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1.()2.xsincosysin参数方程为参数 化为普通方程是210(22)xyx 3 13(2.)()22.xcosaysina 若曲线为参数 经过点， ，则13122223.coscosaasinsina 由，得，平方相加可解解得析：相交234390().2xcosxyysin直线：与圆：为参数的位置关系是220,02| 9|234d因为圆心，半径为 ，故圆心到直线的距离，所以直线与解析：圆相交(04) 0,4，3.54.xcosysin椭圆的两个焦点坐标是223355+1.925(04) 0,4xcosxcosysinysinxy由，得，所以可得其焦点的坐标为 ，解析：2 30215.2()2.xttyxBytCBC 直线为参数 与抛物线交于 、两点，则线段的长等于222121212221515()24 5100|44 5402 30.xytyxBC 将直线方程化为标准式得， 为参数 ，代入，得，所以解析： 【例1】在曲线C1： (为参数)上求一点，使它到直线 l: (t为参 数)的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离.1 cossinxy 12 22112xtyt 参数方程与普通方程参数方程与普通方程互化互化 【解析】直线 l 的直角坐标方程为 x+y+ -1=0. 设P(1+cos , sin), 0 , 2)， 则2 21 cossin2 2 12sin() 242 sin()4d 所以，当 时，即= 时，dmin=1,此时P .342 54 22(1,)22 曲线C1的直角坐标方程为圆: (x -1)2+y2=1，利用圆的参数方程可以使圆上的坐标变得简单.本题也可以利用圆的几何性质求解.22 () 11.3xOyP xyxySxy在平面直角坐标系中，点， 是【椭圆变式练习 】上的一个动点，求的最大值【解析】因椭圆 +y2=1的参数方程为 (为参数), 故可设动点 P 的坐标为(3cos , sin)，其中02.因此， .所以，当= 时，S取最大值2.23x3cossinxy 313cossin2(cossin )222sin()3Sxy 6 直线参数方程标准式直线参数方程标准式的应用的应用【例2】已知直线 l 过点P(1 , 5),且倾斜角为 ,求:(1)直线 l 的参数方程； (2)若直线 l 与直线 l：x+y -1=0 相交，求交点到定点 P(1，5)的距离； (3)若直线 l 与圆 x2+y2=16 交于A、B两点，求 A、B 两点到定点 P 的距离之和及|AB|.3 【解析】(1) (t为参数) (*)； (2)将(*)式代入直线 l：x+y -1=0中,得 ，解得 t= . 所以交点到定点P的距离为 .112352xtyt 13151022tt 5 35 5 35t 2222223*1613(1)(5)16,2225 31100. 5 3110,|5 31, ()436 10 3. 5 3136 10 3ABABABABABABA Bxyttttttttttttttttt tABPAB 将式代入中，得整理得由韦达定理可得（），所以所以 、 两点到定点 的距离之和为， 本题(2)求直线 l 与直线 l的交点到定点 P 的距离，可根据参数 t 的几何意义，即只要求出交点对应的参数 t 的绝对值；(3)要求A、B两点到定点P的距离之和，由参数的几何意义，即只要求 |tA|+|tB|, 求|AB|即求出 |tA - tB|, 这要利用韦达定理和直线的参数方程中 t 的几何意义.因此，韦达定理是解决直线和二次曲线问题常用的方法.【变式练习2】设直线 (t为参数)与抛物线 y2=4x 交于两个不同点P、Q，已知点A(2 , 4)，求： (1)AP+AQ的值； (2)线段PQ的长度.24xtyt 2212122212121212121212222()242412 2160.12 216()()4224.10| 12 2.2|2244 14.xtyyxAPAQPQAPAQ 直线方程可化为，将之代入整理得所以，所以，解析：因为所以参数方程与极坐标方参数方程与极坐标方程的综合应用程的综合应用 2 sin325()41235CxtltytClxMNCMN 已 知 曲 线的 极 坐 标 方 程 是， 直 线的 参 数 方 程 是为 参 数 将 曲 线的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ；设 直 线 与 轴 的 交 点 是，是 曲 线上 一 动【 例点 ，求的】最 大 值 22222212sin.cossin20.24(2)3022,00,115.515 1.CxyxyCxyylyxyxMCCrMCMNMCrMN 曲线的极坐标方程可化为又，所以曲线的直角坐标方程为将直线 的参数方程化为直角坐标方程，得令，得 ，即点的坐标为又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径 ，则所以 ，即的最大【值为】+解析 解决参数方程与极坐标方程的通解通法是将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，也即由陌生向熟悉转化，进而在熟悉的环境中解决问题 sin()441()31535CxlxttlCyt 在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为为参数 ，求直线 被曲线 所截【变式练习 】得的弦长2224152 2sin(),(3415)220,3410.( 1,1)22 462( ).55xttytxyxyxyCCCl 将方程 为参数 分别化为普通方程由曲线 的圆心为，半径为，所以圆心到直线 的距离为，故所求弦长为【解析】1.113(0)xttCyttttC 已知曲线 的参数方程为，为参数，求曲线 的普通方程22212123360.xttyxttCxy 因为，所以，故曲线 的普通方程为：解析：212()13)3.2(xttytxcosysin 求直线为参数 ，被圆为参数 ，截得的弦长2222122.1239.322222 9-22 7.1232 7.123xtxyytxcosxyysinOdLRdxtxcosytysin 把直线方程化为普通方程为将圆化为普通方程为圆心 到直线的距离，所以弦长以直线被圆，截得的弦长为解析：132()3724()43.xtltytxcosCqysin已知直线 的参数方程为为参数 ，曲线 的参数方程为为参数 222222212121 241621.416216.1322()372168 3360244.xcosxcosysinysinxyxttytxyttABABttttt t 由，得故圆的方程为方法一：把为参数代入解方程，得，所以为：线析段的长 2222132()372340.10,04|4|23122 16-44 3.xttytlxyRldABRd 方法二：由为参数 ，得 的普通方程为由知：圆心的坐标为，圆的半径，所以圆心到直线 的距离，所以4. 已知过点P0(-1 , 2)的直线 l 的参数方程是 (t为参数)，求点P0到直线 l与另一直线 2x -y+1=0 的交点P的距离.1 32 4xtyt 【解析】因为 , 所以此直线的参数方程不是标准式. 令 t= -5t, 将直线的参数方程化为标 准式得 (t为参数)， 将其代入方程 2x -y+1=0, 得 ,223( 4)5 1315425xtyt 342( 1) (2) 1055tt 故得交点P对应的参数 ,所以 .32pt 032pPPt 5.已知直线 l 的参数方程为(t为参数), P是椭圆 上任意一点，求点P到直线 l 的距离的最大值.4 22xtyt 2214xy 【解析】 直线 l 的参数方程为 (t为参 数),故直线 l 的普通方程为 x+2y=0. 因为P为椭圆 上任意一点，故 可设P(2cos , sin)，其中R.4 22xtyt 2214xy 因此，点P到直线 l 的距离是 . 所以，当= ，kZ时，d 取得最大值 .222cos2sin122 2 sin()45d 4k 2 105 1.选取参数时的一般原则是：(1)x , y与参数的关系较明显，并能列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一地确定 x、y 的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数.此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数. 2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x , y); (2)选取适当的参数; (3)找出 x、y 与参数的关系，列出关系式；(4)证明(常常省略). 1212121212012121201212 3.1,|; 2,0; 312 .2.1MptMMlMMtttM MttMM MttM MttMM MtPttM Mt根据直线的参数方程中 的几何意义，有如下常用结论： 若、为 上任意两点，、对应的值分别为 、则若为线段的中点 则有若线段的中点为，则一般地，若点 分线段所成的比为 ，则 4.直线的参数方程的一般式 (t为参数)是过点 M0(x0 , y0) 斜率为 的直线的参数方程. 当且仅当 a2+b2=1 且 b0时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义. 将非标准方程 化为标准程00 xxatyybt ab00 xxatyybt 是 (tR), 式中“”号，当a , b 同号时取正；当 a , b 异号时取负.222200axxabbyyab 5.参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于选择的参数不同而不同，而参数的选择又是由具体的问题来决定的.
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