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3.2 3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算3.2.1 3.2.1 复数代数形式的加、减复数代数形式的加、减 运算及其几何意义运算及其几何意义复习巩固复习巩固 1.1.复数的代数形式是什么？在什么复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数条件下，复数z z为实数、虚数、纯虚数？为实数、虚数、纯虚数？ 代数形式：代数形式：z zabi i（a，bRR）. .当当b b0 0时时z z为实数；为实数；当当b b00时，时，z z为虚数；为虚数；当当a0 0且且b b00时，时，z z为纯虚数为纯虚数. . 2.2.复数复数z zabi i（a，bRR）对应复）对应复平面内的点平面内的点Z Z的坐标是什么？复数的坐标是什么？复数z z可以可以用复平面内哪个向量来表示？用复平面内哪个向量来表示？对应点对应点Z Z（a，b），）， 用向量用向量 表示表示. . O Zuuu rx xy yO OZ(a，b)提出问题提出问题 3.3.两个实数可以进行加、减运算，两个实数可以进行加、减运算，两个向量也可以进行加、减运算，根两个向量也可以进行加、减运算，根据类比推理，两个复数也可以进行加、据类比推理，两个复数也可以进行加、减运算，我们需要研究的问题是，复减运算，我们需要研究的问题是，复数的加、减运算法则是什么？数的加、减运算法则是什么？ 提出问题提出问题问题探究问题探究1 1、设向量、设向量m( (a，b) )，n( (c c，d),),则向则向量量mn的坐标是什么？的坐标是什么？ mn(ac，bd) 2 2、设向量、设向量 ， 分别表示复数分别表示复数z z1 1，z z2 2，那么向量，那么向量 表示的复数应该表示的复数应该是什么？是什么？ 1O Zuuu r2O Zuuur12O ZO Z+uuu ruuurz z1 1z z2 2问题探究问题探究 3 3、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i对对应的向量分别为应的向量分别为 ， ，那么向量，那么向量 ， 的坐标分别是什么？的坐标分别是什么？ 1O Zuuu r2O Zuuur12O ZO Z+uuu ruuur1O Zuuu r2O Zuuur(a，b)，(c，d)，(ac，bd). 12O ZO Z+uuu ruuur1O Zuuu r2O Zuuur问题探究问题探究4 4、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，则，则复数复数z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？ z z1 1z z2 2( (ac) )( (bd)i. )i. 问题探究问题探究5 5、( (abi)i)( (cdi)i)( (ac) ) ( (bd)i)i就是复数的就是复数的加法法则加法法则，如何，如何用文字语言表述这个法则的数学意用文字语言表述这个法则的数学意义？义？两个复数的和仍是一个复数两个复数的和仍是一个复数. . 两个复数的和的实部等于这两个复数两个复数的和的实部等于这两个复数的实部之和，两个复数的和的虚部等的实部之和，两个复数的和的虚部等于这两个复数的虚部之和于这两个复数的虚部之和. .问题探究问题探究7 7、复数的加法法则满足交换律和结、复数的加法法则满足交换律和结合律吗？合律吗？ z z1 1z z2 2z z2 2z z1 1， (z(z1 1z z2 2) )z z3 3z z1 1(z(z2 2z z3 3).).问题探究问题探究8 8、规定：复数的减法是加法的逆运算，、规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数若复数z zz z1 1z z2 2，则复数，则复数z z1 1等于什么？等于什么？ z z1 1z zz z2 2 9 9、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，z zxyi i，代人，代人z z1 1z zz z2 2，由复数相等的，由复数相等的充要条件得充要条件得x，y分别等于什么？分别等于什么？ xac，ybd.问题探究问题探究1010、根据上述分析，设复数、根据上述分析，设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，则，则z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？ z z1 1z z2 2(ac)(bd)i i问题探究问题探究复数的复数的减法法则：减法法则： 2 2、两个复数的差仍是一个复数两个复数的差仍是一个复数. . 两个复数的差的实部等于这两个复两个复数的差的实部等于这两个复数的实部之差，两个复数的差的虚部等数的实部之差，两个复数的差的虚部等于这两个复数的虚部之差于这两个复数的虚部之差. . 形成结论形成结论1 1、( (abi)i)-( (cdi)i)( (a-c)+()+(b-d)i)i1 1、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i对应的对应的向量分别为向量分别为 ， ，则复数，则复数z z1 1z z2 2对应对应的向量是什么？的向量是什么？|z|z1 1z z2 2| |的几何意义是的几何意义是什么？什么？1O Zuuu r2O Zuuur1221O ZO ZZ Z-=uuuruuuruuuu r|z|z1 1z z2 2| |的几何意义的几何意义表示表示复数复数z z1 1，z z2 2对应对应复平面内的点之间的复平面内的点之间的距离距离. .x xy yO OZ1Z2问题探究问题探究2 2、设、设a，b，r r为实常数，且为实常数，且r r0 0，则，则满足满足|z|z( (abi)|i)|r r的复数的复数z z对应复对应复平面上的点的轨迹是什么？平面上的点的轨迹是什么？ 以点以点( (a，b) )为圆心，为圆心，r r为半径的圆为半径的圆. .x xy yO Or rZ ZZ Z0 0问题探究问题探究例例1 1 计算计算(5(56i)6i)( (2 2i)i)(3(34i). 4i). 11i 11i 例例2 2 如图，在矩形如图，在矩形OABCOABC中，中，|OA|OA|2|OC|2|OC|点点A A对应的复数为对应的复数为 ，求点，求点B B和向量和向量 对应的复数对应的复数. .3i+A Cuuu rx xy yO OC CB BA A13(3)(1)22i-+13(3)(1)22i-+-典例讲评典例讲评 1.1.复数的加、减运算法则表明，若干复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算和差运算. . 2.2.在几何背景下求点或向量对应的复在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理为距离问题处理. .课堂小结课堂小结 3. 3. 在实际应用中，既可以将复数在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立量的运算转化为复数运算，二者对立统一统一. .课堂小结课堂小结P P109109练习：练习：1 1，2.2. P P112112习题习题3.2A3.2A组：组：2 2，3.3.布置作业布置作业3.2 3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算3.2.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 1.1.设复数设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，则，则 z z1 1z z2 2，z z1 1z z2 2分别等于什么？分别等于什么？ z z1 1z z2 2( (ac) )( (bd)i. )i. z z1 1z z2 2(ac)(bd)i i 2.2.设设z z1 1，z z2 2为复数，则为复数，则|z|z1 1z z2 2| |的几何的几何意义是什么？意义是什么？复数复数z z1 1，z z2 2对应复平面内的点之间的对应复平面内的点之间的距离距离. .复习巩固复习巩固 1 1、设、设a，b，c，dRR， 则则( (ab)()(cd) )怎样展开？怎样展开？ ( (ab)()(cd) )acadbcbd问题探究问题探究1 1、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，其中其中a，b，c，dRR，则，则 z z1 1z z2 2( (abi)(i)(cdi)i)，按照上述运，按照上述运算法则将其展开，算法则将其展开，z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？ z z1 1z z2 2( (acbd) )( (adbc)i.)i.形成结论形成结论 2 2、( (abi)i)2 2a2 2b2 22 2abi.i.1 1、复数的乘法是否满足交换律、复数的乘法是否满足交换律、结合律和对加法的分配律？结合律和对加法的分配律？ z z1 1z z2 2z z2 2z z1 1， (z(z1 1z z2 2) )z z3 3z z1 1(z(z2 2z z3 3) )， z z1 1(z(z2 2z z3 3) )z z1 1z z2 2z z1 1z z3 3. . 问题探究问题探究2 2、对于复数、对于复数z z1 1，z z2 2，|z|z1 1z z2 2| |与与|z|z1 1| |z|z2 2| |相等吗？相等吗？ |z|z1 1z z2 2| |z|z1 1| |z|z2 2| | 问题探究问题探究实部相等，虚部互为相反数的两个复实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数数叫做互为共轭复数. . 3 3、在实数中，、在实数中， 与与 互称为有理化因式，在复数中，互称为有理化因式，在复数中，abi i 与与abi i互称为互称为共轭复数共轭复数，一般地，共，一般地，共 轭复数的定义是什么？轭复数的定义是什么？ 23+23-问题探究问题探究 4 4、复数、复数z z的共轭复数记作的共轭复数记作 ，虚部不，虚部不为零的两个共轭复数也叫做为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数共轭虚数，那么那么z z与与 在复平面内所对应的点的位置在复平面内所对应的点的位置关系如何？关系如何？ 等于什么？等于什么？z zzz22| | | |z zzz =x xy yO OZ Zz 关于实轴对称关于实轴对称 问题探究问题探究5 5、若复数、若复数z z1 1z z2 2z z，则称复数，则称复数z z为复为复数数z z1 1除以除以z z2 2所得的商，即所得的商，即z zz z1 1z z2 2. . 一般地，设复数一般地，设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i（cdi0i0），如何求），如何求z z1 1z z2 2？ 2222()()()()abiabi cdiacbdbcadicdicdi cdicdcd+-+-=+-+问题探究问题探究 6 6、就是复数的就是复数的除法法则除法法则，并且两个复数相，并且两个复数相除（除数不为除（除数不为0 0），所得的商还是一个），所得的商还是一个 复数，那么如何计算复数，那么如何计算 ？2222()()acbdbcadabicdiicdcd+-+=+abibai+-()abiiaibibaibai+-+=-问题探究问题探究 7 7、怎样理解、怎样理解 ？1122|zzzz=问题探究问题探究例例1 1 设设z z(1(12i)2i)(3(34i)4i)(1(1i)i)2 2求求 . .z4255zi= -+例例2 2 设复数设复数 ，若，若z z为纯虚为纯虚数，求实数数，求实数m的值的值. .333m izi+=+m3 3 典例讲评典例讲评 1.1.复数的乘法法则类似于两个多项复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把式相乘，展开后要把i i2 2换成换成1 1，并将，并将实部与虚部分别合并实部与虚部分别合并. .若求几个复数的若求几个复数的连乘积，则可利用交换律和结合律每连乘积，则可利用交换律和结合律每次两两相乘次两两相乘. .课堂小结课堂小结 2.2.复数的除法法则类似于两个根式复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先将除法运算式写的除法运算，一般先将除法运算式写成分式，再将分子分母同乘以分母的成分式，再将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母化为实数，分子按共轭复数，使分母化为实数，分子按乘法法则运算乘法法则运算. .课堂小结课堂小结 3.3.对复数的乘法、除法运算要求对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不要求记忆运算公掌握它们的算法，不要求记忆运算公式，对复数式的运算结果，一般要化式，对复数式的运算结果，一般要化为代数式为代数式. .课堂小结课堂小结P P111111练习：练习：1 1，2 2，3.3.布置作业布置作业复数的概念与运算题型分析复数的概念与运算题型分析第一课时第一课时题型一：复数的混合运算题型一：复数的混合运算例例1 1 计算：计算： 15834(1)12iiii-+-+17173i3i 例例2 2 设复数设复数z z1 1i i，求，求 的值的值. .32(46)3zziz+-1 1i i题型二：复数的变式运算题型二：复数的变式运算 例例3 3 已知复数已知复数z z满足满足 ，求求 的值的值. .10ziz+-=2211zzzz-+i i 例例4 4 已知复数已知复数z z满足满足 ，求求 的值的值. .110zz+=4(1)zz+1 1题型三：求满足某条件的复数值题型三：求满足某条件的复数值 例例5 5 已知复数已知复数z z满足满足 为纯虚数，为纯虚数， 且且 ，求，求z z的值的值. .1izz+| 4| |ziz-=53iizor=- 例例6 6 已知复数已知复数z z满足满足 ，求，求z z的值的值. .21(21)zizi-=+-533iz=-题型三：求满足某条件的复数值题型三：求满足某条件的复数值 例例7 7 已知复数已知复数z z满足满足|z|z2|2|2 2，且，且 ，求，求z z的值的值. .4zRz+z z4 4或或 . .13zi=题型三：求满足某条件的复数值题型三：求满足某条件的复数值P P112112习题习题3.2A3.2A组：组：4 4，5.5. P P116116复习参考题复习参考题A A组：组：2 2，3.3.复数的概念与运算题型分析复数的概念与运算题型分析第二课时第二课时题型四：求复数式中的实参数值题型四：求复数式中的实参数值 例例8 8 已知复数已知复数z z1 1i i，若，若 ，求实数，求实数a，b的值的值. .2211zazbizz+=-+a1 1，b2 2. 题型四：证明复数的有关性质题型四：证明复数的有关性质 例例9 9 求证：复数求证：复数z z为纯虚数的充要为纯虚数的充要条件是条件是z z2 20.0.题型四：证明复数的有关性质题型四：证明复数的有关性质 例例10 10 已知复数已知复数z z满足满足|z|z|1 1，求证：，求证： . .1zRz+ 例例11 11 已知复数已知复数z z1 1，z z2 2满足满足z z1 1z z2 20 0，求证：求证：z z1 10 0或或z z2 20.0.题型五：求复数式中的实参数值题型五：求复数式中的实参数值 例例12 12 已知复数已知复数z z满足满足|z|z|1 1，且，且 , ,求求m的值的值. .2()2 (0)zmm m-=12m=-题型六：复数的几何意义及其应用题型六：复数的几何意义及其应用 例例13 13 已知复数已知复数z z满足满足 ，求复数，求复数z z对应复平面对应复平面内的点内的点P P的轨迹的轨迹. .2| |3zzz+=以点（以点（1 1，0 0）为圆心，）为圆心，2 2为半径的圆为半径的圆. . 例例14 14 已知复数已知复数z z满足满足: : ，求，求|z|zi|i|的取值的取值 范围范围. .()()1zi zi-+=11，3 3 题型六：复数的几何意义及其应用题型六：复数的几何意义及其应用 例例15 15 设复数设复数z z1 1，z z2 2，z z3 3分别对应复分别对应复平面内的点平面内的点A A，B B，C C，若，若z z1 1z z2 2z z3 30 0，且且|z|z1 1| |z|z2 2| |z|z3 3| |1 1，求证，求证: :ABCABC为正三角形为正三角形. .题型六：复数的几何意义及其应用题型六：复数的几何意义及其应用P P112112习题习题3.2A3.2A组：组：6.6. P P116116复习参考题复习参考题B B组：组：1 1，2 2，3.3.P P105105练习：练习：1.1. P P106106习题习题3.1A3.1A组：组：4 4，5 5，6.6.布置作布置作业业
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