高三数学一轮复习 第4章4.1平面向量的概念及线性运算课件 文 北师大版

4.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考4.1平平面面向向量量的的概概念念及及线线性性运运算算双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考1向量的有关概念向量的有关概念名称名称定义定义备注备注向量向量既有大小又有既有大小又有_的量；向量的量；向量的大小叫作向量的的大小叫作向量的_ (或模或模)零向量零向量长度为长度为0的向量；其方向是任意的的向量；其方向是任意的 记作记作0单位向量单位向量与向量与向量a_，且长度为单，且长度为单位位1的向量叫作的向量叫作a方向上的单位向方向上的单位向量量平行平行(共线共线)向量向量方向方向_或或_的非零向量的非零向量0与任一向量与任一向量平行或共线平行或共线相等向量相等向量长度相等、方向相同的向量长度相等、方向相同的向量0的相反向量的相反向量为为0相反向量相反向量长度相等、方向长度相等、方向_的向量的向量方向方向长度长度同方向同方向相同相同相反相反相反相反2.向量的线性运算向量的线性运算向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律加法加法求两个向量的和求两个向量的和的运算的运算_法则法则_法则法则(1)交换律：交换律：ab_. (2)(2)结合律：结合律：( (ab b) )c c_减法减法求求a与与b的相反向的相反向量量b的和的运算的和的运算叫作叫作a与与b的差的差_法则法则三角形三角形平行四边形平行四边形baa(bc)三角形三角形向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律数乘数乘求实数求实数与与向量向量a的积的积的运算的运算(1)|a|a|.(2)当当0时，时，a与与a的的方向方向_；当；当0时，时，a与与a的方向的方向_；当；当0时，时，a0( a)()a，()aaa；(ab)_.相同相同相反相反ab3向量共线的判定定理和性质定理向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实是一个非零向量，若存在一个实数数，使得，使得_，则向量，则向量b与非零向量与非零向量a共共线线(2)性质定理：若向量性质定理：若向量 b与非零向量与非零向量a共线，则存共线，则存在一个实数在一个实数，使得，使得_.baba思考感悟思考感悟ab是是ab(R)的什么条件？的什么条件？提示：提示：ab是是ab(R)的必要条件的必要条件(1)当当ab(R)时，由数乘的几何意义知时，由数乘的几何意义知ab成立成立(2)当当a0，b0时，时，ab成立，而不存在成立，而不存在R使使ab成立成立答案：答案：B课前热身课前热身2(2009年高考湖南卷年高考湖南卷)对于非零向量对于非零向量a、b，“ab0”是是“ab”的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充分必要条件充分必要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：A3如图，向量如图，向量ab等于等于()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2答案：答案：C答案：答案：(1)(2)(3)5设设e1、e2是平面内一组基向量，且是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量，则向量e1e2可以表示为另可以表示为另一组基向量一组基向量a、b的线性组合，则的线性组合，则e1e2_a_b.考点探究考点探究挑战高考挑战高考 向量的有关概念向量的有关概念准确理解向量的基本概念是解这类题目的关准确理解向量的基本概念是解这类题目的关键共线向量即为平行向量，非零向量平行具有键共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，才是相等的向量共线向量或相等向量均与向量才是相等的向量共线向量或相等向量均与向量起点无关起点无关A2B3C4 D5【思路点拨思路点拨】理解向量基本概念的内涵，按照理解向量基本概念的内涵，按照定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可【解析解析】真命题；假命题，若真命题；假命题，若a与与b中有中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，共线向量所在直线可向相同或相反；假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；假命题，向量可用有向以重合，也可以平行；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段线段来表示，但并不是有向线段【答案答案】C【名师点评名师点评】本例中多个命题的真假判断需逐本例中多个命题的真假判断需逐一进行，而且要求准确无误，特别注意特殊情况，一进行，而且要求准确无误，特别注意特殊情况，如命题中忘记考虑零向量命题中向量平行如命题中忘记考虑零向量命题中向量平行混同于解析几何中的直线平行混同于解析几何中的直线平行用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解直接关系的向量来求解向量的线性运算向量的线性运算(2)(2009年高考湖南卷年高考湖南卷)如图所示，如图所示，D、E、F分别分别是是ABC的边的边AB，BC，CA的中点，则的中点，则()【思路点拨思路点拨】利用向量的线性运算，三角形的利用向量的线性运算，三角形的性质及向量的几何意义可得结论性质及向量的几何意义可得结论【答案答案】(1)B(2)A(3)C【名师点评名师点评】解决此类问题关键要熟练掌握运解决此类问题关键要熟练掌握运算法则，并善于用基本向量表示其余所涉及到的算法则，并善于用基本向量表示其余所涉及到的向量，表示的方法是依据三角形法则或平行四边向量，表示的方法是依据三角形法则或平行四边形法则，构造含有表示所求向量的有向线段的三形法则，构造含有表示所求向量的有向线段的三角形或平行四边形角形或平行四边形变式训练变式训练1 (1)(2009年高考北京卷年高考北京卷)已知向量已知向量a、b不不共线，共线，ckab(kR)，dab.如果如果cd，那么那么()Ak1且且c与与d同向同向Bk1且且c与与d反向反向Ck1且且c与与d同向同向Dk1且且c与与d反向反向共线向量定理的应用共线向量定理的应用【答案答案】(1)D(2)D【规律小结规律小结】(1)向量共线的充要条件中要注向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想和方程思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线方法技巧方法技巧1将向量用其他向量将向量用其他向量(特别是基向量特别是基向量)线性表示，线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础础(如例如例2(1)2首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量合，则和为零向量(如例如例1)3通过向量的共线可以证明三点共线及多点共通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别别(如例如例3)方法感悟方法感悟1关于两个向量的和应注意的几个问题关于两个向量的和应注意的几个问题(1)两个向量的和仍是一个向量；两个向量的和仍是一个向量；(2)使用三角形法则时要注意使用三角形法则时要注意“首尾相连首尾相连”；(3)当两个向量共线时，三角形法则适用，而平当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用行四边形法则不适用失误防范失误防范2向量减法运算应注意的两个问题向量减法运算应注意的两个问题(1)向量的减法实质是加法的逆运算；差仍为一向量的减法实质是加法的逆运算；差仍为一个向量个向量(2)用三角形法则作向量减法时，记住用三角形法则作向量减法时，记住“连接两个连接两个向量的终点，箭头指向被减向量向量的终点，箭头指向被减向量”3向量的数乘运算向量的数乘运算(1)向量数乘的特殊情况：当向量数乘的特殊情况：当0时，时，a0；当；当a0时，也有时，也有a0.(2)实数和向量可以求积，但不能求和、求差实数和向量可以求积，但不能求和、求差(3)熟练掌握向量线性运算的运算规律是正确化熟练掌握向量线性运算的运算规律是正确化简向量算式的关键，要正确区分向量数量积与向简向量算式的关键，要正确区分向量数量积与向量数乘的运算律量数乘的运算律考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考向量的线性运算，共线问题是高考的热点，尤其向量的线性运算，共线问题是高考的热点，尤其向量的线性运算出现频率较高，多以选择题、填向量的线性运算出现频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属于中低档题目，主要考查向空题的形式出现，属于中低档题目，主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和向量基本定理交汇命题量共线和向量基本定理交汇命题预测预测2012年高考仍将以向量的线性运算、向量的年高考仍将以向量的线性运算、向量的基本概念为主要考点，重点考查向量加、减的三基本概念为主要考点，重点考查向量加、减的三角形法则及平行四边形法则角形法则及平行四边形法则命题探源命题探源(2)本题主要考查了向量的线性运算和平面向量本题主要考查了向量的线性运算和平面向量的基本定理向量加法的运算及其几何意义、向的基本定理向量加法的运算及其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义是本题运算的主要依量数乘的运算及其几何意义是本题运算的主要依据作为平面向量重点内容的向量的线性运算和据作为平面向量重点内容的向量的线性运算和平面向量的基本定理是往年高考考查的重点，值平面向量的基本定理是往年高考考查的重点，值得关注得关注名师预测名师预测答案：答案：4答案：答案：6