北师大版数学选修11教案：第3章疑难解析：导数概念

2019版数学精品资料（北师大版）有关导数概念的几个疑难问题一、导数相关概念1导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。函数y =在x点可导是在x点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果不存在，称函数在x点不可导；若存在，则称此极限值为函数在该点的导数。2y =在x点可导有以下三个条件：y =在x点处及其附近有意义；左极限及其右极限都存在；=，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。3导函数y =与原来的函数y =有相同的定义域(a，b)4“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别： 函数在一点处的导数y=是一个常数，不是变量函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的函数y =在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数y=根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =的导函数y =函数y =在点x处的导数y=就是导函数y =在点x = x处的函数值，即=|5导数与连续的关系：若函数y =在x处可导，则此函数在x处连续，但逆命题不成立，即函数y =在x处连续，未必在x处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件因而可导性比连续性要求更高下面用两个例题说明这个问题例1 求证：若函数在点x处可导，则函数在点x处连续证明：函数在点x处可导，在点x处有： =() =0 = 0，=，即函数在点x处连续例2 求证：函数= | x |在点x= 0处连续，但在x处不可导证明：= 0；| x | =| x | =| x | = 0 ；= | x |在点x= 0处连续 又函数= | x |在点x= 0及其附近有意义；= ；=1，=1，即不存在，所以= | x |在点x= 0处不可导综上所述，函数= | x |在点x= 0处连续，但在在x处不可导综上，函数y =在点x处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：在点x处有定义，不一定在x处连续；但在点x处连续，一定在点x处有定义，即在点x处有定义是在点x处连续的必要而不充分的条件。在点x处连续，则在点x处一定有极限，且=；但在点x处有极限，不一定在点x处连续，即在点x处连续是在点x处有极限的充分而不必要的条件。在点x处连续是在点x处可导的必要而不充分的条件。