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第一节 函数及其表示 三年三年9 9考考 高考指数高考指数: :1.1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域, ,了了解映射的概念；解映射的概念；2.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3.3.了解简单的分段函数，并能简单的应用了解简单的分段函数，并能简单的应用. . 1.1.函数的概念、定义域及其表示函数的概念、定义域及其表示( (特别是分段函数特别是分段函数) )是近几年高是近几年高考命题的热点考命题的热点. .2.2.常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题定义问题. .3.3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题题型主要以选择、填空题为主，属中低档题. . 1.1.函数与映射的概念函数与映射的概念 函数函数映射映射定定义义 建立在两个非空建立在两个非空_A A到到B B上上的一种确定的对应关系的一种确定的对应关系f f，其，其要求：集合要求：集合A A中的中的_一个一个数数x x，在集合，在集合B B中都有中都有_的数的数_和它对应和它对应 建立在两个非空建立在两个非空_A_A到到B B上的一种确定的对上的一种确定的对应关系应关系f f，其要求，其要求: :集合集合A A中的中的_一个元一个元素素x x，在集合，在集合B B中都有中都有_的的_与之与之对应对应 数集数集任意任意唯一确唯一确f(xf(x) )定定集合集合任意任意唯唯一确定一确定元素元素y y记记法法y=f(x),xy=f(x),xA Af:Af:AB B 【即时应用【即时应用】(1)(1)判断下列对应关系判断下列对应关系f f是否是从是否是从A A到到B B的函数的函数.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”) )A=RA=R，B=x|xB=x|x0,f:x|x|;( )0,f:x|x|;( )A=RA=R，B=RB=R，f:xxf:xx2 2;( );( )A=Z,B=RA=Z,B=R，f:f: ；( )( )A=ZA=Z，B=ZB=Z，f:xxf:xx2 2-3. ( )-3. ( )xx(2)(2)设设A=0,1,2,4A=0,1,2,4，B= ,0,1,2,6,8B= ,0,1,2,6,8，判断下列对应关系是，判断下列对应关系是否是否是A A到到B B的映射的映射.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”) )f:xxf:xx3 3-1 ( ) -1 ( ) f:x(x-1)f:x(x-1)2 2( )( )f:x2f:x2x-1x-1( ) ( ) f:x2x( )f:x2x( )【解析【解析】(1)(1)否，因为否，因为A A中的元素中的元素0 0在在B B中没有对应元素中没有对应元素; ;否，因为否，因为A A中的元素为负数时在中的元素为负数时在B B中没有对应元素中没有对应元素; ;是，满足函数的定义，是从是，满足函数的定义，是从A A到到B B的函数的函数. . 12(2)(2)不是，当不是，当A A中的中的x=0 x=0，2 2，4 4时在时在B B中没有对应元素；中没有对应元素；不是，当不是，当A A中的中的x=4x=4时在时在B B中没有对应元素；中没有对应元素；是，满足映射的定义，是从是，满足映射的定义，是从A A到到B B的映射；的映射；不是，当不是，当A A中的中的x=2x=2时在时在B B中没有对应元素中没有对应元素. .答案：答案：(1)(1)否否 是是 否否 是是(2)(2)否否 否否 是是 否否 2.2.函数的构成要素函数的构成要素函数由函数由_、_、_三个要素构成，对函数三个要素构成，对函数y=f(x),xAy=f(x),xA，其中，其中，(1)(1)定义域定义域: :自变量自变量x x的的_._.(2)(2)值域：函数值的集合值域：函数值的集合_._.定义域定义域值域值域对应关系对应关系取值范围取值范围A Af(x)|xAf(x)|xA 【即时应用【即时应用】(1)(1)判断下列各组函数中，是否是同一函数判断下列各组函数中，是否是同一函数.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”) )f(xf(x)=x)=x与与g(xg(x)= ( )= ( )f(xf(x)=|x|)=|x|与与g(xg(x)= ( )= ( )f(x)=x|xf(x)=x|x| |与与g(xg(x)= ( )= ( )f(xf(x)= )= 与与g(tg(t)=t+1(t1)( )=t+1(t1)( )2( x)33x22xx0 xx02x1x1(2)(2)函数函数y=xy=x2 2-2x-2x的定义域为的定义域为0,1,2,30,1,2,3，那么其值域为，那么其值域为_._.(3)(3)设集合设集合A= ,A= ,集合集合B=y|yB=y|y=x=x2 2,xR,xR,则则AB=_.AB=_.x | yx2【解析【解析】(1)(1)否，函数否，函数f(xf(x) )与与g(xg(x) )的定义域不同；的定义域不同；否，函数否，函数f(xf(x) )与与g(xg(x) )的对应关系不同；的对应关系不同；否，函数否，函数f(xf(x) )与与g(xg(x) )的定义域不同；的定义域不同；是，函数是，函数f(xf(x)= =x+1(x1)= =x+1(x1)与与g(tg(t)=t+1(t1)=t+1(t1)是同一函是同一函数数. .2x1x1(2)(2)当当x x取取0,1,2,30,1,2,3时，对应的函数时，对应的函数y y的值依次为的值依次为0,-1,0,3,0,-1,0,3,所以其值域为所以其值域为-1,0,3.-1,0,3.(3)(3)已知已知A=x|x-20=x|x2,B=y|y0,A=x|x-20=x|x2,B=y|y0,AB=x|x2.AB=x|x2.答案答案: :(1)(1)否否 否否 否否 是是(2)-1,0,3 (3)x|x2(2)-1,0,3 (3)x|x23.3.函数的表示方法函数的表示方法表示函数的常用方法有：表示函数的常用方法有：_，_和和_._.解析法解析法列表法列表法图象法图象法【即时应用【即时应用】 (1)(1)下列四个图象是函数下列四个图象是函数f(xf(x)= )= 的图象的是的图象的是_._.| x |xx(2)(2)若若 ，则，则f(xf(x) )的解析式为的解析式为_._.【解析【解析】(1) (1) 正确正确. .(2)(2)方法一：令方法一：令t= t= ，则，则x=(t-1)x=(t-1)2 2,t1,t1，代入原式有，代入原式有f(tf(t)=(t-1)=(t-1)2 2+2(t-1)=t+2(t-1)=t2 2-1,-1,f(xf(x)=x)=x2 2-1(x1).-1(x1).f( x1)x2 xx1,x0f(x)x1,x0，x1方法二：方法二：x+ =( +1)x+ =( +1)2 2-1,-1,又又 +11,+11,f(xf(x)=x)=x2 2-1(x1).-1(x1).答案：答案：(1)(1)(2)f(x)=x(2)f(x)=x2 2-1(x1)-1(x1)2 xx2f( x1)( x1)1.x4.4.分段函数分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. .对应关系对应关系【即时应用【即时应用】(1)(1)已知函数已知函数f(xf(x)= )= 则则 =_.=_.(2)(2)设设f(xf(x)= )= 若若f(xf(x)=3)=3，则，则x=_.x=_.x1,x1x3,x1 ，5f(f( )22x2,x1x , 1x2 ,2x,x2 【解析【解析】(2)(2)当当x-1x-1时，时，-x+2=3-x+2=3，得，得x=-1x=-1，符合要求；，符合要求；当当-1-1x x2 2时，时，x x2 2=3=3，得，得x= x= ，只有，只有 符合要求；符合要求；当当x2x2时，时，2x=3,2x=3,得得x= ,x= ,不符合要求不符合要求. .综上可知，综上可知，x=-1x=-1或或答案：答案：(1) (2)-1(1) (2)-1或或 551(1)f( )3,222 5113f(f( )f( )1.2222 33323.323 求简单函数的定义域、值域求简单函数的定义域、值域【方法点睛【方法点睛】1.1.简单函数定义域的类型及求法简单函数定义域的类型及求法(1)(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式( (组组) )求解求解. .(2)(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式( (组组) )求解求解. .(3)(3)对抽象函数：对抽象函数：若已知函数若已知函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为a,ba,b，则，则f(g(xf(g(x)的定义域由的定义域由不等式不等式ag(x)bag(x)b求出求出. .若已知函数若已知函数f(g(xf(g(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，则，则f(xf(x) )的定义域为的定义域为g(xg(x) )在在xxa,ba,b时的值域时的值域. .2.2.求简单函数值域的方法求简单函数值域的方法(1)(1)观察法；观察法；(2)(2)图象观察法；图象观察法；(3)(3)单调性法；单调性法；(4)(4)分离常数法；分离常数法； (5)(5)均值不等式法；均值不等式法；(6)(6)换元法换元法. .【例【例1 1】(1)(2012(1)(2012揭阳模拟揭阳模拟) )函数函数f(xf(x) = ) = 的定义域为的定义域为_._.(2)(2)已知函数已知函数f(2f(2x x) )的定义域是的定义域是-1,1-1,1，求，求f(xf(x) )的定义域；的定义域；(3)(3)求下列函数的值域求下列函数的值域. .y=xy=x2 2+2x,x+2x,x0,30,3, ,y=logy=log3 3x+logx+logx x3-1,3-1,xln(x2)2x1y2.【解题指南【解题指南】(1)(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可；求解即可；(2)(2)要明确要明确2 2x x与与f(xf(x) )中中x x的含义，从而构建不等式求解的含义，从而构建不等式求解; ;(3)(3)根据解析式的特点，分别选用根据解析式的特点，分别选用图象观察法；图象观察法；均值不等式均值不等式法；法；单调性法求值域单调性法求值域. .【规范解答【规范解答】(1)(1)要使函数有意义，需要要使函数有意义，需要即即x x2 2且且x3,x3,函数的定义域为函数的定义域为x|2x|2x x3 3或或x x3.3.答案答案: :x|2x|2x x3 3或或x x33(2)f(2(2)f(2x x) )的定义域为的定义域为-1-1，1 1，即，即-1x1,-1x1, 2 2x x22，故，故f(xf(x) )的定义域为的定义域为 ,2,2. .ln(x2)0,x2 01212(3)(3)y=(x+1)y=(x+1)2 2-1-1在在0,30,3上的图象如图所示上的图象如图所示, ,8 816161414121210102 24 46 6yxo-4-4-2-22 21 13 3 4 4 5 5 6 6-1-1-3-3-2-2由图象知：由图象知：0y30y32 2+2+23=15,3=15,所以函数所以函数y=xy=x2 2+2x+2x，xx0,30,3的值域为的值域为0,150,15. .y=logy=log3 3x+ x+ ，定义域为，定义域为(0,1)(1,+)(0,1)(1,+)，当当0 0 x x1 1时，时，当当x x1 1时，时，综上可知，其值域为综上可知，其值域为(-,-3(-,-31,+).1,+).311log x331y2 ( log x) ()13,log x 331y2 log x11,log x 因为因为x x2 2-1-1-1-1，又，又y=2y=2x x在在R R上为增函数上为增函数, ,y= y= 故值域为故值域为 ,+).,+).2x11122.212【互动探究【互动探究】若本例若本例(2)(2)中条件不变，求中条件不变，求f(logf(log2 2x)x)的定义域的定义域. .【解析【解析】由本例由本例( () )中知中知f(xf(x) )的定义域为的定义域为 ,2,2, ,函数函数y=f(logy=f(log2 2x)x)中，中， loglog2 2x2,x2,即：即：故函数故函数f(logf(log2 2x)x)的定义域为的定义域为1212222log2log xlog 4,2x4,2,4 .【反思【反思 感悟感悟】1.1.由解析式求函数的定义域，其实质就是以函由解析式求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式数解析式有意义为准则，列出不等式( (组组) )，从而求解，从而求解. .2.f(g(x)2.f(g(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，指的是，指的是x x的取值范围是的取值范围是a,ba,b 而而不是不是g(xg(x) )的取值范围是的取值范围是a,ba,b. .3.3.求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足用基本不等式的条能判断单调性则用单调性法求解；若能满足用基本不等式的条件，则用基本不等式求解件，则用基本不等式求解. .【变式备选【变式备选】若函数若函数f(xf(x)= )= 的定义域为的定义域为R R，则，则a a的取值的取值范围为范围为_._.【解析【解析】因为函数因为函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为R R，即，即 0,0,对对xRxR恒成立，亦即恒成立，亦即x x2 2+2ax-a0+2ax-a0对对xRxR恒成立恒成立, ,需需=(2a)=(2a)2 2-4-4 (-a)=4a(-a)=4a2 2+4a0+4a0即可即可, ,解得解得:-1a0.:-1a0.答案：答案：a|-1a0a|-1a02x2ax a212x2ax a21 分段函数及其应用分段函数及其应用【方法点睛【方法点睛】确定与应用分段函数的一般步骤确定与应用分段函数的一般步骤首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论确定时，要分类讨论. .【提醒【提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. .【例【例2 2】(1)(2012(1)(2012北京模拟北京模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=则则f(x)-f(-xf(x)-f(-x) )-1-1的解集为的解集为( )( )(A)(-,-1)(1,+)(A)(-,-1)(1,+)(B)(B)-1, )(0,1-1, )(0,1(C)(-,0)(1,+)(C)(-,0)(1,+)(D)(D)-1, -1, (0,1)(0,1)x1( 1x0)x1(0 x1) ，1212(2)(2)已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式组成，求函数的解析式. .【解题指南【解题指南】(1)(1)根据每一段的解析式分类求解，再求其并集根据每一段的解析式分类求解，再求其并集. .(2)(2)已知图象形状，求解析式，可用待定系数法已知图象形状，求解析式，可用待定系数法. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.当当-1x-1x0 0时，时，0 0-x1-x1，此时此时f(xf(x)=-x-1)=-x-1，f(-xf(-x)=-(-x)+1=x+1,)=-(-x)+1=x+1,f(x)-f(-xf(x)-f(-x) )-1-1化为化为-2x-2-2x-2-1-1，得得x x ，则，则-1x-1x . .1212当当0 0 x1x1时，时，-1-x-1-x0 0，此时，此时，f(xf(x)=-x+1)=-x+1，f(-xf(-x)=-(-x)-1=x-1,)=-(-x)-1=x-1,f(x)-f(-xf(x)-f(-x) )-1-1化为化为-x+1-(x-1)-x+1-(x-1)-1,-1,解得解得x x ，则，则0 0 x1.x1.故所求不等式的解集为故所求不等式的解集为3211,(0,1 .2(2)(2)根据图象，设左侧的射线对应的解析式为根据图象，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+by=kx+b (x1). (x1).点点(1,1),(0,2)(1,1),(0,2)在射线上在射线上, ,左侧射线对应函数的解析式为左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1);y=-x+2(x1);同理同理,x3,x3时，函数的解析式为时，函数的解析式为y=x-2(x3).y=x-2(x3).kb1k1,.b2b2 解得再设抛物线对应的二次函数解析式为再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+2(1x3,a+2(1x3,a0)0)，点点(1,1)(1,1)在抛物线上，在抛物线上，a+2=1,a=-1,a+2=1,a=-1,1x31x3时，函数的解析式为时，函数的解析式为y=-xy=-x2 2+4x-2(1x3),+4x-2(1x3),综上，函数的解析式为综上，函数的解析式为y=y=2x2,x 1x4x2,1x3.x2,x 3 【互动探究【互动探究】本例本例(2)(2)的条件不变，求函数的条件不变，求函数y=f(xy=f(x) )的值域的值域. .【解析【解析】方法一：由函数方法一：由函数y=f(xy=f(x) )的图象可得的图象可得y1y1，所以函数，所以函数y=f(xy=f(x) )的值域为的值域为y|y1.y|y1.方法二：由函数方法二：由函数y=f(xy=f(x) )的解析式可知的解析式可知, ,当当x x1 1时，时，y(1,+),y(1,+),当当1x31x3时，时，yy1,21,2; ;当当x x3 3时，时，y(1,+),y(1,+),所求函数的值域为所求函数的值域为1,+).1,+).【反思【反思 感悟感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大各段值域的并集，最大( (小小) )值是各段最大值是各段最大( (小小) )值中最大值中最大( (小小) )的的值值. . 【变式备选【变式备选】1.(20121.(2012吉林模拟吉林模拟) )设函数设函数f(xf(x)= )= 若若f(-2)f(-2)=f(0),f(-1)=-3=f(0),f(-1)=-3，则关于，则关于x x的方程的方程f(xf(x)=x)=x的解的个数为的解的个数为( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)42xbxc x02x 0，【解析【解析】选选B.B.由已知得由已知得解得解得当当x0 x0时，由时，由f(xf(x)=x)=x得，得，x x2 2+2x-2=x+2x-2=x，得，得x=-2x=-2或或x=1,x=1,又又x0 x0，故，故x=1x=1舍去舍去, ,当当x x0 0时，由时，由f(xf(x)=x)=x得得x=2,x=2,所以方程所以方程f(xf(x)=x)=x有两个解有两个解. .22( 2)2bcc,( 1)bc3 2x2x2,x0b2,f(x),c22,x 0 2.2.甲、乙两地相距甲、乙两地相距150150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时每小时5050千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1 1小时，小时，然后以每小时然后以每小时6060千米的速度返回甲地千米的速度返回甲地. .从货车离开甲地起到货车从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x x小时和小时和y y千米，试写出千米，试写出y y与与x x的函数解析式的函数解析式. .【解析【解析】由题意，可知货车从甲地前往乙地用了由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3 3小时，而从乙小时，而从乙地返回甲地用了地返回甲地用了2.52.5小时小时. .当货车从甲地前往乙地时当货车从甲地前往乙地时, ,由题意，可知由题意，可知y=50 x(0 x3);y=50 x(0 x3);当货车卸货时当货车卸货时,y=150(3,y=150(3x x4)4)；当货车从乙地返回甲地时当货车从乙地返回甲地时, ,由题意，知由题意，知y=150-60(x-4)(4x6.5).y=150-60(x-4)(4x6.5).所以所以y=y=50 x,0 x3150,3 x4.39060 x,4x6.5 求函数值求函数值【方法点睛【方法点睛】求函数值的类型及解法求函数值的类型及解法(1)f(g(x)(1)f(g(x)型：遵循先内后外的原则；型：遵循先内后外的原则；(2)(2)分段函数型：根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分段函数型：根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分类讨论；分类讨论；(3)(3)已知函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求已知函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解；值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解；(4)(4)抽象函数型：对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数关抽象函数型：对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数关系，适当赋值，从而求得待求函数值系，适当赋值，从而求得待求函数值. . 【例【例3 3】已知函数】已知函数f(xf(x) )是定义在实数集是定义在实数集R R上的不恒为零的偶函上的不恒为零的偶函数，且对任意实数数，且对任意实数x x都有都有xf(x+1)=(1+x)f(x),xf(x+1)=(1+x)f(x),求求 的值的值. .【解题指南【解题指南】求解该题，需知道求解该题，需知道f(x),f(x+1)f(x),f(x+1)满足的关系式，将满足的关系式，将f(x+1)f(x+1)用用f(xf(x) )表示，然后再给表示，然后再给x x赋值，先求出赋值，先求出 ，再求，再求 的值的值. .5f(f( )25f(f( )25f( )2【规范解答【规范解答】若若x0 x0，则有，则有取取x=x=则有则有(f(x(f(x) )是偶函数，是偶函数， ).).1xf(x1)f(x)x，1,2111112f( )f(1)f()1222211f()f( ).22 11f()f( )22由此得由此得于是，于是，若若x=0 x=0，则，则0 0f(0+1)=(1+0)f(0)f(0+1)=(1+0)f(0)，有，有f(0)=0,f(0)=0,f(ff(f( )=f(0)=0.( )=f(0)=0.1f( )0,231533532f( )f(1)f( )f( )322232211515112f(1)()f( )5f( )0,132322252【反思【反思感悟感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质，但又不对于这类给出函数所满足的抽象性质，但又不知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的. .【变式训练【变式训练】已知已知f(xf(x)= )= 则则 的值等的值等于于( )( )(A)-2 (B)1 (C)2 (D)3(A)-2 (B)1 (C)2 (D)3【解析【解析】选选D.D.cos xx 0f(x1)1x0，44f( )f()3341f( ),324125f()f()1f( )2,3332 44f( )f()3.33【变式备选【变式备选】设对任意实数设对任意实数x,yx,y均有均有f(x+yf(x+y)=2f(y)+x)=2f(y)+x2 2+2xy-+2xy-y y2 2+3x-3y, +3x-3y, (1)(1)求求f(0)f(0)；(2)(2)求求f(xf(x) )的解析式的解析式. .【解析【解析】(1)(1)令令x=y=0,f(0)=0.x=y=0,f(0)=0.(2)(2)当当x x为任意实数，为任意实数，y=0y=0时时, ,f(xf(x)=2f(0)+x)=2f(0)+x2 2+3x,f(x)=x+3x,f(x)=x2 2+3x.+3x.【创新探究【创新探究】与函数有关的新定义问题与函数有关的新定义问题【典例【典例】(2011(2011广东高考广东高考) )设设f(xf(x) )，g(xg(x) )，h(xh(x) )是是R R上的任意上的任意实值函数，如下定义两个函数实值函数，如下定义两个函数(f g)(x(f g)(x) )和和(f(fg)(xg)(x) )；对任意；对任意xRxR，(f g)(x)=f(g(x(f g)(x)=f(g(x)；(f(fg)(x)=f(x)g(xg)(x)=f(x)g(x).).则下列等式则下列等式恒成立的是恒成立的是( )( )(A)(f(A)(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)(B)(f(B)(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)(C)(f(C)(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)(D)(f(D)(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)【解题指南【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断. .【规范解答【规范解答】选选B.B.根据新函数的定义分析如下表，根据新函数的定义分析如下表，选项选项分分 析析结结 论论A A(f(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fg)(x)h(x)g)(x)h(x)=f(g(x)h(x=f(g(x)h(x););(f(fh)h)( (g gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(gh)(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(g(x)h(x)h)(g(x)h(x)=f(g(x)h(x)h(g(x)h(x);=f(g(x)h(x)h(g(x)h(x);等式等式不恒成立不恒成立 B B(f(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fg)(h(x)g)(h(x)=f(h(x)g(h(x);=f(h(x)g(h(x);(f(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(x)(gh)(x)(gh)(x)h)(x)=f(h(x)g(h(x);=f(h(x)g(h(x);等式等式恒成立恒成立C C(f(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fg)(h(x)g)(h(x)=f(g(h(x);=f(g(h(x);(f(fh)h)( (g gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(gh)(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(g(h(x)h)(g(h(x)=f(h(g(h(x);=f(h(g(h(x);等式等式不恒成立不恒成立D D(f(fg)g)h)(x)=(fh)(x)=(fg)(x)h(x)g)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x);=f(x)g(x)h(x);(f(fh)h)(g(gh)(x)h)(x)=(f=(fh)(x)(gh)(x)(gh)(x)h)(x)=f(x)h(x)g(x)h(x).=f(x)h(x)g(x)h(x). 等式等式不恒成立不恒成立【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：新点拨和备考建议：创创新新点点拨拨本题有以下创新点：本题有以下创新点：(1)(1)本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖. .(2)(2)考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽象函数的理解，需要考生有较强的理解能新定义抽象函数的理解，需要考生有较强的理解能力、推理论证能力和抽象概括能力力、推理论证能力和抽象概括能力. . 备备考考建建议议对于这类与函数有关的新定义、新运算试题，我们对于这类与函数有关的新定义、新运算试题，我们在备考在备考20132013年高考中，要高度关注以下几点：年高考中，要高度关注以下几点：(1)(1)熟练掌握函数有关的概念、运算熟练掌握函数有关的概念、运算; ;(2)(2)强化对该类试题的训练，能正确理解所给的新定强化对该类试题的训练，能正确理解所给的新定义、新运算，会类比函数有关的定义、运算熟练求义、新运算，会类比函数有关的定义、运算熟练求解；解；(3)(3)平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应用平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应用能力及转化与化归的能力能力及转化与化归的能力. . 1.(20111.(2011江西高考江西高考) )若若f(xf(x)= ,)= ,则则f(xf(x) )的定义域的定义域为为( )( )(A)( (A)( ，0) (B)( 0) (B)( ，0 0(C)( (C)( ，+) (D)(0+) (D)(0，+)+)【解析【解析】选选A.A.由题意得由题意得: : 得得 x0.x0.121log (2x1)121212122x10log (2x1)0 122.(20112.(2011北京高考北京高考) )根据统计，一名工人组装第根据统计，一名工人组装第x x件某产品所用件某产品所用的时间的时间( (单位：分钟单位：分钟) )为为f(xf(x)= (A)= (A，c c为常数为常数) )，已知，已知工人组装第工人组装第4 4件产品用时件产品用时3030分钟，组装第分钟，组装第A A件产品用时件产品用时1515分钟，分钟，那么那么c c和和A A的值分别是的值分别是( )( )(A)75(A)75，25 (B)7525 (B)75，1616(C)60(C)60，25 (D)6025 (D)60，1616cxAxcxAA， ，【解析【解析】选选D.D.当当A A4 4时，时，解得解得c=60c=60，A=16;A=16;当当A4A4时，时， 无解无解. .cf(4)302cf(A)15A，cf(4)30Acf(A)15A，3.(20113.(2011江苏高考江苏高考) )已知实数已知实数a0a0，函数，函数f(xf(x)=)=若若f(1-a)=f(1+a)f(1-a)=f(1+a)，则，则a a的值为的值为_._.【解析【解析】当当a a0 0时，时，1-a1-a1,1+a1,1+a1,1,由由f(1-a)=f(1+a)f(1-a)=f(1+a)可得可得2-2-2a+a=-1-a-2a2a+a=-1-a-2a，解得，解得a= a= ，不合题意；，不合题意；当当a a0 0时，时，1-a1-a1,1+a1,1+a1,1,由由f(1-a)=f(1+a)f(1-a)=f(1+a)可得可得-1+a-2a=2+2a+a-1+a-2a=2+2a+a，解得解得a= .a= .答案：答案：2xa,x 1x2a,x1 ，323434
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