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2019版数学精品资料(北师大版)学业分层测评(十)(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0),则它的标准方程是() 【导学号:63470045】A.1B1C.1D1【解析】设等轴双曲线方程为1(a0)a2a262,a218.故双曲线方程为1.【答案】B2若双曲线x2ky21的离心率是2,则实数k的值是()A3BC3D【解析】双曲线x2ky21可化为1,故离心率e2,解得k.【答案】D3双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为()A.1B1C.1D1【解析】由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴,排除A、D,B项,a2,b2,c2,2a2b2c符合题意【答案】B4双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切,则r() 【导学号:63470046】A.B2C3D6【解析】双曲线的渐近线方程为yx,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得,圆心到渐近线的距离为r,且r.【答案】A5双曲线1和椭圆1(a0,mb0)的离心率互为倒数,那么以a、b、m为边长的三角形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1,椭圆的离心率e2,由e1e21得(a2b2)(m2b2)a2m2,故a2b2m2,因此三角形为直角三角形【答案】B二、填空题6双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m_. 【导学号:63470047】【解析】2a2,2b2, 2,m.【答案】7若双曲线中心在原点,焦点在y轴,离心率e,则其渐近线方程为_【解析】由于焦点在y轴,则渐近线方程为yx.而e,则1,渐近线方程为yx.【答案】yx8双曲线1(a0,b0)的两个焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作等边MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为_【解析】如图,点N为MF2的中点,且在双曲线上,利用双曲线的定义即可求解|F1N|c,|NF2|c.又|NF1|NF2|2a,即cc2a.e1.【答案】1三、解答题9求适合下列条件的双曲线标准方程:(1)顶点间距离为6,渐近线方程为yx;(2)求与双曲线x22y22有公共渐近线,且过点M(2,2)的双曲线方程【解】(1)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0),当0时,a24,2a26;当0时,a29,2a261.双曲线的标准方程为1和1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2(0),将点(2,2)代入双曲线方程,得(2)22.双曲线的标准方程为1.10已知椭圆D:1与圆M:x2(y5)29,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程【解】椭圆D的两个焦点为F1(5,0),F2(5,0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c5.设双曲线G的方程为1(a0,b0),渐近线方程为bxay0,且a2b225,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3,得a3,b4,双曲线G的方程为1.能力提升1设a,b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0B1C2D3【解析】由根与系数的关系,得abtan ,ab0,则a,b中必有一个为0,另一个为tan .不妨设A(0,0),B(tan ,tan2 ),则直线AB的方程为yxtan .根据双曲线的标准方程,得双曲线的渐近线方程为yxtan ,显然直线AB是双曲线的一条渐近线,所以直线与双曲线没有公共点【答案】A2设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】设双曲线方程为1(a0,b0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为yx,而kBF,1,整理得b2ac.c2a2ac0,两边同除以a2,得e2e10,解得e或e(舍去),故选D.【答案】D3设双曲线1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则AFB面积为_. 【导学号:63470048】【解析】A(3,0),F(5,0),取过F平行于渐近线yx的直线,则方程为y(x5)由得B.AFB的面积S(53).【答案】4已知双曲线3x2y23,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45,与双曲线交于A、B两点,试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长【解】双曲线方程可化为1,c2a2b24,c2.F2(2,0),又l的斜率为1.直线l的方程为yx2,代入双曲线方程,得2x24x70.设A(x1,y1)、B(x2,y2),x1x20,A、B两点不位于双曲线的同一支上x1x22,x1x2,|AB|x1x2|6.
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