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第3讲圆的方程考纲要求考情风向标1.掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程.通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查主要侧重以下两点：(1)利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并能指出圆心坐标及半径长；(2)求圆的方程，方法主要有配方法、待定系数法、数形结合法等考查的形式以选择题、填空题为主.1圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆确定一个圆最基本的要素是圆心和半径2圆的标准方程(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为_，半径为 r 的圆的标准方程(a，b)(2)特别地，以原点为圆心，半径为 r(r0)的圆的标准方程为_x2y2r24点M(x0，y0)与圆x2y2DxEyF0的位置关系点M在圆内x02y02Dx0Ey0F0.5两圆的位置关系设两圆半径分别为 R，r，圆心距为 d.两圆相外离dRr公切线条数为 4；两圆相外切dRr公切线条数为 3；两圆相交RrdRr公切线条数为 2；两圆内切dRr公切线条数为 1；两圆内含dRr公切线条数为 0.1圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为()AAx2(y4)225C(x4)2y225Bx2(y4)225D(x4)2y225)D2圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是(A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)3(教材改编题)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆的充要条件是()B4若直线 yxb 平分圆 x2y28x2y80 的周长，则 b()DA3B5C3D55以点(2，1)为圆心且与直线 xy6 相切的圆的方程是_.(x2)2(y1)2252考点 1求圆的方程例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2xy30 上的圆的方程；(2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x2y0 的对称点仍在这个圆上，且与直线 xy10 相交的弦长为，求圆的方程2 2解：(1)方法一，从数的角度，选用标准式设圆心 P(x0，y0)，则由|PA |PB|，得(x05)2(y02)2(x03)2(y02)2.又 2x0y030，两方程联立，得x04，y05.|PA | .圆的标准方程为(x4)2(y5)210.10方法二，从数的角度，选用一般式设圆的方程为 x2y2DxEyF0，圆的方程是 x2y28x10y310.方法三，从形的角度AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心 P 应在 AB 的中垂线 x4 上，则由2xy30，x4，得圆心 P(4,5)半径 r|PA | .圆的方程是(x4)2(y5)210.显然，充分利用平面几何知识明显降低了计算量10(2)设点 A 关于直线 x2y0 的对称点为 A，已知 AA为圆的弦，A 与 A的对称轴 x2y0 过圆心设圆心 P(2a，a)，半径为 R，a7 或 a3.当 a7 时，R ；当 a3 时，R .所求圆的方程为(x6)2 (y3)2 52 或(x14)2 (y7)2244.【方法与技巧】研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.24452【互动探究】1(2013 年江西)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1 相切，则圆 C 的方程是_.考点 2与圆有关的最值问题解：(1)如图 D23，方程 x2y24x10 表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆图 D233率，yx 可看作直线 yxb 在 y 轴上的截距，x2y2 是圆上一点与原点距离的平方，可借助平面几何的知识，利用数形结合求解.涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：形如u =y bx a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2+(yb)2 形式的最值问题,可转化圆心已定的动圆半径的最值问题 【方法与技巧】方程x2y24x10表示以点(2，0)为圆心，以 为半径的圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜3yx【互动探究】2已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21，则 2xy 的最大值为_，最小值为_.5555考点 3 圆的综合应用例 3：若圆 x2y22mxm240 与圆 x2y22x4my4m280 相切，则实数 m 的取值集合是_【方法与技巧】本题很容易漏解，两圆相切包括内切和外切两种情形，利用圆心距等于两圆半径之和或等于两半径之差.【互动探究】3(2012 年山东)圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()BA内切B相交C外切D相离思想与方法利用函数与方程的思想探讨与圆有关的定值问题(1)求椭圆 E 的方程；(2)设椭圆 E 的上下顶点分别为 A1，A2，P 是椭圆上异于 A1，A2 的任一点，直线 PA1，PA2 分别交 x 轴于点 N，M，若直线 OT与过点 M，N 的圆 G 相切，切点为 T，如图 11-3-1.证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值图 11-3-1由切割线定理，得 OT2|OM|ON|4.|OT|2，即线段 OT 的长度为定值 2.【方法与技巧】本题涉及椭圆、圆、多条直线及多个点，设 P(x0，y0)，求出直线PA1、直线PA2 的方程，进一步求出点M，N 的坐标是基础； 设圆心为 G，则 OT2OG2r2 或直接利用切割线定理 OT2OMON 求解.
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