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badxxfA)( badxxfxfA)()(121.1.平面图形的面积平面图形的面积: :( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a其中其中F (x)=f(x)xyo)(xfy abA Axyo)(1xfy )(2xfy abA A2.微积分基本定理微积分基本定理:一、复习一、复习Ox yab yf (x) xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 当f(x)0时积分baf (x)dx 在几何上表示 由yf (x)、xa、xb与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值x yOab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 Sbaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 =s3.定积分定积分 的几何意义的几何意义:( )baf x dx 221232xxdxx 2204sin xdx 3210331xdxx 12205xe dx 3162xdx分段函数定积分的求解： 3f x 若201xx10 xx 11f x dx求1.7定积分的简单应用定积分的简单应用定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 几种典型的平面图形面积的计算：几种典型的平面图形面积的计算：类型类型1.1.求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab练习练习. . 求抛物线求抛物线y=xy=x2 2-1-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围成的所围成的 图形的面积。图形的面积。y解：解：如图：由如图：由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线与得到抛物线与x x轴轴的交点坐标是的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积所求面积如图阴影所示：如图阴影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解类型类型2 2：由两条曲线由两条曲线y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线，直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S Syxoba)(xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1) baf xg xdx注：例例1 1. . 计计 算算 由由 两两 条条 抛抛 物物 线线xy 2和和2xy 围围 成成 图图 形形 的的 面面 积积 . . 解解: :作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示: :即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)1 12 20 0S =( x -x )dxS =( x -x )dx323102()|33xx.31 边边曲梯形OABC曲梯形OABDS= S-Soxy2yx2yx2xy yxABCDO11200 xdxx dx11002yxyxxyxy或解方程组 两曲线围成的平面图形的面积的计算两曲线围成的平面图形的面积的计算求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限, ,下限下限) )(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数; ;(4)(4)列式求解列式求解. .2:,4yxyxx=8y=4解方程组得直线直线y=x-4与与x轴交点为轴交点为(4,0)88042(4)xdxxdx4881204422(4)SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4 )|323xxx2yx4 xy解解:作出作出y=x-4, 的图象的图象如图所示如图所示:2yxS1S280124 (84)2sxdx 38202 2|83x2 24016 2 833 4201(4)2syy dy234011(4)|26yyy2311404 444263 解解1 求两曲线的交点求两曲线的交点:).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy8281202222( 24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx28022 2( 24)xdxxxdx2解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:(0,0),( 2,4),(3,9). 236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6 )xAxx dx2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式2xy xxy63 1A2A定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用Oab( )vv ttv设做变速直线运动的物体运动的速度设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)v=v(t)0，则此物体在时间区间则此物体在时间区间a, ba, b内运动的距离内运动的距离s s为为( )basv t dt1、变速直线运动的路程、变速直线运动的路程:1.73.1min.例一辆汽车的 速度时间曲 线 如图所示 求汽车在这行驶的路程o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37.1图图o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37. 1图图:时间曲线可知由速度解.60t40,90t5. 1;40t10,30;10t0, t3 tv:min1程是行驶的路因此汽车在这dt90t5.1dt30tdt3S60404010100 .m1350t90t43t30t236040240101002.m1350min1行驶的路程是汽车在这答法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即30 6030 13502s2.变力做功.FsWF),m:(sF,N:F所作的功为则力单位相同的方向移动了果物体沿着与力如的作用下做直线运动单位一物体在恒力变力所做的功：变力所做的功：物体在变力（物体在变力（x x）的作用下做直线运动，并）的作用下做直线运动，并且物体沿着与（且物体沿着与（x x）相同的方向从）相同的方向从x=ax=a移动到移动到x=bx=b（abab），那么变力（），那么变力（x x）所作的功）所作的功( )baWF x dxOab( )yF xxFlQF47.1图图11.74,.lm例 ： 如图在弹性限度内 将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处 求弹力所作的功 .k,kxxF,xxF)(,是比例系数数其中常即成正比的长度或压缩弹簧拉伸与弹簧所需的力压缩或拉伸在弹性限度内解 .2121,2020JklkxkxdxWll得由变力作功公式.212Jkl克服弹力所作的功为答 2qFkr解解:ro q a b 1 r由题意由题意,所求功为所求功为drrkqwba2barkq 1.11 bakq
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