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回忆：回忆： 我们学过直角三角形我们学过直角三角形的哪些性质？的哪些性质？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾勾 ，下半部分称为，下半部分称为 股股 。我国古代学者把直角三角形。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为斜边称为“弦弦”. .勾勾股股 相传相传2500年前，毕达哥拉年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种反映了直角三角形三边的某种数量关系数量关系学习目标：学习目标：1、会用数格子的方法求正方形的面积。、会用数格子的方法求正方形的面积。2、在直角三角形中，已知两边能求第三边。、在直角三角形中，已知两边能求第三边。自学指导：自学指导：1、阅读教材、阅读教材48-49页，探索勾股定理的推导页，探索勾股定理的推导过程。过程。2、找出勾股定理的内容？、找出勾股定理的内容？QQP PR R图甲图甲图乙图乙P P的面积的面积QQ的面积的面积R R的面积的面积1 11 12 2S SP P+S+SQ Q=S=SR RC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？P PQQC C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525S SP P+S+SQQ=S=SR R正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？1 11 12 2图甲图甲图乙图乙P P的面积的面积QQ的面积的面积R R的面积的面积R RQQP PR RS SP P+S+SQ Q=S=SR R图甲图甲“割割”“补补” 分别以分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作为直角三角形的直角边作出一个直角三角形出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。验证上述关系对这个直角三角形是否成立。勾股定理(毕达哥拉斯定理)（GOUGU THEOREM） 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为，斜边为c，那么，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.222cbaac勾勾弦弦b股股cab22acb22abcc2=a2 + b2a2=c2 b2b2 =c2 a2bca22结论变形结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； 例例1 1 . .在在RtRtABCABC中，中，=90=90. . (1) (1) 已知：已知：a=6a=6，=8=8，求，求c c； (2) (2) 已知：已知：a=40a=40，c=41c=41，求，求b b； (3) (3) 已知：已知：c=13c=13，b=5b=5，求，求a a； (4) (4) 已知已知: : a:ba:b=3:4, c=15,=3:4, c=15,求求a a、b.b.例题分析例题分析(1)在直角三角形中在直角三角形中,已知两边已知两边,可求第三边可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法方法小结小结例题例题2 : 如图，将长为如图，将长为5.41米的梯子米的梯子AC斜靠在墙上，斜靠在墙上，BC长为长为2.16米，求梯子米，求梯子上端上端A到墙的底端到墙的底端B的距离的距离AB.（精确（精确到到0.01米）米） 解解:在在RtABC中中ABC=90,BC=2.16,CA=5.41,根据勾股定理得根据勾股定理得 4.96（米）（米） 222216. 241. 5BCACAB1、求出下列直角三角形中未知边的长度。6x25248X试一试试一试:5 或或 72、已知：、已知：RtBC中，中，AB，AC,则则BC的长为的长为 .试一试试一试:4 43 3ACB4 43 3CABy=01 1、如图，、如图，受台风麦莎影响，受台风麦莎影响，一棵树在离地面一棵树在离地面4 4米处断裂，米处断裂，树的顶部落在离树跟底部树的顶部落在离树跟底部3 3米处，这棵树折断前有多高？米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活4米米3米米2、如图、如图:是一个长方形零件图是一个长方形零件图,根据所给的尺寸根据所给的尺寸,求两孔中心求两孔中心A、B之间的距离之间的距离ABC409016040y=0应用知识回归生活想一想想一想 小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）的厘米）的电视机电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有只有58厘米长和厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？是为什么吗？课后探索课后探索 做一个长，宽，高分别为做一个长，宽，高分别为50厘米，厘米，40厘米，厘米，30厘米的木箱，一根长为厘米的木箱，一根长为70厘米厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。过的知识说明。 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家多年国家多年 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。勾股定理勾股定理1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；abcc2=a2 + b2在直角三角形中在直角三角形中,已知两边已知两边,求第三边求第三边2.定理的运用定理的运用1 1、课本、课本5555页第页第2 2、3 3题。题。2 2、查阅有关勾股定理的历史资料。、查阅有关勾股定理的历史资料。 3.（选做）（选做） 已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形斜边的长为斜边的长为2cm，求这个三角形，求这个三角形的周长？的周长？如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么这三边a、b、c有什么关系呢？勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么如何证明这个定理呢？问题：问题：学习目标：学习目标： 1.会通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正会通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。确性。 2.能通过实例应用勾股定理。能通过实例应用勾股定理。自学指导：自学指导： 1. 阅读教材阅读教材51-52页，试用两种方法表示大正方页，试用两种方法表示大正方形的面积，得出结论。形的面积，得出结论。 2.注意应将例题中的实际问题转化为数学问题，注意应将例题中的实际问题转化为数学问题，抽象出直角三角形。抽象出直角三角形。勾股定理的证明(一)大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为 。(a+b)22a214cb 22baa214 cb2222ab2babac 222acb 所以所以美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。 有趣的总统证法有趣的总统证法 12S梯形梯形= (a+b)(a+b) = (a2+b2)+ ab12S梯形梯形 = c2 +2 ab = c2+ab 121212即：在即：在RtABC中，中，C=90 c2 = a2 + b2伽菲尔德证伽菲尔德证法法例例1 小丁的妈妈买了一部小丁的妈妈买了一部34英寸英寸（86厘米）的电视机。小丁量了厘米）的电视机。小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和厘米长和50厘米宽，他觉得一厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？是为什么吗？ 我们通常所说的我们通常所说的34英寸英寸或或86厘米的电视机，是指厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度其荧屏对角线的长度售货员没搞错售货员没搞错荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为8686厘米厘米解：解：702+502=7400862=7396例例2 如图所示，为了求出湖两岸的A、B两点间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形通过测量，得到AC的长为160米，BC长为128米问从点A穿过湖到点B有多远？ 答：答： 从点A穿过湖到点B有96米。解解： 在直角三角形ABC中， AC=160米，BC=128米，根据勾股定理可得 22BC-ACAB 22128160 米米96 .如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1的正方形，的正方形，求四边形求四边形ABCD的面积与周长的面积与周长. 53 2132 5EFGH现学现用：现学现用：假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆千米就找到宝藏，问登陆点点A 到宝藏埋藏点到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？的距离是多少千米？AB82361勾股定理勾股定理1、课本第55页4、5题。2、阅读课本55页的阅读材料3、（选做题）九章算术九章算术勾股章第勾股章第6题：今有池方题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长几何？齐问水深、葭长几何？（本题的意思是：有一水池一丈见方，池中生有一棵本题的意思是：有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多长？正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多长？）古埃及人曾用下面的方法得到古埃及人曾用下面的方法得到直角直角按照这种做法真能得到一个按照这种做法真能得到一个直角三角形直角三角形吗？吗？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子把一根绳子分成等长的分成等长的12段段,然后以然后以3个结，个结，4个结，个结，5个结的长度为边长，个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是一个角便是直角直角。1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形。1、按要求作出53页的三角形，并观察是什么三角形。2、阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理。 下面的三组数分别是一个三下面的三组数分别是一个三角形的三边长角形的三边长a，b，c：3，4，4； 2，3，4； 3，4，5（1）这三组数都满足）这三组数都满足222cba 吗？吗？（2）它们都是直角三角形吗？）它们都是直角三角形吗？动手画一画动手画一画 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2互为互为逆定理逆定理勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理设AB是ABC中三边中最长边，则有：AC2+BC2AB2 ACB为锐角BACABCABC 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;是是不是不是 是是 A=900 B=900(3) a=1 b=2 c= _ _ ; 像像25,20,15,能够成为直角三角形能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数.小试牛刀小试牛刀31、请你写出三组勾股数；、请你写出三组勾股数；2、一组勾股数的整数倍一定是勾股数吗？、一组勾股数的整数倍一定是勾股数吗？为什么？为什么？挑战自我挑战自我例例2 设三角形设三角形ABC分别满足下列条件分别满足下列条件,试试判断各三角形是否是直角三角形判断各三角形是否是直角三角形:(1) : :5:12:13 (2):2:3:5a b cABC 提示：三角形的内角和等于提示：三角形的内角和等于1800B: :9:12:15,( )a b ca b c1、三角形三边长 、 满足条件则此三角形是A、锐角三角形、锐角三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、钝角三角形、钝角三角形 D、等边三角形、等边三角形ABCD13ABCD34512例例3 一个零件的形状如左图所示，按规定这一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中个零件中A和和DBC都应为直角。工人师都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？零件符合要求吗？ 思考思考:此时四边形此时四边形ABCD的面积是多少的面积是多少?解释解释“古埃及人画直角古埃及人画直角”的理论根据的理论根据.练一练练一练 AC2 +BC2= 3a 2+ 4a 2=25a2 AB2= 5a 2=25a2 AC2 +BC2=AB2从而 ACB=90 ACB解：如图，设每两个结的距离为解：如图，设每两个结的距离为a（a0），），则则AC=3a，BC=4a，AB=5a.1.教科书教科书54页，习题页，习题14.1 第第6题题2.（选做题）已知（选做题）已知ABC的三边分别为的三边分别为a,b,c，且且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(mn,m、n是是正整数正整数)， ABC是直角三角形吗？说明理由。是直角三角形吗？说明理由。作业：作业：提示：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。1.能利用勾股定理和勾股定理逆定理解决能利用勾股定理和勾股定理逆定理解决简单的实际问题；简单的实际问题；2.在学习的过程中注意理论与实际问题的在学习的过程中注意理论与实际问题的联系；联系；3.通过学习提高同学们的空间想象能力通过学习提高同学们的空间想象能力.AB一圆柱体的底面周长为一圆柱体的底面周长为20cm,高高AB为为4cm,BC是上底面的直径是上底面的直径.一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱出发，沿着圆柱的侧面爬行到点的侧面爬行到点C，试求出爬行，试求出爬行的最短路程的最短路程. (精确到精确到0.01cm) CD1.1.了解下面题目，再自学课本了解下面题目，再自学课本 第第5757页例页例1 1；2.2.重点了解怎样利用课本重点了解怎样利用课本知识解决实际问题知识解决实际问题. .我怎么走我怎么走会最近呢会最近呢?拓展拓展1 如果圆柱换成如图的棱长为如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？程又是多少呢？ABAB101010BCA拓展拓展2 如果盒子换成如图长为如果盒子换成如图长为3cm，宽为，宽为2cm，高为，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB分析：蚂蚁由分析：蚂蚁由A爬到爬到B过程中较短的路线有多少过程中较短的路线有多少种情况？种情况？(1)经过前面和上底面经过前面和上底面;(2)经过前面和右面经过前面和右面;(3)经过左面和上底面经过左面和上底面.AB23AB1C321BCA321BCA (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为短路程为2233 18解解:AB23AB1C22BCAC AB (2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为程为22BCAC 2215 26AB321BCAAB (3)当蚂蚁经过当蚂蚁经过左面和上底面左面和上底面时，如图，最短时，如图，最短路程为路程为AB22BCAC 2224 20262018cm2318即最短路程为AB321BCA 如图如图, ,从电杆离地面从电杆离地面5 5米处向地面拉一条长米处向地面拉一条长7 7米的米的钢缆，求地面钢缆固定点钢缆，求地面钢缆固定点A A到电杆底部到电杆底部B B的距的距离离. .C解：如图，在解：如图，在Rt中，中，AC=7米，米，BC=5米，米，24572222 BCACAB答：地面钢缆固定点答：地面钢缆固定点A到电杆底部到电杆底部B的距离是的距离是 米米.（米）（米）24由勾股定理，得由勾股定理，得帮一帮工人帮一帮工人如图所示，一农民要靠墙修一个种植蔬菜如图所示，一农民要靠墙修一个种植蔬菜的大棚，棚宽的大棚，棚宽a=6m，高，高b=2.5m，长，长d=12m，则修盖在顶上的塑料薄膜需要的，则修盖在顶上的塑料薄膜需要的面积为多少面积为多少?abcd帮一帮农民帮一帮农民一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知云米处，升起云梯到失火的窗口，已知云梯长梯长15米，云梯底部距地面米，云梯底部距地面2.2米，则发生米，则发生火灾的窗口距地面有多少米火灾的窗口距地面有多少米?ABCED帮一帮消防员帮一帮消防员 如图所示，校园内有两棵树，距离如图所示，校园内有两棵树，距离12米，米，一棵树高一棵树高8米，另一棵树高米，另一棵树高13米，一只小米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？小鸟至少要飞多少米？ 13m12m8mABCDE帮一帮小鸟帮一帮小鸟2.2.在运用勾股定理时，我们必须首先明在运用勾股定理时，我们必须首先明确哪两条边是直角边，哪一条是斜边确哪两条边是直角边，哪一条是斜边. .1. 1.运用勾股定理解决实际问题运用勾股定理解决实际问题, ,关键在于关键在于“找找”到到合适合适的直角三角形的直角三角形. . 3.3.数学来源与生活，同时又服务于我们数学来源与生活，同时又服务于我们的生活的生活. .数学就在我们的身边，我们要能数学就在我们的身边，我们要能够学以致用够学以致用. .小小 结结1.能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题；际问题；2.通过学习提高同学们的逻辑推理能力通过学习提高同学们的逻辑推理能力. 阅读教材阅读教材59页，注意理解例题中的逻辑页，注意理解例题中的逻辑推理过程。推理过程。例例1 如右图，已知CDm， ADm， ADC， BCm， m求图中阴影部分的面积解：在解：在RtADC中，中， 10086CDADAC22222 10AC 22222AB6762410BCAC ACB为直角三角形（如果三角形的三边长为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系：有关系： a2b2c2，那么这个三角形是直角，那么这个三角形是直角三角形），三角形），8621-241021 )96(m2 ACDACBS-S 阴阴影影部部分分S例例2 葭生池中葭生池中 今有方池一丈，今有方池一丈， 葭生其中央，葭生其中央， 出水一尺，出水一尺， 引葭赴岸，引葭赴岸， 适与岸齐。适与岸齐。问：问：水深、葭长水深、葭长各几何？各几何？ 解：解：可设葭长为可设葭长为x x尺，尺， 则水深为则水深为( (x-1)x-1)尺尺则有则有: (x-1)2+52=x2解得：解得： x=13所以：所以：葭长葭长1313尺，水深尺，水深1212尺。尺。5尺水水池池1尺X-1 尺X尺尺试一试试一试: 1.一架一架飞机在天空中水平飞行飞机在天空中水平飞行,某一时刻正好某一时刻正好飞到一个男孩头顶正上方飞到一个男孩头顶正上方3000米处米处,过了过了20秒秒,飞飞机距离这个男孩头顶机距离这个男孩头顶5000米，试求这架飞机的米，试求这架飞机的飞行速度飞行速度?20秒秒3000米米5000米米ABC 2.一艘轮船以一艘轮船以20海里海里/小时的速度离开港口小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，小时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船相距多远？小时后两船相距多远？甲甲(A)西西东东北北南南O乙乙(B)3、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某某日早晨日早晨8:00甲先出发甲先出发,他以他以6千米千米/小时的速小时的速度向东行走度向东行走,1小时后乙出发小时后乙出发,他以他以5千米千米/小小时的速度向北行进时的速度向北行进,上午上午10:00,甲、乙二人甲、乙二人相距多远相距多远?东东北北甲甲乙乙就到这里吧，就到这里吧，就到这里了！就到这里了！
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