的中点分别为E，F，则，则EF=_2121yx，2361yx，2361yx，课课 前前 热热 身身AC3a+3b-5c返回返回4.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出四个命题：中，下面给出四个命题： (A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2A1C(A1B1-A1A)=0.AD1与与A1B的夹角为的夹角为60此正方体体积为：此正方体体积为：|ABAB1AD| 则错误命题的序号是则错误命题的序号是_(填出所有错误命题的序号填出所有错误命题的序号). 5.若若A、B、C三点在同一条直线上，对空间任意一点三点在同一条直线上，对空间任意一点O，存在存在m、nR，满足，满足OC=mOA+nOB，则，则m+n=_. 、11.已知三棱锥已知三棱锥OABC中，中，G为为ABC的重心，的重心，OA=a，OB=b，OC=c，试用，试用a , b , c 来表示来表示OG. 【解题回顾解题回顾】(1)此例用到的常用结此例用到的常用结论为：若论为：若AD是是ABC的中线，则有的中线，则有(2)此例是常用结论即重心定理：当此例是常用结论即重心定理：当OA、OB、OC两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为：坐标公式为：ACABAD21333321321321zzzyyyxxxG，2.已知正三棱锥已知正三棱锥PABC中，中，M，N分别是分别是PA，BC的中点，的中点，G是是MN的中点的中点.求证：求证：PGBC. 【解题回顾解题回顾】要证要证PGBC，只，只要证要证PGBC=0，应选择适当的基，应选择适当的基底：底：PA，PB，PC. 3.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，AC交交BD于于O，G为为CC1中点中点. 求证：求证：A1O平面平面GBD. 【解题回顾解题回顾】欲证欲证A1O平面平面GBD，只要证，只要证A1O垂直于面垂直于面BDG中两中两条相交直线，易看出条相交直线，易看出A1OBD，而，而OG与与A1O垂垂直较为易证直较为易证.(注：此题亦可用空间坐标来证明注：此题亦可用空间坐标来证明). 4.沿着正四面体沿着正四面体OABC的三条棱的三条棱OA，OB，OC的方向的方向有大小等于有大小等于1，2和和3的三个力的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的，试求此三个力的合力合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦. 返回返回【解题回顾解题回顾】引入引入OA、OB、OC方向上的三个单位向量方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键是本题得到解决的关键. 5已知三角形的顶点是已知三角形的顶点是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C(-1，-1，-2)试求这个三角形的面积试求这个三角形的面积. 返回返回【解题回顾解题回顾】本题实际上是给出了三角形的本题实际上是给出了三角形的“向量型向量型”面积公式面积公式.到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积的方法呢的方法呢? 返回返回已知已知|a|=4，|b|=5，|a+b|=21，求，求ab 【分析分析】确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点重合，这时这两个向量间的夹角重合，这时这两个向量间的夹角 才是所要求的才是所要求的角本题中角本题中ABC不是不是a与与b的夹角，而是的夹角，而是-a与与b的夹角的夹角(试试画图观察画图观察)，即，即a与与b的夹角应是的夹角应是ABC的补角，的补角，所以所以323x0-102154cosbaba