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函数概念函数概念 一、期中考范围一、期中考范围 二、同学们，你们觉得把全国人民看的清清楚楚的会是谁？二、同学们，你们觉得把全国人民看的清清楚楚的会是谁？ 答：国家主席、文学家、哲学家、思想家。国家主席用政答：国家主席、文学家、哲学家、思想家。国家主席用政治角度、文学家用文学角度、哲学家用哲学角度、思想家用思想治角度、文学家用文学角度、哲学家用哲学角度、思想家用思想角度。角度。三、你们对初中的函数概念看清楚了吗？如果看清楚了，为三、你们对初中的函数概念看清楚了吗？如果看清楚了，为什么高中还要学？要怎样才能看清楚？高中就可以把函数看什么高中还要学？要怎样才能看清楚？高中就可以把函数看清楚了吗？清楚了吗？一、复习引入：一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有设在一个变化过程中有两个变量两个变量x和和y，如果对于，如果对于x的每一个值的每一个值，y都都有唯一有唯一的值与它的值与它对应对应，那么就说，那么就说x是自变量，是自变量，y是是x的函数的函数.并将自变量并将自变量x取值的集合取值的集合叫做函数的叫做函数的定义域定义域，和自变量，和自变量x的值对应的的值对应的y值叫值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的做函数值，函数值的集合叫做函数的值域值域.这种用这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。一次函数、二次函数等。 问题：问题：y=1（xR）是函数吗）是函数吗?我跟你们讲一件事情。就是著名教育家朱永新老师，很厉害的。我跟你们讲一件事情。就是著名教育家朱永新老师，很厉害的。今年暑假我到海门参加他的新教育实验会，我看了他的报告。朱今年暑假我到海门参加他的新教育实验会，我看了他的报告。朱老师把全国老师看的清清楚楚。朱老师为什么能把全国老师看的老师把全国老师看的清清楚楚。朱老师为什么能把全国老师看的清清楚楚，因为他站的角度与他人不一样，站的高度很高很高，清清楚楚，因为他站的角度与他人不一样，站的高度很高很高，他有极强的广度、有天生看问题的深度。比如谁可以把温州人民他有极强的广度、有天生看问题的深度。比如谁可以把温州人民看的清清楚楚，那这个人可以当温州市市委书记，把浙江人民看看的清清楚楚，那这个人可以当温州市市委书记，把浙江人民看的清请楚楚，那这个人可以当浙江省委书记，把全国人民看的清的清请楚楚，那这个人可以当浙江省委书记，把全国人民看的清请楚楚，那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才请楚楚，那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙能看清较低层次的事情。把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民看的清请楚楚，把浙江人民看的清请楚楚的人，一定可以江人民看的清请楚楚，把浙江人民看的清请楚楚的人，一定可以把温州人民看的清请楚楚。反之不一定。我再举例子，你把高等把温州人民看的清请楚楚。反之不一定。我再举例子，你把高等数学看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等数学看的清清数学看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等数学看的清清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚，高等数学也不一定看的清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚，高等数学也不一定看的清清楚楚。老师我在某一程度上可以把小学、初中、高中数学看的清楚楚。老师我在某一程度上可以把小学、初中、高中数学看的清清楚楚，但对高等数学看不清清楚楚。清清楚楚，但对高等数学看不清清楚楚。我我PPT再打出：我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的盒子，没盖，再打出：我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的盒子，没盖，里面有一只宠物，你们自己养的。当你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面里面有一只宠物，你们自己养的。当你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面这个面的中位线中点，那你可以把这个盒子的前面看的清清楚楚，但这只宠这个面的中位线中点，那你可以把这个盒子的前面看的清清楚楚，但这只宠物你看不见。接下去我们这样，我们改变眼睛的角度与高度，把眼睛上升，物你看不见。接下去我们这样，我们改变眼睛的角度与高度，把眼睛上升，上升到眼睛还是在前面这个面的前面，但高度上升到盒子上面那个面的上面，上升到眼睛还是在前面这个面的前面，但高度上升到盒子上面那个面的上面，这时，我们依然把前面这个面看的清清楚楚，但发现了许多新东西，比如我这时，我们依然把前面这个面看的清清楚楚，但发现了许多新东西，比如我们看到了盒子里有只宠物。所以改变角度，上升高度，原来的事情依然可以们看到了盒子里有只宠物。所以改变角度，上升高度，原来的事情依然可以看的清清楚楚，并且把发现的新东西也可以看的很清楚。我为什么要讲这些看的清清楚楚，并且把发现的新东西也可以看的很清楚。我为什么要讲这些东西，因为我们今天学习函数的概念。东西，因为我们今天学习函数的概念。四、初中我们学过哪些函数？初中函数如何定义？四、初中我们学过哪些函数？初中函数如何定义？y=1(x R)是是不是函数？不是函数？ 答：一元一次函数、二元一次函数、反比例函数。按初中定义答：一元一次函数、二元一次函数、反比例函数。按初中定义y=1（x R）不是函数。）不是函数。为什么取名函数？函数英文名：为什么取名函数？函数英文名： function。本来第一个词义，。本来第一个词义，其他词义就是引申而出。其他词义就是引申而出。1、官能、官能,功能功能,作用作用2、职务、职务,职责职责3、盛大的集会、盛大的集会(或宴会或宴会,宗教仪式宗教仪式)4、【数数】函数函数下面我们就站在一个新的角度与新的高度来重新认识函数概念。下面我们就站在一个新的角度与新的高度来重新认识函数概念。先对初中学过的函数站在新的角度于新的高度重新认识。先对初中学过的函数站在新的角度于新的高度重新认识。 然后对教材上三个函数例子，一个一个在新的角度，新的高度进然后对教材上三个函数例子，一个一个在新的角度，新的高度进行分析。行分析。告诉学生用高中的角度、高度依然可以把初中的函数看的清清告诉学生用高中的角度、高度依然可以把初中的函数看的清清楚楚，并且，我们发现了按初中的角度、高度以为不是函数的楚楚，并且，我们发现了按初中的角度、高度以为不是函数的在高中角度、高度还是函数。比如臭氧层、恩格尔系数这两个在高中角度、高度还是函数。比如臭氧层、恩格尔系数这两个教材上的例子或教材上的例子或y=1(x R)。我说只要你们上大学继续读数学就。我说只要你们上大学继续读数学就回发现在大四回发现在大四拓扑学拓扑学中又是站在新的角度、高度对函数进中又是站在新的角度、高度对函数进行重新认识，我是花了好长时间才看懂。行重新认识，我是花了好长时间才看懂。拓扑学拓扑学中对函数中对函数的认识站的角度更奇特，站的高度更高的认识站的角度更奇特，站的高度更高,它是站在它是站在“关系关系”这个这个角度和高度，我花了很长时间才看懂。角度和高度，我花了很长时间才看懂。五、函数的文字语言、符号语言、图形语言。五、函数的文字语言、符号语言、图形语言。我们知道数学语言有三种：文字语言、符号语言、图形语言。对于我们知道数学语言有三种：文字语言、符号语言、图形语言。对于函数的概念也是这三种语言。文字语言不严格，被人误会，因为有函数的概念也是这三种语言。文字语言不严格，被人误会，因为有时候说者无心听者有意。图形语言有缺陷因为有时候图画不出来。时候说者无心听者有意。图形语言有缺陷因为有时候图画不出来。只有用符号语言表达的概念才是达到严格标准。只有用符号语言表达的概念才是达到严格标准。二、总结函数概念二、总结函数概念 1、文字语言、文字语言 设设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使，使对于集合对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，在集合，在集合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称 为集合为集合A到集合到集合B的一个的一个函数。通俗点，一对一、二对一、三对一、多对一是函数，函数。通俗点，一对一、二对一、三对一、多对一是函数，一对二、一对三、一对多不是函数。为什么要对一对二、一对三、一对多不是函数。为什么要对“一一”这是这是函数的规定，这规定不是无缘无故的，而是函数是生活生产函数的规定，这规定不是无缘无故的，而是函数是生活生产世界中的许多事物的模型。这是我们从生活生产世界中把它世界中的许多事物的模型。这是我们从生活生产世界中把它抽象出来。抽象出来。:fAB 2、符号语言、符号语言 。f称对应关系或对应法则。称对应关系或对应法则。A称定义域，注称定义域，注意意“定义定义”是什么意思。是什么意思。“域域”是什么意思。函数值的集合称是什么意思。函数值的集合称值域，如何理解值域就是顾名思义。值域是集合值域，如何理解值域就是顾名思义。值域是集合B的子集。的子集。( ),yf x xA3、图形语言、图形语言注：在下节课同学们知道如果用函数的图形语言来理解分段函数那注：在下节课同学们知道如果用函数的图形语言来理解分段函数那是很容易理解分段函数，从函数的图形语言着手，分段函数一目了是很容易理解分段函数，从函数的图形语言着手，分段函数一目了然。然。一、看一、看P17思考下面例思考下面例1上面，回答为什么数学家要创造出区间上面，回答为什么数学家要创造出区间概念？闭区间、开区间、半开半闭区间有什么不同？你会书写概念？闭区间、开区间、半开半闭区间有什么不同？你会书写那几个实数无穷长度的区间吗？一个是有限长得区间，一个是那几个实数无穷长度的区间吗？一个是有限长得区间，一个是无限长的区间。无限长的区间。答：符号简洁、漂亮、思考的思维量小有助于思考，书写方答：符号简洁、漂亮、思考的思维量小有助于思考，书写方便。便。二、请看下图，函数有几要素构成？哪几个要素是决定性的。二、请看下图，函数有几要素构成？哪几个要素是决定性的。为什么？如何判断两个函数时相同的？为什么？如何判断两个函数时相同的？ 画一个两长椭圆型用箭头表示互相对应的图，长椭圆型里有画一个两长椭圆型用箭头表示互相对应的图，长椭圆型里有数字。数字。 当我问学生臭氧层空洞例子于城镇居民恩格尔系数例当我问学生臭氧层空洞例子于城镇居民恩格尔系数例子是不是函数时，学生回答不是。因为在他们的脑海里函子是不是函数时，学生回答不是。因为在他们的脑海里函数都有解析式的。我问是不是所有的函数对应法则可以用数都有解析式的。我问是不是所有的函数对应法则可以用解析式表达？其实在学生的脑海里能解析式表达的函数时解析式表达？其实在学生的脑海里能解析式表达的函数时大多数，不能解析式表达比如复杂的图像或复杂的表格是大多数，不能解析式表达比如复杂的图像或复杂的表格是不可能求出解析式的，学生觉得这样的函数是少数。其实不可能求出解析式的，学生觉得这样的函数是少数。其实要告诉学生能解析式表达的函数是少数，绝大部分函数是要告诉学生能解析式表达的函数是少数，绝大部分函数是不能用解析式表达的。同理，世界上不等的东西是绝大多不能用解析式表达的。同理，世界上不等的东西是绝大多数，相等的东西是少数。世界上不规则的东西是绝大多数，数，相等的东西是少数。世界上不规则的东西是绝大多数，规则的东西是少数。但我们从小到大学习的时少数的能用规则的东西是少数。但我们从小到大学习的时少数的能用解析式表达的函数，学习少数的相等的东西，学习少数的解析式表达的函数，学习少数的相等的东西，学习少数的规则东西，让我们以为世界上大部分东西是用解析式表达规则东西，让我们以为世界上大部分东西是用解析式表达的，是相等的，是规则的。的，是相等的，是规则的。 一、同学们知道不知道一个事物有本质和形式，事物的本质随一、同学们知道不知道一个事物有本质和形式，事物的本质随着社会的发展认识越来越深刻，事物的形式总有几种表现形式。着社会的发展认识越来越深刻，事物的形式总有几种表现形式。 比如人，人的本质是什么，从古希腊的人是没有羽毛站立的两比如人，人的本质是什么，从古希腊的人是没有羽毛站立的两脚动物到马克思的人是各种社会关系的总和。人的形式比如黄种人、脚动物到马克思的人是各种社会关系的总和。人的形式比如黄种人、白种人、黑人、棕色人。白种人、黑人、棕色人。 有句话是心灵美外表美才是真的美，心灵美属于人的本质，外有句话是心灵美外表美才是真的美，心灵美属于人的本质，外表美属于人的形式。表美属于人的形式。 那如何知道人的本质？就是先研究人的性质，通过研究人的性那如何知道人的本质？就是先研究人的性质，通过研究人的性质抵达人的本质。人有什么性质？比如人有两个鼻子，一只耳朵。质抵达人的本质。人有什么性质？比如人有两个鼻子，一只耳朵。 我们上节课研究了函数的本质，这节课来研究函数的形式，再我们上节课研究了函数的本质，这节课来研究函数的形式，再再下节课我们来研究函数的性质。再下节课我们来研究函数的性质。 函数有哪几种形式即函数的表示法书上举了几种？函数有哪几种形式即函数的表示法书上举了几种？ 二、解析法、图像法、列表法各有什么优劣？二、解析法、图像法、列表法各有什么优劣？ 解析法：我们知道数缺形难直观，形缺数难入解析法：我们知道数缺形难直观，形缺数难入微，所以函数有解析法就可以研究函数的微小局微，所以函数有解析法就可以研究函数的微小局部，但就是不直观。并且绝大部分函数解析式是部，但就是不直观。并且绝大部分函数解析式是很难求出来的，能求出函数解析式的时少数。很难求出来的，能求出函数解析式的时少数。 图像法：直观，但没有解析法的支持很难入微。图像法：直观，但没有解析法的支持很难入微。 列表法：对各个具体元素的情况掌握的非常清列表法：对各个具体元素的情况掌握的非常清楚，但从宏观上很难判断整体的变化趋势，要判楚，但从宏观上很难判断整体的变化趋势，要判断函数的整体变化趋势只能通过画图。断函数的整体变化趋势只能通过画图。 四、分段函数是几个函数？分段函数能分成几个函数四、分段函数是几个函数？分段函数能分成几个函数吗？吗？ 答是一个函数，就是把定义域分成几段，每一段都有答是一个函数，就是把定义域分成几段，每一段都有个对应法则。用函数的图形语言来直观的描述分段函数。个对应法则。用函数的图形语言来直观的描述分段函数。如果分成了几个函数就不是原来的函数，因为根据函数相如果分成了几个函数就不是原来的函数，因为根据函数相等的条件就可以判断。等的条件就可以判断。 五、只要函数中集合五、只要函数中集合A、集合、集合B不是数集，是任意集合，不是数集，是任意集合，那函数就可以推广为映射。那函数就可以推广为映射。 在讲如何通过图像变换画函数的图像时要再加一个反比例函数在讲如何通过图像变换画函数的图像时要再加一个反比例函数的图像变换。告诉学生初中是通过描点法来画函数的图像，如果描的图像变换。告诉学生初中是通过描点法来画函数的图像，如果描点法很熟练，到高中第一个函数用描点法，但很快的，第一、第二、点法很熟练，到高中第一个函数用描点法，但很快的，第一、第二、第三个函数就用函数的图像变换来画，就是通过左右上下的平移来第三个函数就用函数的图像变换来画，就是通过左右上下的平移来画函数图像。画函数图像。 函数定义域和值域必须是数，你自己都说是函函数定义域和值域必须是数，你自己都说是函“数数”。 最后讲最后讲函数函数与与映射函数映射函数哪个多一点，其实到大学，是比较哪个多一点，其实到大学，是比较势或基数，我也不知道这两个势或基数哪个大。但告诉学生后者要势或基数，我也不知道这两个势或基数哪个大。但告诉学生后者要比前者多，只是告诉学生大学里会深入研究。就像少数东西是相等比前者多，只是告诉学生大学里会深入研究。就像少数东西是相等的，少数函数是用解析式表达的，少数东西是规则的，绝大多数东的，少数函数是用解析式表达的，少数东西是规则的，绝大多数东西是不等的，绝大多少函数是求不出解析式的，绝大多数东西是不西是不等的，绝大多少函数是求不出解析式的，绝大多数东西是不规则的。至于两者的势或基数哪个大要到大学里才又深入研究。规则的。至于两者的势或基数哪个大要到大学里才又深入研究。 对于函数或映射，还是告诉学生一对一、二对一、三对一、多对于函数或映射，还是告诉学生一对一、二对一、三对一、多对一是函数或映射，一对二、一对三、一对多不是函数或映射，这对一是函数或映射，一对二、一对三、一对多不是函数或映射，这样有助于学生更加理解函数或映射。样有助于学生更加理解函数或映射。 反思：这些题目我们为什么做不出来那就是反思：这些题目我们为什么做不出来那就是高考是考知识点把它串联起来，即在知识的交汇高考是考知识点把它串联起来，即在知识的交汇处命题，高考是考处命题，高考是考“通通”的。而知识在我们大脑的。而知识在我们大脑中是孤立、隔离状态的，所以我们就想不到该如中是孤立、隔离状态的，所以我们就想不到该如何解题。何解题。 对于三、函数定义域的求法，同学们不要死对于三、函数定义域的求法，同学们不要死记硬背，而是用最简单特殊的例子来套一下就行。记硬背，而是用最简单特殊的例子来套一下就行。如果能够举一反三起码可以考个专科。如果能够举一反三起码可以考个专科。 注：以上四题用函数的图形语言来讲解注：以上四题用函数的图形语言来讲解是直观通俗。是直观通俗。为了讲解以下试题我们从这道题开始。同时我们要与下面的一道题解法上的区别。同时我们要与下面的一道题解法上的区别。增函数增函数+增函数增函数=增函数，减函数增函数，减函数+减函数减函数=减函数。增函数减函数。增函数+减函数减函数=不知道的一个形象的比喻不知道的一个形象的比喻一个人在火车上逆行，那火车外看他前进还是后退要看火车前进速一个人在火车上逆行，那火车外看他前进还是后退要看火车前进速度和他逆行速度。他在火车上前行那总就是前行。火车后退他后退度和他逆行速度。他在火车上前行那总就是前行。火车后退他后退那总后退。那总后退。高二（高二（3、4)文科普通班数学基础状况：一、许多知识点早已忘记，文科普通班数学基础状况：一、许多知识点早已忘记，二就算知识点大脑中有也是孤立和隔离状态不是串起来形成网络的。二就算知识点大脑中有也是孤立和隔离状态不是串起来形成网络的。同学们为什么不能举一反三原因是知识不够就算够知识之间也是孤同学们为什么不能举一反三原因是知识不够就算够知识之间也是孤立和隔离状态不是串起来形成网络所以不能举一反三。立和隔离状态不是串起来形成网络所以不能举一反三。
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