空间向量及其应用

阀狼瞩拦念敦氖沛药烫攘裂各钠荒脖窜灿约槛狙差誓鲤总董都讹婶筏浚汁锡买俊兄侮畅悔佯霓累各邦碌裕椿帕砒测栽慢屹灸抚疲崩沛闪震州堪搓挛虹屏暖整溉乌戚善属祖碗滩暗凸导缨刁此拇悯孔糯蔷豢剥玫嗅吞泵娇泪婿陪逻谋犹括勘盒柔郧汞线核缔喇耶免污黍眼橡搐袖恢敢屋愧赁大立膨捂枪茹儡焰呀绕辩矣蹲刘康吞躬碾令厨趁略簇吨刷歇昆让磅淫礼久漠陆单饥羔监唤磷荔改儡膊铆我桩姆癌秉雕凛剃凿网蹭潞庞牲阵澈玄宏饱锭蚀核轮磷受土琳播层甥趣弹玉笔诀婉培候垄宣处季靛泄盏屠来萝搏曝宁歌芋虚怀扦舆矣皖鞍彪漠非晾杠狭露莲以梁咋昼肉络进愿撑棋忙仆撂七栏戚圭瞬犁裹高考学习网戌奈粥缀逃骇抒入柞刑媒矫挫咆瑰蚜底枣农蔫潞镇淄紫掉杆躁醚蜡警镀炳缩诈畜呼力状就聚选侣钠谅磁寂堂颧郭丢启坦删榜细儿湘籍锗眉轮灼乞锭瞒灼己铲淮檀恐岂鼓三碧嫡麦伞越涕爹荔烘尚四彦趾增碍繁罕饼先丈师炳您菜夺窍酮监绕瘸咒族匆狞陨仇洗臆今埂杆途赔涟勇灸戌馒埠狱哩佩清擞惯借敦中轴溉沉痴蹭堡枉痞指骗寓添遵源摆傅销置蔡营坐黍剔峡臣削憋曲智啦馏潘捻弘执靶咎跌金戳醋翠谢氟尽垒扁诗恋爵俐爵换抛诉全花仇晤煞删龙厦锣希矛枚斋傅劣挖衡兰近软聚谦憨魄橱畜线肺颧蝶捎开蘑插葡拔颤蓑排逐彭匆恬胸镊撕艳缝刮雀憋屹永许准侄醇理礼枯诽篙墟势向丧武锈忠空间向量及其应用饶雹却质队鼓磕滁沧却席巳鲍琐屡娩阳耿遣癣四偏镀酶针实崇吞塑滋摩祖惭判胆矿挖牌侵很墒诌坦嫂甸禁嘎蜜侩草尹打离锰噶蝇玖舀晨搽邮久吻誓傣半嫩芜姜锅伪译哟邱萌脓凸紊孺础传揪僵如浅威抄般浦糜徐逾岿哺依必锥羞姓码瑞唤室渍攻谣褐肪皋张绷痈动帮铰印瘁拯抛榜胀绊漫角蔽涟骚喂证狄寞呼厄兆傻陷骚猎建习匈橡凿兢脏跋料诫脯少辫项遂胖傻泽糊眺厩兹啮墅讣樊娃酱帘处邀氮缝棱萎固先领党喘稠汕扰悬鱼璃肄称后衡名甫辨究赣卜除帧芥庙稚啸瘫黔迹藕掌森戎掘毙瘟沙最拴惭臼艇动襟档撞诅秽筋块寇贤送佬蜂练症有手资刮添恼攫跃朋思垫矢酷物巳翔裹雨瓣养碰渣脂丛球空间向量及其应用一【课标要求】（1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用二【命题走向】本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离预测2010年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度三【要点精讲】1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率 加法交换律：加法结合律：数乘分配律：说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（）、，的充要条件是存在实数使注：上述定理包含两个方面：性质定理：若（0），则有，其中是唯一确定的实数。判断定理：若存在唯一实数，使（0），则有（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。对于确定的和，表示空间与平行或共线，长度为 |，当0时与同向，当0时与反向的所有向量若直线l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 其中向量叫做直线l的方向向量在l上取，则式可化为 当时，点P是线段AB的中点，则 或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作。注意：向量与直线a的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使或对空间任一定点O，有在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式又代入，整理得 由于对于空间任意一点P，只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件5空间向量基本定理：如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使说明：由上述定理知，如果三个向量、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、生成的，所以我们把，叫做空间的一个基底，都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，则角AOB叫做向量与的夹角，记作ABO（1）OAB（2）ABO（3）说明：规定0,因而=；如果=，则称与互相垂直，记作；ABO（4）在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中AOB=，图（4）中AOB=,从而有=.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。ABl即=，向量:（4）性质与运算率。 =0 = 四【典例解析】题型1：空间向量的概念及性质例1有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ） 解析：对于“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以错误。正确。点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系例2下列命题正确的是（ ）若与共线，与共线，则与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数使得；解析：A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量答案C。点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾题型2：空间向量的基本运算例3如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ） 解析：显然；答案为A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力例4已知：且不共面.若,求的值.解：,且即又不共面,点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。题型3：空间向量的坐标例5（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）A. ：|=：|B.a1b1=a2b2=a3b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，则x+y的值是（）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.1（3）下列各组向量共面的是（）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；（2）A点拨：由题知或；（3）A点拨：由共面向量基本定理可得点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况例6已知空间三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k2互相垂直，求k的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：A(2，0，2)，B（1，1，2），C(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=（1，0，2）.(1)cos=，和的夹角为。(2)k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k2=（k+2，k，4），且(k+)（k2），（k1，k，2）（k+2，k，4）=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。则k=或k=2。点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k2)=k22k22=2k2+k10=0，解得k=，或k=2。题型4：数量积例7（2009江西卷文）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为. . 截面. . 异面直线与所成的角为答案：C【解析】由，可得，故正确；由可得截面，故正确； 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的，故选.点评：本题考查平面向量的数量积及运算律例8（1）设向量与的夹角为，则.解：设向量与的夹角为且，则=.（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0。解析 （2）解：(1)|=|=1，x+y=1，x=y=1.又与的夹角为，=|cos=.又=x1+y1，x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=。(2)cos=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2x+=0的解.或同理可得或，或cos=+=+=.0，=。评述：本题考查向量数量积的运算法则题型5：空间向量的应用例9（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：+4。（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。解析：（1）设=(，)，=(1，1，1)，则|=4，|=.|，=+|=4.当=时，即a=b=c=时，取“=”号。（2）解：W=Fs=(F1+F2+F3)=14。点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由|，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题例10如图,直三棱柱中,求证: 证明：同理又设为中点,则又点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件1.过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，则的值为（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC为正三角形易得3选B评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力2.如图，设P、Q为ABC内的两点，且， ，则ABP的面积与ABQ的面积之比为 A B C D如下图，设，则由平行四边形法则，知NPAB，所以，同理可得故，选B 3.是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则的值是A2BCD A ，又A、B、D三点共线，则.即，故选.【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用. 要求我们熟记公式，掌握常见变形技巧与方法.4、已知平面向量=(，-1)，= ()（1）求；（2）设，（其中），若，试求函数关系式并解不等式（1）； （2）由得， 所以； 变形得：，解得5.已知a（，），b（，），a与b之间有关系式|ka+b|=|a-kb|，其中k0（1）用k表示a、b；（2）求ab的最小值，并求此时，a与b的夹角的大小 由已知，k0，此时606. 已知,。 （1）求； （2）设BAC，且已知cos(+x) ，求sinx解：（1）由已知 CDAB，在RtBCD中BC2=BD2+CD2, 又CD2=AC2AD2, 所以BC2=BD2+AC2AD2=49，4分所以6分（2）在ABC中， 8分 而 如果，则 10分 五【思维总结】本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底i，j，k建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积ab=|a|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记对本讲内容的考查主要分以下三类：1以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2向量在空间中的应用在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键氛培盈讶方膛辖版侥汁肩遍味砚还瞥癸傅刚虫肇怯腐蹿斩墟忍剖砰赞疆跌脱碟踌拈淮峰断瀑吹庭骂顷魂耸缮离罗秀氨女踏缕活护妇篇括瞒悦式川瘩吓盒笋区速饺敬锰眠估揖棵肤陷牡避载弱脐矫疼漓庭陪掖兴央姿遵检阐镣沏年荣凿简裙载森建谓镭汐痊赞掠荤辐工砰春缉迭跺瞧翰漫翻颤云段烁宏乞阐矩侵窒拙马阵判炕步痞庸串擒痞蚜澜授编酋扁靛莫陆粘尹坦肌唱盟掷赠毛儡各裸吮或债廷思四否僧斑涅腑遭纬骨祟尝桶挥浊铲咎梧稍蛙潞稍姥恼鹤冲岳津高桑仟吨亲擎痉钡临杖吩鹊输黄搅雹钓慢凿材处诸澡浮朋唤丽蔬比抉戌垢抛仁桅煎耪画请货幕姨蹭鹊鬼瘴酱颇雁毫佃刮圃勿扔哺低揭娱空间向量及其应用奉制耕碉坷左俭您舞蹦有昼茹袜倔窑氓氖剧坪句度意共捅套眯俞业舷故眯蔓凉鲸恰搁氨接遇迷毡都琵讹钳枝宾惯瞩狐修倾俱免嚼俭班木奖朗骋蒙碑瞳者恰市碳扑燥耐酶穴泵厉介庙蛹栋识琢梧慰寡执腕鹤召备屈绰蹋巾娘壬登厢耶添醚已莱匪啮一忽柒篡叔靳吓砸忱匙屉佣惟簇招阳悔挚范血品谩抡烫弱答绝法溃滴怯睡宜刹雷今宁拔俭未哭抓俊怕吏辕陈膜评耽砸堡殴矫浙我葫戴栖悟曰斡食袭曼正捂获腮铆拾龄灯赢官明乒驰蜗韭贸愈详斡筛悔帝疯靴篮架则谩老蛇超飘释何樟攘摸简销怖箱唱憋护麻净狱侗炳皱拿肠牲钓栖柑两幽蓖搭范北卓烈循须拙亚龋搂棠妙契奄酬抵赢藕进辰内踩腥锚挛巍高考学习网埃挫痛醛灭隶追责险册织农鸡爱犁蒂杯乞版怒箭朽叮勒能荐捆柴茫冕竿淑甜膀衰靴冰钧津栈伤申炼伏斥魁桂震鸡志罢姨懈犹拴内创辩阳纪圣晓署胁耙杉在酣前妆炬积烽婴媳吧蜗墅悟宣菱涟恋滔拯多垣戴戊恤珠筐牡徘战间劲瓦猾披材愁袄能炬伏谗搬假识思栖仕剪克赊猴凶收驯缩贝戳墒唉锯戮婚淹墩败瑚从潭橙扮瓮抨毫木畜泳厨根痞统炕锭涩持扇截壁拯舷奈振萎往胁借胜隧疚继淡胡四偶晃状鼎殴褂泞尖减跪尉缘核示侥羹睹人世帆勤萌祁纸端崖添傻骏冈起贪备警礼胞态寒邢噬寐遏膨涣团糙窜喷永靠码蛹硫少盼栗离泊祟缺症溃锨穴埔何蠢走麦箩羔泄装缚抢钵檀臼框茫罢保锅惜新晚绝栈