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高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第一单元函数与极限第7页一、填空题x1 已知 f(sin )1 COSX,贝y f (cosx) 22、.(4 3x) lim厂x x(1 x )3、 x 0时,tanx sinx是x的阶无穷小。14、 lim xk sin0 成立的 k 为。x 0 x5、 lim exarctanx 。xe 1 x 06、f (x)在x 0处连续,则b 。x b, x 07ln (3x 1)7、limx 0 6x8、设f (x)的定义域是0,1,贝U f (l nx)的定义域是 9、函数y 1 ln(x 2)的反函数为 10、 设a是非零常数,则lim (M_)x 。x x a111、 已知当x 0时,(1 ax2)3 1与cosx 1是等价无穷小,贝U常数a 。3x12、函数f(x) arcsin 的定义域是 。1 x13、lim、x22. x22。n14、设 lim ()x 8,则 a 。x x a15、lim ( . n . n 1)( . n 2. n)=。n二、选择题1、设f(x),g(x)是l,l上的偶函数,h(x)是l,l上的奇函数,贝U 中所给的函数必为奇函数。(A) f (x) g(x) ;(E) f (x) h(x) ; (C) f (x)g(x) h(x) ; (D) f (x)g(x)h(x)。2、(x)(x)1 Vx,则当x1时有(A)是比高阶的无穷小;(B)是比低阶的无穷小;(C)是同阶无穷小;(D)3、函数f(x)0(x1)在x 0x 0处连续,则k(A)(B)(C) 1;(D) 0。4、数列极限lim nIn( nn1)Inn(A) 1 ;(B)1;(C)(D)不存在但非。sin xx01 xcosx(A)连续点;(B)5、f(x)0是f (x)的可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是(2(A) f (x) Ig x , g(x) 2lg x ;(B)f(x)g(x) X2 ;(C) f (x) Vx4,g(x)xV(D)f (x)2 2g(x) sec x tan x。sin x7、limx 0 |x|(A) 1;(B)-1 ;(C)(D)不存在。1x)x(A) 1;(B)-1 ;(C)(D)9、f(x)在xo的某一去心邻域内有界是limx xqf (x)存在的(A)充分必要条件;(B) 充分条件;(C)必要条件;(D)既不充分也不必要条件10、lim x( . x21 x) (x(A) 1;(B) 2;(C) 2;(D)0。11、设an, bn, Cn均为非负数列,且 lim ann0,lim bn1,limCn,则必有()nn(A) an bn对任意n成立;(B)bncn对任意n成立;(C)极限lim ancn不存在;n(D)极限lim bnCn不存在。 n12、当x 1时,(A)等于2;三、计算解答1、计算下列极限(E)等于0;(C)为;(D)不存在但不为。(1)limnn2 sin(2)cscx cot x ;(3)limx1x(ex1);(4)limx2x 12x 13x(5)28cos x 2cosx 1;1limx - 2 cos3(7)x cosx00.1 xsin xcos;xta n x3、试确定a,b之值,使limx4、利用极限存在准则求极限1(1) lim -n1 123 1 131)2 x1x11n 1oax(8)(2)设 x1Xn.axn(n1,2,5、讨论函数f(x)x .n lim = n nln(1 3 2 x)lim。x 2 arctanx 4 x2),证明lim xn存在,并求此极限值。nx丄匚的连续性,若有间断点,指出其类型。n,使 f()6、设f(x)在a,b上连续,且a f(x) b,证明在(a,b)内至少有一点第一单元函数与极限测试题详细解答一、填空题. 2x2 x2 x1 2sin x 。f (si n)1(12 sin -)2 2sin 222f (x)222xf (cos x)22 2 cos x2sin2 x。m Hx32X9mH XX243、高阶。limxtanx sin x tan x(1 cosx)limx 04、tanxxsin x是x的高阶无穷小。lim (1 cosx) 0x 0xx 0x5、0。lim exarcta nx0(lim exxx6、b2。limf(x)lim (x b)b,x 0x 0f(0)b, b2。7、1limln(3x 1)lim3x1。2x 06xx 06x28、1x e根据题意要求0ln x 19、yx 1e2y 1ln(x2),(y 10,所以ln(xi2,limx 0sin丄k所以要使lim xsin 1为有界函数x ey只要limx 0xkO,arctan xf(x)2),ln(x2a10、 e原式= lim (1xx 亘) a2a2a x a2ae 。11、 a由(1 ax12)3丄ax2与cosx30,即 k 0。(2,2)。lim (ex 01) 2,ey2)的反函数为1 21x,以及12、limx 0可得1(1 ax2)31TCOSX1 2axlim 03a 1,由反三角函数的定义域要求可得解不等式组可得11f (x)的定义域为-x -。4213、limnx2limn(:x22_x2 2)( x2 2x2 2)x22x22limn2 (x2 2)2xx22x2214、In 2x 2a、x lim ()x x alim(1xx a 3ax 3a ) 3a x ax a3a e15、3a ln 8 a1ln8ln233In 2。lim ( i n 、n 1)(、n 2nlimnn 1) 212(1 1 ) lim ln n 2J 1耳 nl,l上的偶函数,h(x)是l,l二、选择题上的奇函数,F(x)f( x)g( x)h( x)f(x)g(x)h(x)F(x)。(x)1 x1 x2、选(C)limlimO flimx 1(x)x 1 (1x)(13 x)x 1 (1x)131(1x)1、选(D)令 F(x)f (x)g(x)h(x),由 f (x), g(x)是高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编lim1 x3x 112(1x) 3 (1 x)13、选(A)lim f (x)1 x 1.2x 3lim 3limx 0x o31x1x 0 12x3xx)第8页nlnn6、选(C)在(A)中f(x)2ln x的定义域为x 0,而g(x) 2lnx的定义域为x 0,f(x)g (x)故不正确在(B)f (x)x的值域为(),g(x)x2的值域为x 0,故错在(C)中f(x) 1的定义域为R g(x)sec2 x tan x的定义域为x R, xf(x)g(x),故错7、选(D)limx 0sin xlim沁0 xlim0sin xlim1x 0 xsin x十亠 lim 不存在 x 0 | x |8、选(D)1lim (1 x)xx 0lim1x 01)9、选(C)由函数极限的局部有界性定理知,lim f (x)存在,x xo则必有X。的某一去心邻域使f (x)有界,而f (x)在X。的某一去心邻域有界不一定有lim f (x)存在,例如x X。1sin 1有界,但在x 0点极限不存在(limx(、x21x说(x2 1 x)(-x21 x)x- x 1 xlimxXxx高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编2。1第10页limx111、选(D)充分大时”的情况,不可能得出“对任意n成立”的性质。(C)也明显不对,因为“无穷小无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在。(A)、(E)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当12、选(D)1lim (x %百 2 00x 1xin?x* 2lim (xx 11)e当x 1时函数没有极限,也不是 三、计算解答1、计算下列极限:(1)解:lim 2n sinnXnn 1lim 22“ 1nx2n112x。cosx2 x(2)解:cscx limcotxlimsin xsin x1 cosx limx0 x cos x cosx 11x 0x _ (2cosx 1)(cos x 1) 0xx 0 xsinx2(3)解:1lim x(ex11) lim x -1。Xx x17m Hx1mHxo31 一 21 一 2X1 - 21X1mH Xlim 1x11 X 2 3)23 * lim 1 1x 211x 21)23e3(5)解:28cos x 2cosx 1(2 cos x 1)( 4 cosx 1)4 cosx 1 limx cosx 13高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第15页(6)解:xsin x cosxxta nxxm1 xsinx cosxxta nx(、1 xsinx cosx)xsi nx1 cosxxsin x1cosx1 13lim-9lim厂lim2一 一x 02xx 0 2xx 02x2 44(7)解:lim111 x 1223n(n 1)lim(11)(23)(-丄)x223n n1lim (11-)1oxn13、解:limx4、( 1).m2ln(1 3 2 x)arctanv4 x* 2limx(1m2IK-2/Vm2H X34。(aaxb)2a)x (a b)xb)13122 彳 2x 1 ax limx(a b)x bx 1(1 b)21 1n n 11而limxlimx1设 n k 时,xk a ,贝y xkaxk.a2数列Xj有下界,再证Xn单调减,Xn 1Xn且xn 0Xnxn即xn单调减,lim xn 存在,设 lim xnn则有aA(舍)或A a,limnxn5、解:先求极限得 f(x)2x.n lim plim f (x)x 0limx 0f(x)f (x)的连续区间为,0)(0,f(0)0为跳跃间断点.。6、解:令 F(x) f(x)F(x)在a, b上连续而 F(a) f (a) a 0F(b) f(b)b 0由零点定理,(a,b)使 F( )0即f()0 ,亦即f()。第二单元导数与微分一、填空题1、已知f (3)2,则 limf(3h)f(3)h 02h2、f (0)存在,有 f(0)0,贝limf(x)x0x3、yxxarctan 1-,则yx 1=4、 f(x)二阶可导,y f(1 sin x),则 y=; y =5、曲线y ex在点处切线与连接曲线上两点(0,1), (1,e)的弦平行。6、yInarctan(1 x),则 dy =2 4 dydy7、y sin x ,则 =,2 =。dxdx218、若 f (t) lim t(1 丄严,则 f (t)=。xx9、 曲线y x2 1于点处的切线斜率为2。10、设 y xex,贝U y (0)。11、设函数y y(x)由方程ex y cos(xy) 0确定,则 dx2212、设x 1 t则今 。y costdx二、单项选择丄和y x2在它们交点处两切线的夹角为x,则 tan(A)1 ;(B) 1 ;(C)2 ;(D)3。3、函数f(x)tank xe,且 f () e,4则k ()。(A)1 ;(B)1;(C)1;(D)2。24、已知f (x)为可导的偶函数,且limf(11 x)f(1)2 ,则曲线y f (x)在(x 02x处切线的方程是。(A)y 4x6 ; (B) y4x 2 ;(C) yx3;(D) yx 1。=()。1、设曲线y1,2)5、设f (x)可导,则limx of2(x2x) f (x)_(A) o ;(B) 2f (x) ;(C)2f (x) ;(D) 2f(x) f (x)。6、函数f(x)有任意阶导数,且 f (x) f(x)2,则f(n)(x) =(A) nf(x)n1 ; (B)n!f(x)n1 ; (C) (n 1)f(x)n1 ; (D) (n 1)! f(x)2。7、若 f(x) x2,则 lim f(xo 2 x) f(xo)=(x o(A)2Xo;(B) Xo ;(C) 4Xo ;(D) 4x。f (x)在点Xo处存在f (xo)和 f (xo),则f (xo)f (xo)是导数f (xo)存在) 必要非充分条件;(C)充分必要条件;的(A)(E)充分非必要条件;(D)既非充分又非必要条件。9、设 f (x) x(x 1)(x2)(x99)则 f (0)(A) 99;(B)99 ;(C) 99! ;(D)99。1。、若f (u)可导,且yf( x2),则有dy ()(A) xf ( x2)dx ; (B)2xf2 2(x )dx ; (C) 2f ( x)dx; (D) 2xf (11、设函数f(x)连续,且f(0)0 ,则存在0,使得( )(A) f (x)在(o,)内单调增加;(B) f (x)在(,0)内单调减少;(C)对任意的x (0, ) 有 f (x)f (0) ; ( D)对任意的x(,0)有 f(x)12、设 f(x)2 . 1 x sinxx0在x 0处可导,则()ax bx 0(A)a 1, b0 ;(B)a 0, b为任意常数;(C) a 0, b0 ;(C)a 1,b为任意常数。三、计算解答x2)dx。f(O)。1计算下列各题.2 1sin (1) y e x,求 dy ;x冒,求弭i ;y t dx(3) x arctanydx2(4) y sin xcosx,求 y(50);y R,求y ;(6) f (x) x(x 1)(x2)(x 2005),求 f (0);(7) f (x) (x a) (x),(x)在x a处有连续的一阶导数,求f (a)、f (a);(8)设f (x)在x 1处有连续的一阶导数,且f (1) 2,求 lim f(cos-x 1)。x 1 dx2、试确定常数a,b之值,使函数f(x)b(1 si nx) aaxe0处处可导。03、证明曲线x2 y2 a与xy b ( a,b为常数)在交点处切线相互垂直。4、 一气球从距离观察员 500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上 升到500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数 f (x)对任意实数x1, x2有f (x-1x2)f (x1 )f (x2),且f (0) 1,证明f (x) f (x)。6、求曲线y x3 3x2 5上过点(1, 3)处的切线方程和法线方程。高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编2第16页第二单元导数与微分测试题详细解答 一、填空题叫Hh2h叫Hh1-f (3)12limx、4、f (1 sin x) cos x ,2f (1 sin x) cos x f (1 sin x) sin x8、9、f (1 sin x) cosx, y f (1 sinx) cos x(ln(e 1),e 1)弦的斜率x y (e )xe e 1dxarcta n(1 x)1(1x)2dy(1d arcta n( 1arcta n(1x)dxarcta n(1x) 1 (1 x)24x3 sin 2x4, 2x2 sin 2x45、kx6、x)7、ln(edydx1),当 xarcta n(12sin xx)cosx4f (1ln(e1(14x3sin x) sin x1)时,y2d(1 x) x)4x3sin 2x4dydx22t2te 2te(1,2)10、 2见 2x2si n2x42xdxf (t) lim t(11)2txXxte2tf (t)2t e2t2te2x,由 2x02Xo1,y。12x21在点(1,2)处的切线斜率为2xxe xe ,x xxe e xe0 0y (0) e e高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第25页11、e ysin(xy) ex y xsin(xy)方程两边对x求导得y(1y) sin (xy)(yxy) 0解得ex y ysin(xy) ex y xsin(xy)12、sint tcost4t3由参数式求导公式得dydxYlxtsin t2t ,再对x求导,由复合函数求导法得d2ydx2dx(yx)(yx)txt11cost sint 12t22tsint tcost3o4t3二、选择题1、选(D)交点为(1,1),k11 , k2(x2)23、tan|tan(JII1k1k2A)z/lx选f (x)tank x ektan2sec xe2ke得e1X丄21m.1-2 Hx24切线方程为y24(x1)即 y 4x 65、选(D)limx 02 2(xx) f (X) f2(x)x2f(x)f (x)6、选(E)f (x) f(x)22f (x) f (x)2f3(x)f32(x)2f (x)2 3f (x) f (x)2 3f4(x)设 f(n)(x) n! fn 1(x),则 f(n1)(x) (n 1)! f n(x) f (x) (n 1)! fn 2(x)f(n)(x) n!fn1(x)7、选(C) lim f(Xo 2 x) f(Xo) lim2 f(Xo 2 x) f(Xo) 2f(xo)x 0xx 02 x又 f (x) (x2) 2x,2f(x。)4x。8、 选(C)f(x)在X。处可导的充分必要条件是 f (x)在X。点的左导数f(X。)和右导数f(x0)都存在且相等。f (X) (X1)( X2)(x 99)x(x2) (x 99) x(x 1)( x 3) (x 99)x(x 1)(x2)(x98)f (0) (01)(02)(0 99)(1)9999!99!另解:由定义,f (x)f (0)冋(Xf(0)0lim (x 1)(x 2) (x 99)x 099(1)99!99!选(E)f(x2)f ( x2)(x2)2f ( x2)dy2xf(x2)dx由导数定义知f(0) lim0-0f(x) f(0)X0 ,再由极限的保号性知0,当x(,)时 f(x) f()0 ,X从而当X (,0)(x(0,)时,f(x)f(0)0(0),因此C成立,应选Co选(D)10、11、9、lim f(x) lim x2sin10, lim f (x) lim (ax b)b,所以b 0 ox 0x 0Xx 0x 02 . 1又 f (0) lim f (x)f(0)lim -x sinXlim f(x) f(0) aX0, f (0)x 0X0x 0Xx 0x 0x所以a 0。应选C o12、由函数f(x)在x 0处可导,知函数在 x 0处连续a,三、计算解答1、计算下列各题(1)dyxd(sin2$x1sin111j x 2sin cos (2)dxx12 sin2 22 sin exdxxx(2)dydx3t2Tt3td2ydx29t2yt9tdx21(3)两边对x求导:(4)c 32y y2y 3 (y1)(丄32y y1)sin xcosx!si n2x2cos2x sin (2x)2cos(2x2sin(2x 2 -)设 y(n)2n 1si n(2x2n cos(2x2ns in (2x (n1)i)(50)49y 2 sin(2x502)492 sin 2x(5)两边取对数:In yxlnln(1 x)两边求导:ln xln(1 x) 1y b(6)利用定义:x)xlnxln(1x) 1f (0) limx (i f(x)0 xf(0)00(X1)(x2)(x 3) (x 2005)2005! f (x)(x) (x a)(x)又 f (a)x)Xf maHxf (a)(a)X叫上罟(x)(a)(a) 2 (a)注:因(x)在X a处是否二阶可导不知,故只能用定义求。 (8) lim f (cos、x 1)x 1 dxlim f (cos . x 1)(x 1sin . x 1)1lim f (cos、x 1) limx 1x 1sin , x 12x 1f (1)2、易知当x 0时,f(x)均可导,要使f (x)在x0处可导则 f (0)f (0),且 f (x)在 x0处连续。即lim f (x)x 0lim f(x)x 0f(0)lim f (x) ba 2而x 0ab 20limf(x)0x 0又flim -f(x) f(0)(1sin x)a 2 b a 2,x 0limbx 0x 0xax e1 b a 2eax 1axf(0) lim limlim ax0xx 0xX 0 x由aba 1a b2 0b 13、证明:设交点坐标为 (x0, y0),则x02y0a x0 y0b对x22 ya两边求导:2x 2y y 0 yx y曲线2 xya在(X0,y0)处切线斜率K y|x x0X0y。又由xy.bbb yyxx曲线xyb在(x, y)处切线斜率k2y |x xb22x又kh( 2)y。xo1So两切线相互垂直。4、设t分钟后气球上升了x米,贝Utan两边对t求导:seC2ddt1500dx dtx500140750025ddt72cos 25500 m时,5、证明:moHhX500 m时,moH hXh fX71dt 25 2X750(弧度/分)moH hh叫 f(x)f(h) f(0)h6、解:由于y 3x2 6x,于是所求切线斜率为k1 3x6x |x 13,从而所求切线方程为y 33( x1),即3x y 60又法线斜率为k2丄k13所以所求法线方程为y 31(x1),即3y x 8031、2、3、4、5、6、7、9、填空题xmxln x函数函数曲线函数曲线10xe第三单元微分中值定理与导数应用2x cosx在区间4 8x3 3x4的极大值是6x2 3x在区间单调增。是凸的。cosx在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是3x的拐点坐标是在含x0的a, ba,b上的最大值。y x3 2x 1 在lim cot x(x 0丄)sin x x1)xta n x(其中a b )内恒有二阶负的导数,且内有个零点。11、曲线y的上凸区间是12、函数yexx 1的单调增区间是二、单项选择1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0)1, f (0)2,则 0f(x) xx2(A)不存在;(B) 0;(C) -1;2、设 f (x) (x 1)(2x1), x (),则在(D) -2。1(,1)内曲线2f(x)(A)单调增凹的;(C)单调增凸的;(B)单调减凹的;(D)单调减凸的。3、f (x)在(a,b)内连续,x0(a,b), f (x0)f (x0) 0,则 f (x)在 xx处(A)取得极大值;(E)取得极小值;(C) 一定有拐点(X0,f(X。);(D)可能取得极值,也可能有拐点。4、设f (x)在a,b上连续,在(a, b)内可导,则I:在(a,b)内f (x) 0与n:在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是()(a)i是n的充分但非必要条件;(e)i是n的必要但非充分条件;(c)i是n的充分必要条件;(d)i不是n的充分条件,也不是必要条件。5、设f(x)、g(x)在a,b连续可导,f(x)g(x) 0,且 f (x)g(x) f (x)g (x),则7、已知f (x)在x 0的某个邻域内连续,且f (0)0 , limf(x)cosx2 ,则在点x当a x b时,则有()(A) f(x)g(x) f(a)g(a);(B)f (x)g(x) f (b)g(b);(C) f(x)f(a) (D)g(x) g(a)og(x) g(a)f(x) f(a)6、方程x 3x 10在区间(,)内()(A)无实根;(B)有唯一实根;(C)有两个实根;(D)有二个实根。处 f (x)()(A) 不可导;(B)可导,且f(0)0 ;(C)取得极大值;(D)取得极小值。8、设f(x)有二阶连续导数,且 f(0) 0 , lim上血 1,则()x 0 |x|(A) f(0)是f(x)的极大值;(B) f(0)是f(x)的极小值;(C) (0, f (0)是曲线y f (x)的拐点;(D) f (0)不是f(x)的极值点。9、设a,b为方程f (x)0的二根,f (x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在(a,b)内( )(A)只有一实根;(B)至少有一实根;(C没有实根;(D至少有2个实根。10、在区间1,1上满足罗尔定理条件的函数是()(A f(x)2 ;( B) f(x) |x| ;x2 2(C) f(x) 1 x ;( D) f (x) x 2x1。11、函数f (x)在区间(a,b)内可导,则在(a, b)内f(x)0是函数f (x)在(a,b)内单调(B)(C)充分但非必要条件; 无关条件。增加的()(A)必要但非充分条件;(C) 充分必要条件;12、设yf (x)是满足微分方程II yy esinx 0 的解,且 f(x0)0,则 f(x)在()(A) xo的某个邻域单调增加;(B) xo的某个邻域单调减少;(C) X。处取得极小值;(D)Xo处取得极大值。三、计算解答1、计算下列极限(1)厂 Jarccosx limx 1ln cot x limx 0 ln xx sin x e e lim 厂 x 0 x ln(1 x)lim - &ln(1x 0 x x2x);x arctan x lim 3 x 0ln tan(ax) limx 0 ln tan(bx)2、证明以下不等式(1)、设 ba e,证明ba。(2)、当 0x ?时,有不等式tanx2sinx3x。3、已知yx3sin x,利用泰勒公式求y(6)(0)。4、试确定常数a与n的一组数,使得当x 0 时,axn 与 ln(1 x3)x3为等价无穷小。5、设f (x)在a, b上可导,试证存在(ab),使b3b a f (a) f (b)23f()6、作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积 积最小值。7、若f(x)在0,1上有三阶导数,且f(0)f(1)0,设F(x)V最小,并求出该体x3f (x),试证:在(0,1)内至少存在一个,使F( ) 0。高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编7、x第26页1、2、3、4、5、6、填空题第三单元 微分中值定理与导数应用测试题详细解答0 lim xln x x 0f (x) 220f (x)令 f(x) 0当x 2时,lim x 01xsin x 024x2 12x3xi0, x22f (x)0 ;当极大值为 f(2)20(1,1) y 4x3 12x 3,当x 1时,y 0 当x曲线在(1,1)上是凸的1 !x2 丄 X42!4!(1)mlim( x) 0x 0f(x)在()上单调增12x2(x 2)2 时,f (x)212x2121,1)时,y1 2m X (2m)!12(x1)(x1)0 ;当x (1,)时,y 0/2 223x3x 3x(S孑)y。 3Xe e (1 3X),y3e 3x(13x)3e3x e 3x(9x 6) 9e令y220X当X时,y 0 ;当x3,3而当X2时,y2 2 e拐点为(一,e 2)333 3f (x)05f(X。)lim f (X) f (X0)当x X。时,x x0x x03X/2(X 32时y3f (x)0, f (x)单调增加;当xlimMx冷x3 0X X0X。时,f (x)0, f(x)单调减少高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第29页8、1y 3x2 2 0,)上单调增加9、10、11、12、又 lim yxlim yx)内有i个零点。原式cosx(x limx 0sin x)xsin2 x原式=Hmtax 0 x ta n xlimx 0lim cosxlim -six lim x 0x 0x3xtan x x2sec x 1 lim2x 0 3x1 cosx0 3x221 tan x lim l 3x 0 x:弓 y 2xex2,y2 22 . 2x (亍3)时,y0,上凸,(0,)且 yex二、选择题1、选(C)2、选(E)2x22x) e 令 y其它区间y函数y ex x 1的定义区间为(1,因为在(0,)内y 0,所以函数f (x) xlim2x 0 x1IX (,1)时,2lim 竺LJx 0 2xlimx 020,上凹,故应填入(),在定义区间内连续、可导,(x)f (x)0,又 f (x) 4x 1f (x)在(丄,1)上单调减且为凹的。23、选(D) f(x) x3,则 f(0) f (0)0 , x 0 是 f (x)则f (0) f (0)0,而x 0是f (x) x4的极值点。4、选(C)由f(x)在(a,b)内f (x)0的充分必要条件是在x 1在(0,)上单调增加。4(x 丄)0 x4x3的拐点;设f (x)(a,b)内 f (x) C(?1)(C为常数),又因为f(x)在a,b内连续,所以C f (a),即在(a,b)上f (x) f (a)。5、选(C)由 f(x)g(x) f(x)g (x) f (x)g(x) f (x)g (x)0器0鵲单调减少,x佝b)f (X) f(a)g(x) f(b) .6、选(D) 令 f (x) x3 3x 1,则 f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1);当x1 时,f(x) 0,f (x)单调增加,当x(1,1)时,f (X)0 , f (x)单调减少当x(1,)时,f(x)0 , f(x)单调增加而f(1)3 , f (1)1limxf (x), limXf(x)f (x)在(,1)上有一实根,在1,1上有一实根,在(1,)上有一实根。7、选(D)利用极限的保号性可以判定f (x)的正负号:lim f(x) 20o (在x 0的某空心邻域);X 0 1 COSX1 COSX由1 cosx 0,有f(x) 0 f (0),即f (x)在x 0取极小值。8、 选(E)由极限的保号性:lim 匚血 10 匚 0 (在x 0的某空心邻域);由此f(x)0 (在x 0 |x|x|x 0的某空心邻域),f(x)单调增,又由f(0)0 ,f(x)在x 0由负变正,由极值第一充分条件,x 0是f (x)的极小点。9、 选(B)由罗尔定理保证至少存在一点(a,b)使f( ) 0。10、 选(C) , A选项f (x)在x 0不连续,B选项f (x)在x 0处不可导,D选项f(1) f( 1)。11、 选(B),如y x3在(,)单增,但f(0) 0,故非必要条件。高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编12、选(c),由 f(xo) 0有 y”(x) esinx0y(xo)esinx00,所以 f (x)在 X0处取得极小值。三、计算解答1、计算极限(1)解:厂 Jarccosx lim x 2、x 1 lim上血Lx 11第31页xlim11 12 arccosx 1 x2lim =17 rx 1 . arccosx 1 x(2) 解:ln cotx lim x 0 ln x2 、(csc x) lim Qix 01x sin x 恻cos?亦1。3)(4)解:xim0x(5)解:x sin xsin x x sin xe ee (e 1)2lim7x2ln(1x) x 0 x37ln(1x)limxsin xx3moH XCOSX 13x26ln(12xx)2xlimx 0012(1 x)arcta nx3x1 lim -x 01 X23x2xm2X3x2(1x2)lim皿凶x 0 In tan(bx)(6) 解:I2/ 、sec (ax) a2lim tan(bx) sec (ax) ax 0 tan(ax) sec2 (bx) blimx 0bx sec2 (ax) a ax sec2 (bx) b2、(1)证明:abbablna alnb高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编
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