无穷积分的计算及Matlab的实现毕业论文

无穷积分的计算及Matlab的实现系 院 数 学 系 学科门类 理 学 专 业 数学与应用数学 学 号 0925809030 姓 名 指导教师 教师职称 副 教 授 2013年5月3日毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果或作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 年 月 日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学院保留并向有关毕业论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权本学院及以上级别优秀毕业毕业论文评选机构将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库以资检索，可以采用复印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文。声明人签名： 导师签名： 年 月 日 年 月 日 摘 要 无穷积分是定积分将积分区间推广到无穷区间后得到的一类积分,有很多实际的应用背景,同时在复变函数、实变函数及概率论中也有广泛应用，因而研究其算法对实际问题及对后续学习课程都有一定的意义。但是无穷积分的基本算法依赖于定积分的算法和极限求法,如果二者中有一个不能求出,那么基本算法将失效。通过探索无穷积分的计算方法,总结出很多计算无穷积分的方法,如利用广义含参变量、广义重积分、留数、帕斯瓦尔关系式、特殊被积函数等的方法,同时还探索通过MATLAB软件实现无穷积分的数值计算,从而对无穷积分的算法给出了有益的补充。关键词：无穷积分；广义重积分；广义含参变量无穷积分；留数; MatlabCalculation of Infinite Integral and Realization of MatlabAbstractInfinite integral is a class of integral which extends the definite integral to the infinite interval. Infinite integral has many applications in practice and in the complex function, Real Variable and probability theory, so it is very significant to consider its algorithm for practical problems and subsequent courses. However, because depending on the definite integral or limit, its basic algorithm will fail without the results of the definite integral and limit. By exploring other algorithms, a lot of calculating methods are obtained, such as the generalized integral with parameter, the generalized multiple integral, the residue, the Parseval relationship, special integrals, at the same time the numerical calculation of the infinite integral using Matlab is considered, which is useful supplement of the infinite integral algorithm.Key Words：Infinite integral; the generalized multiple integral; generalized integral with parameter; the residue; Matlab；目 录摘 要IAbstractII引 言11无穷积分的定义及性质21.1 无穷积分的定义21.2无穷积分的性质21.2.1无穷积分的收敛性21.2.2 奇偶函数的无穷积分性质32无穷积分的计算52.1广义含参变量无穷积分法52.2利用广义重积分求无穷积分62.3 留数法72.4帕斯瓦尔关系式法102.5特殊被积函数113. 无穷积分计算的Matlab程序设计143.1广义含参变量无穷积分法的Matlab实现143.2广义重积分法的Matlab实现163.3特殊被积函数无穷积分的Matlab实现17结 论19参 考 文 献20致 谢21引 言 无穷积分是定积分将积分区间推广到无穷区间后得到的一类积分123,有很多实际的应用背景,同时在复变函数4、实变函数5及概率论中也有广泛应用，因而研究其算法对实际问题及对后续学习课程都有一定的意义。 无穷积分的计算最基本的是定义法，即通过变上限或者变下限积分的极限的计算而得，但是定积分的算法是有限的，很多定积分都没有办法直接计算出来，因此很多广义积分无法用定义法计算，例如Possion积分等，所以必须借助于新的理论和方法来求无穷积分的算法，从而有效的解决这类问题。 本文通过探索无穷积分的计算方法，总结出很多计算无穷积分的方法，如利用广义含参变量、广义重积分、留数6、帕斯瓦尔关系式7、特殊被积函数8等的方法，同时还探索通过MATLAB软件实现无穷积分的数值计算，从而对无穷积分的算法给出了有益的补充。 本文的结构安排如下：第一章主要介绍无穷积分的定义及性质；第二章主要探索无穷积分计算的各种计算方法；第三章主要介绍无穷积分计算的Matlab程序设计。1无穷积分的定义及性质1.1 无穷积分的定义定义1.1：设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积分。如果存在极限则称此极限为函数在上的无穷反常积分（简称无穷积分），记作1.2无穷积分的性质1.2.1无穷积分的收敛性由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于函数在时是否存在极限。定理1.2.1：无穷积分收敛的充要条件是：任给，存在，只要,便有性质1.2.1：若与都收敛，为任意常数，则也收敛，且 = （1.1）性质 1.2.2：若在任何有限区间上可积，则与同敛态，且有 =+ （1.2）性质 1.2.3：若在任何有限区间上可积，且有收敛，则亦必收敛，并有 （1.3）证明：由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给，存在，当时，总有利用定积分的绝对值不等式，又有再由柯西准则（充分性），得收敛又因，令取极限，得到不等式（1.3）1.2.2 奇偶函数的无穷积分性质定理 1.2.2：设函数在区间上连续，且积分收敛，那么（1） 若是奇函数，则成立；（2）若是偶函数，则成立；证明：因为积分收敛，则极限存在，设（常数）。，取，则有在中，令，则；当时，；当时，。于是若是奇函数，即所以，即成立若为偶函数，即，则有即2无穷积分的计算2.1广义含参变量无穷积分法 一致收敛性及其判别法定义2.1.1：设函数定义在无界区域，其中上，若对每一个固定的,反常积分 （2.1）都收敛，则它的值是在上取值的函数，当记这个函数为时，则有 （2.2）称（2.1）式为定义在上的含参变量的无穷限反常积分，或称含参变量反常积分。 若含参变量反常积分（2.1）式与函数对任给的正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有即则称含参变量反常积分（2.1）式在一致收敛于阿贝尔判别法：设（1）在上一致收敛 （2）对每一个，函数为的单调函数，且对含参变量，在上一致有界，则含参变量反常积分在上一致收敛含参变量反常积分的连续性：设上连续，若含参变量反常积分，在上一致收敛，则在连续例如：计算解：令，则有 （2.3）由阿贝尔判别法可得上述含参变量反常积分在上一致连续，所以在上连续，且有（2.3）式2.2利用广义重积分求无穷积分二重积分定义：设是定义在可求面积的有界区域上的函数。是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有 （2.4）则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作 （2.5）定理2.2.1：在上可积的充要条件是：定理2.2.2：在上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在的某个分割，使得定理2.2.3：有界闭区间上的连续函数必可积定理2.2.4：设施定义在有界区域上的有界函数。若的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则在上可积。定理2.2.5：设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且 （2.6）定理2.2.6：设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且 （2.7）例如：计算，其中解：应用定理2.2.5或定理2.2.6，有=2.3 留数法 计算型积分引理2.1：设沿圆弧上连续，且于上一致连续（即与中无关），则 （2.8）证明：因为 (2.9)于是有 （2.10）对于任给，由已知条件，存在，使当时，有不等式 ， (2.11)于是由（2.10）式不超过（其中1为的长度，即1=）定理2.2.7：计算为有理分式，其中为互质多项式，且符合条件：（1）； （2）在实数轴上于是有证明：由条件（1）和条件（2）及数学归纳法的结论，知存在且等于它的主值记作取上半圆周作为辅助线。于是，有线段及合成一周线,先取充分大，使内部包含在上半平面内的一切孤立点实际上只有有限个极点）。由条件（2），在上诶有奇点。按留数定理得或写成因为有假设条件（1）知，故沿上就有根据引理得命题成立。例如：计算积分 解：因，它一共有四个一阶极点所以计算型积分若尔当引理：设函数沿半圆周充分大，且在上一致连续。则证明：对于任给的，存在,使时，有于是，就有 （2.12）这里利用了于是，由（若尔当不等式）将（2.12）式化为定理2.2.8：设，其中及是互质多项式，且符合条件：（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3），则有 （2.13）将（2.13）式分开实虚部，得及的积分例如：计算积分解：因为被积函数为偶函数，故由定理得所以=2.4帕斯瓦尔关系式法1 帕斯瓦尔关系式若信号和的傅立叶变换为，得上式中令，得称为帕斯瓦尔关系式，其中为的共轭函数2 利用帕斯瓦尔关系式求解无穷积分对于一些被积函数可分解为两个函数相乘的无穷积分，如果这两函数的傅立叶变换（或傅立叶反变换）乘积分容易积分，则利用帕斯瓦尔关系式可很易求得其积分，尤其是在傅立叶变换中出现冲激函数，利用冲激函数性质，积分更显简单。对于该积分在高等数学中的常规解法在此不再赘述。例如：计算积分解：根据时域微分特性因为所以其中：令,则根据帕斯瓦尔关系式知所以即：又因为故2.5特殊被积函数计算含三角函数无穷积分;利用围道积分引理2.2：设函数只有有限个奇点，且在下半平面的范围内，当时一致地趋近于,则 （2.14）其中，以原点为圆心，为半径的半圆弧，位于上班平面。证明：以原点为圆形。为半径作圆。按照题设，只要足够大，则有因此，同样也有另一方面，如果将此图周的位于下半平面内的半圆弧记为，则由Jordan引理有两式相减，可得例如：计算分析：按照传统方法，应当考虑复变积分，而且围道还应当绕过被奇函数的一阶极点（如图1）。文本的做法：直接考虑复变积分，积分围道为图2中的圆形围道。 图1 图2解：根据留数定理就得到令,就有根据Jordan引理，有，同时，根据上面刚刚证明的引理，又有 （） （）由此即可求得亦即3. 无穷积分计算的Matlab程序设计MATLAB是由MathWorks公式开发的一种主要用于数值计算及可视化图形处理的工程语言，是当今最优秀的科技应用软件之一。它将数值计算、矩阵运算、图形图像处理、信号处理和仿真等诸多强大的功能集成在较易使用的交互计算机环境中，为科学研究、工程应用提供了一种功能强、效率高的编程工具。下面我们将各种求积算法通过MATLAB软件编程实现，以下程序均用MATLAB7.0编写，运行坏境：1、硬件环境CPU（intel Core i3-2310M,2.1GHz），内存（2GB昱联）,2、软件环境windows7（32位）操作系统。3.1广义含参变量无穷积分法的Matlab实现例如：构造数表来逼近积分其中。表示数表的最后一行，最后一列的值。 程序： function R,quad,err,h=romber(f,a,b,n,delta) % f是被积函数 % a,b分别是积分的上下限 % n+1是T数表的列数 % delta是允许误差 % R是T数表 % quad是所求积分值 M=1; h=b-a; err=1 J=0; R=zeros(4,4); R(1,1)=h*(feval(f,a)+feval(f,b)/2 while (errdelta)&(Jn)|(J romber(f,0,1,5,0.5*(10(-8)回车得到 如图3.1如图3.13.2广义重积分法的Matlab实现例如：二重积分复化Simpson公式 程序： function I= Dbquad2 (fsimpcdabmn) h=(b-a)/(2*n); I1=0; I2=0; I3=0; for i=0:(2*n) x=a+i*h; dx=feval(dx); cx=feval(cx); dx=d; cx=c; kx=(dx-cx)./(2*m); K1=feval(fsimpxcx)+feval(fsimpxdx); K2=0; K3=0; for j=1:(2*m-1) y=cx+j*kx; z=feval(fsimpxy); if gcd(2j)=2 K2=K2+z; else K3=K3+z; end end L=(kx/3)*(K1+2*K2+4*K3); if i=0 | i=2*n I1=I1+L; else if gcd(2i)=2 I2=I2+L; else I3=I3+L; end end end I=(h/3).*(I1+2*I2+4*I3);3.3特殊被积函数无穷积分的Matlab实现例如：程序： function s=trapr1(f,a,b,n) % f是被积函数； % a,b分别为积分的上下限； % n是子区间的个数； % s是梯形总面积； h=(b-a)/n; s=0; for k=1:(n-1) x=a+h*k; s=s+feval(f,x); end format long s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)/2+h*s;先用M文件定义一个名为f.m的函数： function y=f(x) if x=0 y=1; else y=sin(x)/x; end在MATLAB命令窗口中输入 trapr1(f,0,1,4) 回车得到 如图3.2如图3.2若取子区间的个数在MATLAB命令窗口中输入 trapr1(f,0,1,8) 回车得到 如图3.3如图3.3结 论 本文主要总结了无穷积分的计算方法，通过广义含参变量、广义重积分、留数、帕斯瓦尔关系式、特殊被积函数等方法解决了通过基本算法不能解决的一些无穷积分的计算方法，同时通过Matlab软件编程实现了无穷积分的数值计算，对无穷积分的算法是有益的补充。几个典型实例的计算表明，各种方法都有其适用的范围，怎样有效的选择各种算法是今后我们进一步研究的问题，同时将本文的方法推广到瑕积分也是今后的工作。参 考 文 献1 华东师大数学系.数学分析M 北京: 高等教育出版社, 2001. 2 齐民友.重温微积分M 北京: 高等教育出版社, 2004.3 刘玉琏.数学分析讲义M 北京: 高等教育出版社, 2001.4 钟玉泉.复变函数论M 北京: 高等教育出版社, 20045 陈其襄.实变函数与泛函分析M 北京: 高等教育出版社, 20046 万海兵.用留数计算方法求无穷积分的一个注记J.宜春学院学报，2008,(30):154-155.7 顾建雄、雷正红.用帕斯瓦尔关系求解一类无穷积分J.河西学院报.2005,21(5):33-34.8吴崇试.计算含三角函数无穷积分的新方法J.大学物理,2011,30(2):55-57.9吴勃英、邓中兴. 一个无穷积分的数值积分公式J.哈尔滨科学计术大学学报,1992,16(3):89-94.10杨梦龙、孙建设.一类无穷积分的计算公式J.数学的实践与认识，2005,35(10):208-212.致 谢 行文至此，我的这篇论文已接近尾声；岁月如梭，我四年的大学时光也即将敲响结束的钟声。离别在即，站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千，一种感恩之情油然而生。 首先,感谢昌吉学院大学四年来对我的培养，是博学的老师们教会了我学习的方法、锻炼了我思考的能力、指明了我未来奋斗的方向，从而使我进一步明确了人生的目标。 其次，我要感谢我的指导老师祝丽萍老师，她的严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；她的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在撰写整个毕业论文的过程当中，她为我们考虑到了每一个细节，从开题报告到毕业论文的拟定修改上，祝老师更是不厌其烦的为我们做好每一步的细心指导。对此，我表示衷心地感谢。 再次，我也要感谢每一位给过我帮助的老师和同学，在我撰写论文的过程当中同样给了我大量有益的建议，在此一并向他们表示真诚的感谢，感谢他们对我的支持和帮助。 最后感谢这篇论文所涉及到的各位学者，本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果带给我的的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评指正。最后，衷心感谢评阅论文及参加答辩的各位老师！