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第3课时等比数列第五章数列第五章数列回归教材回归教材 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1等比数列的相关概念等比数列的相关概念相关相关名词名词等比数列等比数列an的相关概念及公式的相关概念及公式定义定义 q(q是常数且是常数且q0，nN*)或或 _q(q是常数且是常数且q0，nN*且且_)n2相关相关名词名词等比数列等比数列an的相关概念及公式的相关概念及公式通项通项公式公式an_amqnm前前n项和项和公式公式Sna1qn1na1相关相关名词名词等比数列等比数列an的相关概念及公式的相关概念及公式等比等比中项中项设设a、b为任意两个同号的实数，为任意两个同号的实数，则则a、b的等比中项的等比中项G_2.等比数列的性质等比数列的性质(1)对任意的正整数对任意的正整数m、n、p、q，若，若mnpq则则_.特别地特别地mn2p则则_.amanapaq(3)在等比数列中，每隔相同的项抽出在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍是等比数列，即数列仍是等比数列，即am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列仍是等比数列(4)若数列若数列an是等比数列，是等比数列，Sn为其前为其前n项和，则项和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比数列是等比数列(例如数列例如数列1，1,1，1，除外除外) 思考探究答案：答案：2若等比数列若等比数列an满足满足anan116n，则公比，则公比q_.答案：答案：43(2011高考天津卷改编高考天津卷改编)已知已知an为为等差数列，其公差为等差数列，其公差为2且且a7是是a3与与a9的等比中项的等比中项Sn为为an的前的前n项和，项和，nN*，则，则S10的值为的值为_答案：答案：1104若若an是等比数列且是等比数列且an0，nN*，又，又a2a42a3a5a4a625，则，则a3a5_.答案：答案：5考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1等比数列基本量的计算及性质等比数列基本量的计算及性质的应用的应用设首项为正数的等比数列设首项为正数的等比数列an中，中，它的前它的前n项和项和Sn80，前，前2n项和项和S2n6560，且前，且前n项中数值最大的项为项中数值最大的项为54.求此数列的首项求此数列的首项a1与公比与公比q.例例1【名师点评名师点评】(1)等比数列中有五个等比数列中有五个量量a1，n，q，an，Sn，一般利用通项，一般利用通项公式和前公式和前n项和公式，通过方程组项和公式，通过方程组“知知三求二三求二”利用等比数列的性质可以利用等比数列的性质可以灵活地处理等比数列的相关问题，体灵活地处理等比数列的相关问题，体现了非常强的灵活性和技巧性现了非常强的灵活性和技巧性(2)本题主要应用前本题主要应用前n项和公式及通项项和公式及通项公式求解，应用前公式求解，应用前n项和公式时要注意项和公式时要注意对公比对公比q的讨论，同时，还要注意单的讨论，同时，还要注意单调性的判定及整体代换思想的应用调性的判定及整体代换思想的应用变式训练变式训练1(2011高考大纲全国卷高考大纲全国卷)设等比数设等比数列列an的前的前n项和为项和为Sn.已知已知a26,6a1a330，求，求an和和Sn.考点考点2等比数列的判定或证明等比数列的判定或证明设设Sn为数列为数列an的前的前n项和，且满项和，且满足足2Sn3(an1)(1)证明：数列证明：数列an是等比数列并求是等比数列并求Sn；例例2(2)若若bn4n5，将数列，将数列an和和bn的的公共项按它们在原数列中的顺序排成公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列一个新的数列dn，证明：，证明：dn是等比是等比数列并求其通项公式数列并求其通项公式(2)易知易知d1a2b19，设设ak3k是是bn中的第中的第m项，项，又是又是dn中的第中的第n项，即项，即dn3k4m5.因因ak13k13(4m5)4(3m3)3不是数列不是数列bn中的项，而中的项，而ak23k29(4m5)4(9m10)5是是bn中中的第的第(9m10)项，项，【解解】(1)设成等差数列的三个正数设成等差数列的三个正数分别为分别为ad，a，ad，据题意得，据题意得(ad)a(ad)15，a5，故，故bn中的中的b3，b4，b5依次依次为为7d,10,18d.解：解：(1)因为因为2an1ann，则，则2anan1n1(n2)，两式相减得：，两式相减得：2an13anan11.即即2(an1an1)anan11(n2)，即，即2bnbn1.所以数列所以数列bn为等比数列为等比数列考点考点3等差等比数列综合应用等差等比数列综合应用设数列设数列an是等差数列，是等差数列，a56.(1)当当a33时，请在数列时，请在数列an中找一中找一项项am，使，使a3，a5，am成等比数列；成等比数列；(2)当当a32时，若自然数时，若自然数n1，n2，nt，(tN*)满足满足5n1n2nt，使得，使得a3，a5，an1，an2，ant成等比数列，成等比数列，求数列求数列nt的通项公式的通项公式例例3(2)a32，a56，d2，当，当n5时，时，ana5(n5)d2n4，又又a3，a5，an1，an2，ant，成等比数列，成等比数列，【名师点评名师点评】(1)在解决等差在解决等差(比比)数数列时，本着化繁为简的原则抓住首项列时，本着化繁为简的原则抓住首项a1和公差和公差d(或公比或公比q)研究问题的内在研究问题的内在关系，这就是数列关系，这就是数列“基本量方法基本量方法”；(2)由等差数列由等差数列(或等比数列或等比数列)中抽出部中抽出部分项组成等比数列分项组成等比数列(或等差数列或等差数列)时，时，要注意利用这些量的双重身份去分析要注意利用这些量的双重身份去分析转化问题例如：转化问题例如：ant在等差数列中应在等差数列中应为数列为数列an的第的第nt项，故项，故ant2nt4，而它在等比数列中应为第，而它在等比数列中应为第(t2)项项，故，故anta33t123t1.方法技巧方法技巧1解决等比数列有关问题的常见思想解决等比数列有关问题的常见思想方法方法(1)方程思想：等比数列中有五个量方程思想：等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以，一般可以“知三求知三求二二”，通过列方程，通过列方程(组组)求关键量求关键量a1和和q，问题可迎刃而解，问题可迎刃而解当公比当公比q1时，因为时，因为a10，所以，所以Snna1是是n的正比例函数的正比例函数反过来，如果已知数列的前反过来，如果已知数列的前n项和公式项和公式SnAqnA(A0，q0且且q1，nN*)，那么这个数列一定是等比数，那么这个数列一定是等比数列列失误防范失误防范1常数列都是等差数列，但不一定是常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，只有当常数列各项不为等比数列，只有当常数列各项不为0时时，才是等比数列，才是等比数列3等比数列等比数列an的前的前n项和公式的推项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法导方法即错位相减法是很重要的方法，必须熟练掌握在应用错位相减法，必须熟练掌握在应用错位相减法求数列的前求数列的前n项和时，若含有参数，易项和时，若含有参数，易忽视分类讨论，一般分为忽视分类讨论，一般分为q1，q1两类情况讨论两类情况讨论考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测1从近几年的江苏高考试题来看，等从近几年的江苏高考试题来看，等比数列的定义、性质、通项公式及前比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有填项和公式是高考的热点，题型既有填空题，又有解答题，难度中等偏高空题，又有解答题，难度中等偏高客观题突出客观题突出“小而巧小而巧”，考查学生对，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法等价转化、分类讨论等思想方法2预测预测2013年江苏高考综合等比数年江苏高考综合等比数列的通项公式，前列的通项公式，前n项和以及利用性质项和以及利用性质解题仍将是命题的热点，但先对等比解题仍将是命题的热点，但先对等比数列适度数列适度“异化异化”再处及非再处及非“标准标准”的等比数列可能成为命题的新特点，的等比数列可能成为命题的新特点，要给予适当的关注要给予适当的关注典例透析典例透析 (2011高考江苏卷高考江苏卷)设设1a1a2a7，其中，其中a1，a3，a5，a7成公比为成公比为q的等比数列，的等比数列，a2，a4，a6成公差为成公差为1的等差数列，则的等差数列，则q的最小的最小值是值是_例例【解析解析】a1，a3，a5，a7成公比成公比为为q的等比数列，的等比数列，又又a11，a3q，a5q2，a7q3，又又a2，a4，a6成公差为成公差为1的等差数列的等差数列，a4a21，a6a22.由由1a1a2a3a7，【得分技巧得分技巧】解决本题的关键在于解决本题的关键在于抓住抓住a1，a3，a5，a7成等比数列，首成等比数列，首项为项为1及及a2，a4，a6成等差数列公差成等差数列公差为为1，用，用a2及及q表示表示a4，a5，a6，a7，再利用再利用1a2a3a4a5a6a7列出列出q所满足的不等式，进而求出所满足的不等式，进而求出q最最小值小值【失分溯源失分溯源】本题难度较大，得分本题难度较大，得分率较低，造成失分的原因主要在于率较低，造成失分的原因主要在于(1)思路不清晰，不能利用已知不等式思路不清晰，不能利用已知不等式找出找出q所满足的不等式；所满足的不等式；(2)不能用基本量不能用基本量a1及公差及公差d表示数列表示数列的各项的各项
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