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阅读理解型问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规阅读理解型问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题律从而解决新问题. .既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力生的解题能力和数学应用能力. .这类题目能够帮助学生实现从模仿这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律到创造的思维过程，符合学生的认知规律. .阅读理解题一般是提供阅读理解题一般是提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，让你在理解材一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，让你在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题. . 基本思路是：基本思路是：“阅读阅读分析分析理解理解解决问题解决问题.”.”一、新概念学习型一、新概念学习型 新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念（或新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念（或定义），然后再根据新概念提出要解决的相关问题定义），然后再根据新概念提出要解决的相关问题. .主要目的主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力. .解决这解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用的新概念和已有的知识相结合，并进行运用. . （20152015临沂）定义：给定关于临沂）定义：给定关于x x的函数的函数y y，对于该函，对于该函数图象上任意两点（数图象上任意两点（x x1 1，y y1 1），（），（x x2 2，y y2 2）. .当当x x1 1xx2 2时，都有时，都有y y1 1y0 x0）；）；1y.x【分析分析】结合一次函数、二次函数、反比例函数的性质，严格按结合一次函数、二次函数、反比例函数的性质，严格按照新定义的要求验证即可照新定义的要求验证即可. .【解答解答】假设点（假设点（x x1 1，y y1 1），（），（x x2 2，y y2 2）在）在y=2xy=2x上，上，当当x x1 1x0.0.则则y=2xy=2x是增函数是增函数. .同理可证同理可证y=xy=x2 2（x0 x0）是增函数，）是增函数，y=-x+1y=-x+1不是增函数不是增函数. . 在每个象限内是增函数，但当在每个象限内是增函数，但当x x1 10 x0yy2 2，则，则 v v 不是增函数不是增函数. .【答案答案】1yx1yx【点评点评】本题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的本题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的性质，正确理解增函数的定义是解题的关键性质，正确理解增函数的定义是解题的关键. . （20142014四川舟山）类比梯形的定义，我们定义：有四川舟山）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对等对角四边形角四边形”. .（1 1）已知：如图）已知：如图1 1，四边形，四边形ABCDABCD是是“等对角四边形等对角四边形”，ACAC，A=70A=70，B=80B=80. .求求C C，D D的度数的度数. .（2 2）在探究）在探究“等对角四边形等对角四边形”性质时：性质时：小红画了一个小红画了一个“等对角四边形等对角四边形”ABCDABCD（如图（如图2 2），其中），其中ABC=ADCABC=ADC，AB=ADAB=AD，此时她发现，此时她发现CB=CDCB=CD成立成立. .请你证明此请你证明此结论；结论；由此小红猜想：由此小红猜想：“对于任意对于任意等对角四边形等对角四边形，当一组，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等邻边相等时，另一组邻边也相等”. .你认为她的猜想正确吗你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例？若正确，请证明；若不正确，请举出反例. .（3 3）已知：在）已知：在“等对角四边形等对角四边形”ABCDABCD中，中，DAB=60DAB=60，ABC=90ABC=90，AB=5AB=5，AD=4.AD=4.求对角线求对角线ACAC的长的长. .【分析分析】（1 1）利用）利用“等对角四边形等对角四边形”这个概念来计算这个概念来计算. .（2 2）利用等边对等角和等角对等边来证明；）利用等边对等角和等角对等边来证明；举例画图举例画图. .（3 3）当）当ADC=ABC=90ADC=ABC=90时，延长时，延长ADAD，BCBC相交于点相交于点E E，利用勾股定理求解；利用勾股定理求解；当当BCD=DAB=60BCD=DAB=60时，过点时，过点D D作作DEABDEAB于点于点E E，DFBCDFBC于点于点F F，求线段利用勾股定理求解，求线段利用勾股定理求解. .【解答解答】（1 1）如图）如图11等对角四边形等对角四边形ABCDABCD，ACAC，D=B=80D=B=80，C=360C=360-70-70-80-80-80-80=130=130. .（2 2）如图）如图2 2，连接，连接BDBD，AB=ADAB=AD，ABD=ADB.ABD=ADB.ABC=ADCABC=ADC，ABC-ABD=ADC-ADBABC-ABD=ADC-ADB，CBD=CDBCBD=CDB，CB=CD.CB=CD.不正确，不正确，反例：如图反例：如图3 3，A=C=90A=C=90，AB=ADAB=AD，但但CBCDCBCD，（3 3）如图）如图4 4，当，当ADC=ABC=90ADC=ABC=90时，延长时，延长ADAD，BCBC相交于点相交于点E E，ABC=90ABC=90，DAB=60DAB=60，AB=5AB=5，AE=10AE=10，DE=AE-AD=10-4=6.DE=AE-AD=10-4=6.EDC=90EDC=90，E=30E=30，CD 2 3，2222ACADCD4(2 32 7.）如图如图5 5，当，当BCD=DAB=60BCD=DAB=60时，过点时，过点D D作作DEABDEAB于点于点E E，DFBCDFBC于点于点F F，DEABDEAB，DAB=60DAB=60,AD=4,AD=4，AE=2AE=2，BE=AB-AE=5-2=3.BE=AB-AE=5-2=3.四边形四边形BFDEBFDE是矩形，是矩形，DF=BE=3DF=BE=3，BF=DE=BF=DE=DE 2 3，2 3.BCD=60BCD=60，CF3，BC CF BF3 2 3 3 3，2222ACABBC53 32 13.（）【点评点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用理解并能运用“等对角四边形等对角四边形”这个概念这个概念. .232.2.（20152015浙江台州）定义：如图浙江台州）定义：如图1 1，点，点M M，N N把线段把线段ABAB分割分割成成AMAM，MNMN和和BNBN，若以，若以AMAM，MNMN，BNBN为边的三角形是一个直角为边的三角形是一个直角三角形，则称点三角形，则称点M M，N N是线段是线段ABAB的勾股分割点的勾股分割点. .（1 1）已知点）已知点M M，N N是线段是线段ABAB的勾股分割点，若的勾股分割点，若AM=2AM=2，MN=3,MN=3,求求BNBN的长；的长；（2 2）如图）如图2 2，在，在ABCABC中，中，FGFG是中位线，点是中位线，点D D，E E是线段是线段BCBC的勾的勾股分割点，且股分割点，且ECDEBDECDEBD，连接，连接ADAD，AEAE分别交分别交FGFG于点于点M M，N N，求，求证：点证：点M M，N N是线段是线段FGFG的勾股分割点；的勾股分割点；（3 3）已知点）已知点C C是线段是线段ABAB上的一定点，其位置上的一定点，其位置如图如图3 3所示，请在所示，请在BCBC上画一点上画一点D D，使，使C C，D D是线是线段段ABAB的勾股分割点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出的勾股分割点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）一种情形即可）（4 4）如图）如图4 4，已知点，已知点M M，N N是线段是线段ABAB的勾股分割点，的勾股分割点，MNAMBNMNAMBN，AMCAMC，MNDMND和和NBMNBM均是等边三角形，均是等边三角形，AEAE分分别交别交CMCM，DMDM，DNDN于点于点F F，G G，H H，若，若H H是是DNDN的中点，试探究的中点，试探究 S SAMFAMF，S SBENBEN和和S S四边形四边形MNHGMNHG的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由. .解：（解：（1 1）当）当MNMN为最大线段时，为最大线段时，当当BNBN为最大线段时，为最大线段时，BN= BN= 或或 . .22BNMNAM9 45 ；22BNMNAM9 413. 513（2 2）FGFG是是ABCABC的中位线，的中位线，FGBC.FGBC.点点M M，N N分别是分别是ADAD，AEAE的中点的中点. .BD=2FMBD=2FM，DE=2MNDE=2MN，EC=2NG.EC=2NG.AMANAG1.MDNEGC点点D D，E E是线段是线段BCBC的勾股分割点，的勾股分割点，且且ECDEBDECDEBD，ECEC2 2=BD=BD2 2+DE+DE2 2，即即(2NG)(2NG)2 2=(2FM)=(2FM)2 2+(2MN)+(2MN)2 2. .NGNG2 2=FM=FM2 2+MN+MN2 2. . 点点M M，N N是线段是线段FGFG的勾股分割点的勾股分割点. .（3 3）画图如下：）画图如下：（4 4）S S四边形四边形MNHG MNHG =S=SAMF AMF +S+SBENBEN. .理由如下：理由如下：设设AM=aAM=a，BN=bBN=b，MN=cMN=c，H H是是DNDN的中点，的中点，DH=HN= c.DH=HN= c.MNDMND，BNEBNE均为等边三角形，均为等边三角形，D=DNE=60D=DNE=60. .12DHG=NHEDHG=NHE，DGHDGHNEH.NEH.DG=EN=bDG=EN=b，MG=MG=c-bc-b. .GMENGMEN，AGMAGMAEN.AEN. . .即即c c2 2=2ab-ac+bc.=2ab-ac+bc.c baba c点点M M，N N是线段是线段ABAB的勾股分割点，的勾股分割点，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .(a-b)(a-b)2 2=(=(b-a)cb-a)c. .又又b-acb-ac，a=b.a=b.在在DGHDGH和和CAFCAF中，中，D=CD=C，DG=CADG=CA，DGH=CAFDGH=CAF，DGHDGHCAF.CAF.SSDGH DGH =S=SCAFCAF. .cc2 2=a=a2 2+b+b2 2，S SDMN DMN =S=SACM ACM +S+SENBENB. .SSDMN DMN =S=SDGH DGH +S+S四边形四边形MNHGMNHG，S SACM ACM =S=SCAF CAF +S+SAMFAMF，S S四边形四边形MNHG MNHG =S=SAMF AMF +S+SBENBEN. .二、新公式应用型二、新公式应用型 新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题知识和已有知识解决题目中提出的数学问题. .解决这类问题，解决这类问题，不仅要求所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或不仅要求所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；还需要创造条件，准确、规解题思路与阅读材料保持一致；还需要创造条件，准确、规范、灵活地解答范、灵活地解答. . （20152015江苏扬州）平面直角坐标系中，点江苏扬州）平面直角坐标系中，点P(x,yP(x,y) )的横的横坐标坐标x x的绝对值表示为的绝对值表示为|x|x|，纵坐标，纵坐标y y的绝对值表示为的绝对值表示为|y|y|，我，我们把点们把点P(x,yP(x,y) )的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点P(x,yP(x,y) )的勾股值，记为：的勾股值，记为：P P，即，即P P=|=|x|+|yx|+|y| |（其中（其中“+”+”是是四则运算中的加法）四则运算中的加法）. .（1 1）求点）求点 的勾股值的勾股值A A，B B; ;（2 2）点）点M M在反比例函数在反比例函数 的图象上，且的图象上，且M M=4=4，求点，求点M M的坐标；的坐标； （3 3）求满足条件）求满足条件N N=3=3的所有点的所有点N N围成的图形的面积围成的图形的面积. .A 1,3 ,B( 3 2, 3 2)3yx【分析分析】（1 1）按照定义的运算法则直接求出）按照定义的运算法则直接求出A A，B B的的值值. .（2 2）先设点）先设点M M的坐标为（的坐标为（x x，y y），结合题干中条件求解即可），结合题干中条件求解即可. .（3 3）根据）根据N N=3=3，知点，知点N N围成的图形是边长是围成的图形是边长是3232的正方形，的正方形，由此计算面积即可由此计算面积即可. .3.3.（20152015甘肃武威）定义新运算：对于任意实数甘肃武威）定义新运算：对于任意实数a a，b b都有都有：a b=aa b=a（a-ba-b）+1+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，如：法运算，如：2 5=22 5=2（2-52-5）+1=2+1=2（-3-3）+1=-5.+1=-5.那么不等那么不等式式3 x133 x-1x-1三、新方法应用型三、新方法应用型 新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题解决题目中提出的问题. .【点评点评】本题考查了有理数的混合运算，根据新方法正确换本题考查了有理数的混合运算，根据新方法正确换元是快速解答本题的关键元是快速解答本题的关键. .4.4.（20142014广东珠海）阅读下列材料：广东珠海）阅读下列材料：解答解答“已知已知x-yx-y=2=2，且，且x1x1，y0y1x1，y+21y+21，y-1.y-1.又又y0y0，-1y0. -1y0. 同理得同理得1x2. 1x2. 由由+ +得得-1+1-1+1y+xy+x0+2.0+2.x+yx+y的取值范围是的取值范围是00 x+yx+y2.2x2，y1y1y1，x-1x-1，若，若x-yx-y=a=a成立，求成立，求x+yx+y的取值范围（结的取值范围（结果用含果用含a a的式子表示）的式子表示）. .解：（解：（1 1）x-yx-y=3=3，x=y+3x=y+3，又又x x2 2，y+3y+32 2，y y-1-1又又y y1 1，-1-1y y1 1， 同理得同理得2 2x x4 4，由由+ +得得-1+2-1+2y+xy+x1+4.1+4.x+yx+y的取值范围是的取值范围是1 1x+yx+y5.5.（2 2）x-yx-y=a=a，x=x=y+ay+a，又又x x-1-1，y+ay+a-1-1，y y-a-1-a-1，又又y y1 1，1 1y y-a-1-a-1， 同理得同理得a+1a+1x x-1-1，由由+ +得得1+a+11+a+1y+xy+x-a-1+-a-1+（-1-1），），x+yx+y的取值范围是的取值范围是a+2a+2x+yx+y-a-2-a-2
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