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第第3课时圆的方程课时圆的方程第七章平面解析几何第七章平面解析几何教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1.圆的定义圆的定义(1)在平面内在平面内,到到_的距离等于的距离等于_的点的集合叫做圆的点的集合叫做圆.(2)确定一个圆的要素是确定一个圆的要素是_和和_.定点定点定长定长圆心圆心半径半径2.圆的方程圆的方程圆的标准方程圆的标准方程圆的一般方程圆的一般方程方程方程_圆心圆心坐标坐标(a,b)_半径半径r_(xa)2(yb)2r2(r0)x2y2DxEyF0(D2E24F0)思考探究思考探究方程方程x2y2DxEyF0表示圆的表示圆的充要条件是什么充要条件是什么?提示：提示：充要条件是充要条件是D2E24F0.课前热身课前热身1.已知圆的圆心为已知圆的圆心为P(2,3)并且与并且与y轴轴相切相切,则该圆的方程是则该圆的方程是()A.(x2)2(y3)24B.(x2)2(y3)24C.(x2)2(y3)29 D.(x2)2(y3)29答案：答案：B2.若方程若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆表示圆,则则a等于等于()A.1 B.2C.1或或2 D.1答案：答案：A4.(2010高考上海卷高考上海卷)圆圆C：x2y22x4y40的圆心到直线的圆心到直线3x4y40的距离的距离d_.答案：答案：35.(教材改编教材改编)以直线以直线3x4y120夹夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是是_.答案：答案：x2y24x3y0考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1求圆的方程求圆的方程(1)确定圆的方程的主要方法是待定系确定圆的方程的主要方法是待定系数法数法.如果选择标准方程如果选择标准方程,即列出关于即列出关于a、b、r的方程组的方程组,求求a、b、r或直接求出圆或直接求出圆心心(a,b)和半径和半径r.(2)如果已知条件中圆心的位置不能确如果已知条件中圆心的位置不能确定定,则选择圆的一般方程则选择圆的一般方程.圆的一般方程圆的一般方程也含有三个独立的参数也含有三个独立的参数,因此因此,必须具备必须具备三个独立的条件三个独立的条件,才能确定圆的一般方才能确定圆的一般方程程,其方法仍采用待定系数法其方法仍采用待定系数法.例例1【思路分析思路分析】(1)(2)涉及圆心与半径涉及圆心与半径,设圆的标准方程求解比较简单设圆的标准方程求解比较简单,(3)用一用一般方程求解比较简单般方程求解比较简单.【规律方法规律方法】求圆的方程的一般步骤求圆的方程的一般步骤为：为：根据题意选用圆的方程两种形式根据题意选用圆的方程两种形式中的一种中的一种;根据所给条件根据所给条件,列出关于列出关于D、E、F或或a、b、r的方程组的方程组;解方程组解方程组,求出求出D、E、F或或a、b、r的值的值,并把它们并把它们代入所设的代入所设的方方程中程中,得得到到所所求求的的圆圆的的方方程程. 已知实数已知实数x、y满足满足(x1)2y24,求求x2y的最小值与最大值的最小值与最大值.【思路分析思路分析】设设zx2y,依题意直依题意直线线x2yz0与圆与圆(x1)2y24有有交点交点,有交点的主要条件为圆心到该直有交点的主要条件为圆心到该直线的距离不大于圆的半径线的距离不大于圆的半径,从而构建关从而构建关于于z的不等式的不等式,即可求解即可求解x2y的最大值的最大值和最小值和最小值.例例2互动探究互动探究考点考点3与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题求轨迹方程的大致步骤：求轨迹方程的大致步骤：(1)建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,设出动点坐标设出动点坐标;(2)确定动点满足的几何等式确定动点满足的几何等式,并用坐标并用坐标表示表示;(3)化简得方程化简得方程,一般情况下一般情况下,化简前后方化简前后方程的解集是相同的程的解集是相同的,如有特殊情况如有特殊情况,可适可适当予以说明当予以说明,即删去增加的解或补上失即删去增加的解或补上失去的解去的解. 等腰三角形的顶点是等腰三角形的顶点是A(4,2),底边底边一个端点是一个端点是B(3,5),求另一个端点求另一个端点C的轨的轨迹方程迹方程,并说明它的轨迹是什么并说明它的轨迹是什么.【思路分析思路分析】设出设出C点的坐标点的坐标(x,y),根根据据|AB|AC|列方程化简整理列方程化简整理,即可得即可得点点C的轨迹方程的轨迹方程,然后由轨迹方程指明轨然后由轨迹方程指明轨迹迹.例例3【名师点评名师点评】求与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题时时,根据题设条件的不同常采用以下方根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法法：直接法,直接根据题目提供的条件直接根据题目提供的条件列出方程列出方程;定义法定义法,根据圆、直线等定义根据圆、直线等定义列方程列方程;几何法几何法,利用圆与圆的几何性质利用圆与圆的几何性质列方程列方程;代入法代入法,找到要求点与已知点的找到要求点与已知点的关系关系,代入已知点满足的关系式等代入已知点满足的关系式等.方法技巧方法技巧1.利用圆的几何特征求方程利用圆的几何特征求方程,必须满足圆必须满足圆心坐标和半径易于求出这一条心坐标和半径易于求出这一条.2.利用待定系数法确定圆的方程需要三利用待定系数法确定圆的方程需要三个独立条件个独立条件,“选标准选标准,定参数定参数”是解题的是解题的基本方法基本方法.其中其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆的方选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式程的形式,进而确定其中三个参数进而确定其中三个参数.一般一般来讲来讲,条件涉及到圆上的点多条件涉及到圆上的点多,可选择一可选择一般方程般方程,条件涉及半径及圆心条件涉及半径及圆心,通常选择通常选择标准方程标准方程.失误防范失误防范2.求轨迹与求轨迹方程是不同的求轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹求轨迹方程得出方程即可方程得出方程即可,而求轨迹时而求轨迹时,在得出在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图方程后还要指出方程的曲线是什么图形形.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,求圆的方程求圆的方程,已知圆的方程求圆心坐标、半径等是已知圆的方程求圆心坐标、半径等是高考的热点高考的热点,题型既有选择题、填空题题型既有选择题、填空题,又有解答题又有解答题.客观题突出客观题突出“小而巧小而巧”,主要考查圆的标准方程、一般方程主要考查圆的标准方程、一般方程;主主观题往往在知识交汇点处命题观题往往在知识交汇点处命题,除考查除考查圆的标准方程、一般方程外圆的标准方程、一般方程外,还考查待还考查待定系数法、方程思想等定系数法、方程思想等.预测预测2013年高考仍将以求圆的方程为年高考仍将以求圆的方程为主要考查点主要考查点,重点考查学生的运算能力重点考查学生的运算能力以及逻辑推理能力以及逻辑推理能力.典例透析典例透析 例例【答案】【答案】(x3)2y24【名师点评名师点评】本题和课本中很多练习本题和课本中很多练习题相类似题相类似,考查了圆的性质和圆的方程考查了圆的性质和圆的方程求解求解,试想若圆心在试想若圆心在y轴上轴上,如何求圆的如何求圆的方程方程.
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