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第一讲第一讲 排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理1两个计数原理两个计数原理(1)分类加法计数原理分类加法计数原理完成一件事有完成一件事有n类不同方案，在第类不同方案，在第1类方案中有类方案中有m1种不同的方种不同的方法，在第法，在第2类方案中有类方案中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类方案中类方案中有有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法种不同的方法(2)分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事需要分成完成一件事需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有N 种不同方法种不同方法mnm1m2mnm1m2n(n1)(nm1) 2Cnn12Cnn12Cnn2n 2n1 1(2011陕西陕西)(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是展开式中的常数项是A20B15C15 D20答案C2(2011重庆重庆)(13x)n(其中其中nN且且n6) 的展开式中的展开式中x5与与x6的系数相等，则的系数相等，则nA6 B7C8 D9答案答案B3(2011大纲全国卷大纲全国卷)4位同学每人从甲、乙、丙位同学每人从甲、乙、丙3门课程中门课程中选修选修1门，则恰有门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有人选修课程甲的不同选法共有A12种种 B24种种C30种种 D36种种答案答案B答案答案C5(2011大纲全国卷大纲全国卷)某同学有同样的画册某同学有同样的画册2本，同样的集邮本，同样的集邮册册3本，从中取出本，从中取出4本赠送给本赠送给4位朋友，每位朋友位朋友，每位朋友1本，则不同本，则不同的赠送方法共有的赠送方法共有A4种种 B10种种C18种种 D20种种答案答案B排列与组合是求解古典概型的概率的基础，另外，在排列与排列与组合是求解古典概型的概率的基础，另外，在排列与组合的相关问题中又蕴含着分类讨论、转化与化归等重要的组合的相关问题中又蕴含着分类讨论、转化与化归等重要的思想方法，因此，它是高考的重点，若单独命题，则为选择思想方法，因此，它是高考的重点，若单独命题，则为选择题或填空题，当与概率相结合时，也可能以解答题的形式出题或填空题，当与概率相结合时，也可能以解答题的形式出现对二项式定理的考查主要包括求展开式中的特定项或其现对二项式定理的考查主要包括求展开式中的特定项或其系数，二项式系数等问题，在复习时要注意分类型归纳整理、系数，二项式系数等问题，在复习时要注意分类型归纳整理、理解掌握理解掌握 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田田”字型的字型的4个小方个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？【解题切点解题切点】颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法再考虑其相邻的两个小方格的涂法利用分类加法和分步乘法计数原理计数利用分类加法和分步乘法计数原理计数【解析】【解析】如图所示，将如图所示，将4个小方格依次编号为个小方格依次编号为1,2,3,4，第，第1个小方格可以从个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的种不同的涂法涂法当第当第2、第、第3个小方格涂不同颜色时，有个小方格涂不同颜色时，有A12种不同的涂种不同的涂法，第法，第4个小方格有个小方格有3种不同的涂法由分步计数原理可知，种不同的涂法由分步计数原理可知，有有5123180种不同的涂法；种不同的涂法；当第当第2个、第个、第3个小方格涂相同颜色时，有个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有个小方格也有4种不同的涂法，种不同的涂法，由分步计数原理可知，有由分步计数原理可知，有54480种不同涂法种不同涂法由分类加法计数原理可得，共有由分类加法计数原理可得，共有18080260种不同的涂种不同的涂法法1涂色问题没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情涂色问题没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个原理与排列组合的知识灵活处理，其难点是对况，结合两个原理与排列组合的知识灵活处理，其难点是对相邻区域颜色不同的处理，解决的方法往往要采用分类讨论相邻区域颜色不同的处理，解决的方法往往要采用分类讨论的方法，根据两个原理计算的方法，根据两个原理计算在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重复使用时，要充分利用两个基本原理分析解决问题复使用时，要充分利用两个基本原理分析解决问题1(2011山东临沂市联考山东临沂市联考)霓虹灯的一个部位由霓虹灯的一个部位由7个小灯泡组个小灯泡组成，如图所示，每一个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计成，如图所示，每一个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共可以呈现亮，则一共可以呈现_种不同的变换形式种不同的变换形式(用数字作用数字作答答)答案答案80(2011湖北湖北)给给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当个自上而下相连的正方形着黑色或白色当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：着色方案如图所示：排列组合计数问题排列组合计数问题由此推断，当由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种种(结果用数值表示结果用数值表示)【解题切点解题切点】以黑色正方形的个数为分类标准讨论，利用以黑色正方形的个数为分类标准讨论，利用加法计数原理计算第加法计数原理计算第(2)问还可使用间接法求解问还可使用间接法求解【答案】【答案】21；43解排列组合综合应用题要从解排列组合综合应用题要从“分析分析”、“分辨分辨”、“分类分类”、“分步分步”的角度入手的角度入手“分析分析”就是找出题目的条件、结就是找出题目的条件、结论哪些是论哪些是“元素元素”，哪些是，哪些是“位置位置”；“分辨分辨”就是辨别就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；然后逐类解决；“分步分步”就是把问题化成几个互相联系的步就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决22010年上海世博会中，甲、乙等五名志愿者被分配到中年上海世博会中，甲、乙等五名志愿者被分配到中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆的四个不同的岗位服国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆的四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有一个岗位工作的分法共有_种种(用数字作答用数字作答)答案答案72二项式定理二项式定理【答案】【答案】(1)24(2)B五招制胜，解决二项式问题五招制胜，解决二项式问题二项式定理是一个恒等式，应对二项式定理问题主要有五种二项式定理是一个恒等式，应对二项式定理问题主要有五种方法：方法：(1)特定项问题通项公式法；特定项问题通项公式法；(2)系数和与差型问题赋值法；系数和与差型问题赋值法；(3)近似问题截项法；近似问题截项法；(4)整除整除(或余数或余数)问题展开法；问题展开法；(5)最值最值问题不等式法问题不等式法在二项式定理问题中，常见的误区有：在二项式定理问题中，常见的误区有：(1)二项展开式的通项二项展开式的通项Tk1中，项数与中，项数与k的关系搞不清；的关系搞不清；(2)二项式系数与各项的系数混淆不清；二项式系数与各项的系数混淆不清；(3)在展开二项式在展开二项式(ab)n或求特定项时，忽略中间的或求特定项时，忽略中间的“”号号答案答案2
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