第十二部分 锐角三角函数 51中

课题 锐角三角函数 51中 李欣中考要求具体要求知识与技能1.了解通过实例认识锐角三角函数。2.理解正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比。3.掌握30、45、60角的三角函数值，由已知三角函数值求出对应的锐角的度数。过程与方法通过锐角三角函数的学习过程，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想。知识梳理1、三角函数定义。 sinA=, cosA=, tanA=2、 特殊角的三角函数值304560sinAcosAtanA1典例解析例1 如图，在RtABC中，C=90，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB的值 解：如图（1），在RtABC中，C=90，据勾股定理AB = sinA=, cosA=, tanA= （余略）例2 求下列各式的值： (3)+tan60-tan30(3)+tan60-tan30=课堂检测1. 计算(1)sin45+cos45=_； (2)sin30cos60=_；=_； =_；2. 填空 若tanA=1,则A = _。3. 如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，且AB5，BC3则sinBAC= ；sinADC= 4. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是 A B C D 3题 4题 5题 6题5. 如图，在直角ABC中，C90o，若AB5，AC4，则sinA（ ）A B C D6. 如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D。已知AC=，BC=2，那么sinACD（ ）ABCD课后测评1. 在ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（ ）A.sinA= B.cosB= C.tanA= D.tanB=2. 已知为等边三角形的一个内角，则cos等于（ ）A. B. C. D.3. 在RtABC中，C=90，sinA=，则A=_4. 计算sin45的结果等于_5. 在RtABC中，C=90，sinA=，则cosB的值等于（ ）A. B. C. D.6. 在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）A. B. C. D.7. 如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为，则tan的值等于（ ）A. B. C. D. 6题 7题 10题8. 等腰三角形的面积为40,底边长4,则底角的正切值为_9. 在ABC中，若|sinA|+(1tanB)2=0，则C的度数是_10. 如图，AB为O的直径，CA切O于A，CB交O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（ ） A. B. C. D.中考链接1.（2014广东汕尾）在RtABC中，C=90，若sinA=，则cosB的值是（）ABCD2(2014天津市) cos60的值等于（）ABCD3（2014温州）如图，在ABC中，C=90，AC=2，BC=1，则tanA的值是 3题 6题4. （2014株洲）计算：+（3）0tan455.o（2015江苏常州）在ABC中，AB5，BC6，B为锐角且，则C的正弦值等于 A B C D6. （2015湖南永州）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）A15m B20m C20m D10mPOBA第7题7. (2015屯溪)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，O的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sinAP等于（ ）A B C D18. (2015安徽省蚌埠市)如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点，则 的值为( )A B C D 第5题图9.（2015山东省枣庄）在ABC中，A120，AB4，AC2，则sinB的值是（）ABCD10.（2015山东省）在ABC中，A120，AB4，AC2，则sinB的值是（）ABCD课堂检测1. ； 2. 30；45；60；30；453. 4. 5. A 6. A课后测评1. A 2. A 3. 30 4. 1 5. B 6. B 7. A 8. 10 9.75 10. C中考链接1. 解：C=90，A+B=90，cosB=sinA，sinA=，cosB=故选B2.解：cos60=故选A 3.解：tanA=，故答案为：4.解：原式=4+11=45.C 6.C 解：RtABC中，BC=10m，tanA=1：；AC=BCtanA=10m，=20m故选C7.B 8.C9.B.10.B课题 解直角三角形及其应用中考要求具体要求1. 知识与技能理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系。掌握解直角三角形。灵活运用运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。2. 过程与方法通过解直角三角形的过程，体会数学在解决实际问题中的作用。3.情感与态度实践理论实践的认识过程，调动学生学习数学的积极性 ，用丰富有趣的实际问题激发学生的学习兴趣。知识梳理1、RtABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有以下关系(1)边角之间关系 如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系 A+B=902、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角3、坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即，把坡面与水平面的夹角叫做坡角4、 方位角典例解析例1 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b= a=，解这个三角形解：在ABC中，C为直角，据勾股定理 c = tanA= A=60 B=90-60=30例2 如图 ，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角=1631，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)（参考数据：sin=0.2843 cos=0.9588 tan=0.2962)解：在RtABC中sinB=AB=4221(米) 答：飞机A到控制点B的距离约为4221米例3 正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60方向航行那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)解：由图可知，AOB=60，OAB=90AB=OAtan60=1017.32(海里).从点A行到B点所需时间为1.732小时1小时44分答：船到达点B的时间为1小时44分例4 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求坝底宽AD的长(精确到0.1m)解：作BEAD，CFAD，在RtABE和RtCDF中， AE=3BE=323=69(m)FD=2.5CF=2.523=57.5(m)AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m) 答：坝底宽AD的长约为132.5米。课堂检测1. ABC中，C=90，AB=8，cosA=，则BC的长 2. 在RtABC中，C90，B35，AB7，则BC的长为（ ） A.7sin35 B. C.7cos35 D.7tan353. 在ABC中，C=90，a、b、c分别为A、B、C的对边，下列各式成立的是（ ）A.b=asinB B.a=bcosB C.a=btanB D.b=atanB4、如图，在菱形ABCD中，DEAB于点E，cosA=，BE=4，则tanDBE的值是 4题 5题5. （2014株洲）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20（不考虑身高因素），则此塔高约为 米（结果保留整数，参考数据：sin200.3420，sin700.9397，tan200.3640，tan702.7475）6. （2014邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间（温馨提示：sin530.8，cos530.6） 6题 7题7. （2014德州） 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A4米B6米C12米D24米课后测评1.（2014浙江湖州）如图，已知RtABC中，C=90，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A2B8C2D42. AD是ABC的高，AD=BD=1，DC=，则BAC=_ 1题 4题 5题3. 已知，在ABC中，A= 45，AC= ，AB= +1，则边BC的长为_4. 如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45，测得大树AB的底部B的俯角为30，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）5. 如图，在ABC中，A=30，B=45，AC=，则AB的长为 6. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A12 B4米 C5米 D6米7. 如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60方向的B处（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：1.41，1.73，2.45） 6题 7题中考链接1.(2015.道里一模)如图，已知射线MN表示一艘轮船的航行路线，从M到N的走向为南偏东300，在M的南偏东600方向上有一点A，A处到M处为80海里 (1)求点A到航线MN的距离； (2)在航线MN上有点B，且MABB=150，若轮船的速度为40海里/时，求轮船从M处到B处所用时间为多少分钟(结果保留到整数位，参考数据：=1732)2.（2015湖南永州）如图，我县某校新建了一座陶铸雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45，看雕塑底部C的仰角为30，求塑像CD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：）3. （ 2014广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60（A、B、D三点在同一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）（参考数据：1.414，1.732）4. （2013钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732）5.(2014哈尔滨中考) 如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角EAC为30，测得建筑物CD的底部D点的俯角EAD为45（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）6. （2014扬州）如图，已知AOB=60，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A3B4C5D6 5题 6题7. （2014孝感）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为，若AC=a，BD=b，则ABCD的面积是（）AabsinBabsinCabcosDabcos 7题 8题*8. （2014扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tanMCN=（）ABCD29. （2014上海）如图，已知RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值10. （2014株洲）如图，在RtABC中，C=90，A的平分线交BC于点E，EFAB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AFBF）（1）求证：ACEAFE；（2）求tanCAE的值11. （2014泰州）如图，BD是ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DEAB，EFAC（1）求证：BE=AF；（2）若ABC=60，BD=6，求四边形ADEF的面积参考答案课堂检测1解：cosA=，AC=ABcosA=8=6，BC=2故答案是：22. C 3. B4.解：四边形ABCD是菱形，AD=AB，cosA=，BE=4，DEAB，设AD=AB=5x，AE=3x，则5x3x=4，x=2，即AD=10，AE=6，在RtADE中，由勾股定理得：DE=8，在RtBDE中，tanDBE=2，故答案为：25. 解：在RtABC中，AB=500米，BAC=20，=tan20，BC=ACtan20=5000.3640=182（米）故答案为：1826. 解：如图，过点C作CDAB交AB延长线于D在RtACD中，ADC=90，CAD=30，AC=80海里，CD=AC=40海里在RtCBD中，CDB=90，CBD=9037=53，BC=50（海里），海警船到大事故船C处所需的时间大约为：5040=（小时）7.解：在RtABC中，=i=，AC=12米，BC=6米，根据勾股定理得：AB=6米，故选B课后测评1.解：tanA=，AC=4，BC=2，故选A2.105 3.24.解：作CEAB于点E，在RtBCE中，BE=CD=5m，CE=5m，在RtACE中，AE=CEtan45=5m， AB=BE+AE=（5+5）m故答案为：（5+5）5.解：过C作CDAB于D，ADC=BDC=90，B=45，BCD=B=45，CD=BD，A=30，AC=2，CD=，BD=CD=，由勾股定理得：AD=3，AB=AD+BD=3+故答案为：3+6.解答：解：RtABC中，BC=6米，=1：，则AC=BC=6，AB=12故选A7.解：（1）过点M作MDAB于点D，AME=45，AMD=MAD=45，AM=180海里，MD=AMcos45=90（海里），答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里；（2）在RtDMB中，BMF=60，DMB=30，MD=90海里，MB=60，6020=3=32.45=7.357.4（小时），答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时中考链接1.解：(1)如图，过点A作AKMN于K，在点M的正南方向取点PM到N的走向为南偏东30，A在M的南偏东60方向上 PMB=30，PMA=60AMK=30 在RtAMK中 sinAMK= 即AK=40 A到航线MN的距离为40海里.(第24题图)（2） 在RtAMK中 tanAMK= 即MK=40ABK=AMK+MAB=30+15=45 BAK=90ABK=45ABK=BAK BK=AK=40BM=MKBK=4040 (4040) 40=11.7321=0.732（小时）0.73260=43.9244（分钟）2.解：在RtDEB中，DE=BEtan45=2.7米，在RtCEB中，CE=BEtan30=0.9米，则CD=DECE=2.70.91.2米，故塑像CD的高度大约为1.2米3.解：CBD=A+ACB，ACB=CBDA=6030=30，A=ACB，BC=AB=10（米）在直角BCD中，CD=BCsinCBD=10=551.732=8.7（米）答：这棵树CD的高度为8.7米4.解：（1）过B作BGDE于G，RtABF中，i=tanBAH=，BAH=30，BH=AB=5；（2）由（1）得：BH=5，AH=5，BG=AH+AE=5+15，RtBGC中，CBG=45，CG=BG=5+15RtADE中，DAE=60，AE=15，DE=AE=15CD=CG+GEDE=5+15+515=20102.7m答：宣传牌CD高约2.7米5.解：解答：解：（1）根据题意得：BDAE，ADB=EAD=45，ABD=90，BAD=ADB=45，BD=AB=60，两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，AF=BD=DF=60，在RtAFC中，FAC=30，CF=AFtanFAC=60=20，又FD=60，CD=6020，建筑物CD的高度为（6020）米6.解：过P作PDOB，交OB于点D，在RtOPD中，cos60=，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=ODMD=61=5故选C7.解：过点C作CEDO于点E，在ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为，AC=a，BD=b，sin=，EC=COsin=asin，SBCD=CEBD=asinb=absin，ABCD的面积是：absin2=absin故选；A8.解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，ABBC，ADCD，BAD=60在RtABC与RtADC中，RtABCRtADC（LH）BAC=DAC=BAD=30，MC=NC，BC=AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在RtBMC中，CM=2AN=AM，MAN=60，MAN是等边三角形，MN=AM=AN=2，过M点作MEON于E，设NE=x，则CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=， ME=，tanMCN= 故选A9.解：（1）ACB=90，CD是斜边AB上的中线，CD=BD，B=BCD，AECD，CAH+ACH=90，B=CAH，AH=2CH，由勾股定理得AC=CH，CH：AC=1：，sinB；（2）sinB，AC：AB=1：，CD=，AB=2，由勾股定理得AC=2，则CE=1，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，BC=4，BE=BCCE=310.（1）证明：AE是BAC的平分线，ECAC，EFAF，CE=EF，在RtACE与RtAFE中，RtACERtAFE（HL）；（2）解：由（1）可知ACEAFE，AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，BC=m，在RTABC中，tanB=，在RTEFB中，EF=BFtanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；tanCAE=11.（1）证明：DEAB，EFAC，四边形ADEF是平行四边形，ABD=BDE，AF=DE，BD是ABC的角平分线，ABD=DBE，DBE=BDE，BE=DE，BE=AF；（2）解：过点D作DGAB于点G，过点E作EHBD于点H，ABC=60，BD是ABC的平分线，ABD=EBD=30，DG=BD=6=3，BE=DE，BH=DH=BD=3，BE=2，DE=BE=2，四边形ADEF的面积为：DEDG=6锐角三角函数 第 22 页 共 22 页