《初中数学学科基础》各章节习题

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第一章1.结合数系扩充的历程，谈谈你对数系扩充的理解。“数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。第一次扩充：分数的引进；第二次扩充：0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。数的理论研究，首先要建立起自然系，然后在此基础上逐步加以扩充，从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：（一）原数集是扩充后新数集的真子集；（二）原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；（三）原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；（四）在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；（五）新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。2.简述“数”发展到“式”的重要意义。人类从“数”的具体运算到利用“式”或者符号进行抽象的运算，却经历了漫长的岁月。而这一数值计算过程的符号化过程，不仅导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，也包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，也即实现了代数化将直接导向数学的机械化，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，也成为近代数学的显著特征。而这一切都要归功于被誉为代数学之父的法国数学家韦达，在他之前，人们只解决带有数字系数的方程，虽然知道可以用同样的方法来求解，但却认为任意两个不同数字系数的一元二次方程是不一样的。而韦达用ax2+bx+c=0一般地表示一元二次方程，其中字母系数可以表示任何数，因为把方程由数字系数抽象到了字母系数，于是研究的是整个一类方程的计算，对于具体数字的计算只要带入求根公式就可以了。由此可见，从数字抽象到符号体系，得到的结果往往就具有了一般性，因而也就具有了更加广泛的应用性。由此可见，人类从事物抽象到数字固然实现了人类抽象思维的第一次飞跃，然而从数字到符号表达的第二次抽象对人类思维和发展的影响无疑更加巨大，更有划时代的意义。3.方程概念的核心思想是什么？方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。这种思想改变了算术中已知与未知相对立的问题。不仅是学生将来解决实际问题的重要方法，而且它是代数思想的重要应用，有利于培养用字母表示数的方程与方程组的基本理论与方法，强化对方程思想的认识。方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。因此，对于初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。数学课程标准指出，“方程是刻画现实世界的有效模型”。这是因为，现实世界的许多数量关系，都可以归结为一种特别的“式”的相等关系，成为一种抽象的模型。4.简述不等式蕴含的思想？关于不等式的重要思想和方法主要包含如下几种重要的思想:（一）模型思想：通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。（二）辩证思想：值得一提的是，可别小看这种思想，恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题教材中的“不等式”一章中的大部分问题几乎都可以利用这种思想方法加以解决。（三）数形结合思想：我们不仅要会解不等式并能运用数轴表示不等式的解集，而且，解不等式组时往往需要借助数轴,这些都是数形结合思想的具体体现。总之，在解决不等式的有关问题时，我们要注意数形结合，尤其是要联系数轴或者函数、方程、等式等内容，注意不等式与等式之间的转换。同时，要深刻体会不等关系的广泛存在性，注意使用恰当的不等式来刻画这种不等关系，这也就是“建立不等式的模型”。5.函数概念的核心思想是什么？函数概念已经成为初中数学中最为重要概念之一。在初中数学课程改革和数学教学中，深刻理解函数的核心思想，把握函数定义的本质，对处理好函数这部分内容的教学至关重要。通过对函数各种定义的梳理，我们可以看到函数概念的核心思想。在整个基础教育阶段，数学的核心是研究关系，具体来说，是研究三种关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。第二章：1.直观几何主要包含哪些内容？1、以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。这些内容构成直观几何的重要组成部分。 2.推理包含哪些类别？2.、推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。二、论述题 3.在初中学教学中，几何课程的设计有哪些基本特点？其核心课程教学目标是怎样的？新理念下义务教育几何课程的设计风格，既不是典型的直观几何、实验几何，也不是以往的综合几何，而应该广泛吸收直观几何、实验几何的特点，采取分段设计的课程风格，即，经验几何（直观几何、实验几何）与综合几何（以论证为主）分段处理，有所侧重。其中，初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。在初中“图形与几何”的核心课程教学在于，帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。三、案例分析题 4.如何评价欧几里得以及欧几里得几何学的贡献？欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。几何原本是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。它首版于1482年，即谷登堡发明活字印刷术30多年之后。自那时以来，几何原本已经出版了上千种不同版本。在训练人的逻辑推理思维方面，几何原本比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。我们不清楚为什么科学产生在欧洲而不是在中国或日本。但可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范（总的来讲，欧洲人不把欧几里得的几何学仅仅看作是抽象的体系；他们认为欧几里得的公设，以及由此而来的定理都是建立在客观现实之上的）。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，几何原本的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。 欧几里得的逻辑结构与整个数学大系统匹配得不好：它既不以小学所学的几何知识为发展的基础，又不以代数知识为工具，更没有为解析几何和高等数学的出现打下伏笔。因而，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。 5.如何评价直观几何、实验几何与综合几何的区别？不同的课程目标和价值取向；不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系；不同的课程设计风格；不同的教学要求。第三章：一、简答题：1、 试论数理统计方法的基本步骤。用数理统计方法解决一个实际问题，一般有如下几个步骤 ：建立数学模型 ，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。当然，这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。（1）模型的选择和建立。（2）数据的收集 。（3）安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。（4）数据整理。（5）统计推断。（6）统计预测。（7）统计决策。2、 如何理解概率和频率的关系。在初中数学中，概率的概念是通过频率来介绍的。通常称为概率的统计定义。事实上，这种定义只是一种描述性的说法，并不严格。因此，老师们一定不要去细究这种说法在用词上的含义。（在现代数学中，概率是用公理化的方式给出的，超出了我们讨论的范围。）比如，我们说，当试验次数很多时，频率会稳定在一个常数附近。什么叫稳定就是含糊的。而且这个定义有循环定义之嫌。当我们说，如果试验次数很多，频率偏离这个常数大的可能性很小时。这里的可能性就是概率。（类似地，在古典概率中的等可能性就是指概率相等。也是循环定义。）4、（10分）小华与小丽设计了A、B两种游戏：游戏A的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜。游戏B的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜。请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由 用列表法所有可能出现的结果共有9种，其中两数字之和为偶数的有5种，所以游戏A小华获胜的概率为，而小丽获胜的概率为即游戏A对小华有利，获胜的可能性大于小丽对游戏B：画树状图或用列表法所有可能出现的结果共有12种，其中小华抽出的牌面上的数字比小丽大的有5种；根据游戏B的规则，当小丽抽出的牌面上的数字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小时，则小丽获胜所以游戏B小华获胜的概率为，而小丽获胜的概率为即游戏B对小丽有利，获胜的可能性大于小华 5、（10分）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图。解：（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是（2）记两个白球分别为白1与白2，画树状图如图所示：从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为6，两次摸出球的都是白球的结果总数为2，因此其概率.6、（10分）汶川地震牵动着全国亿万人民的心，某校为地震灾区开展了“献出我们的爱” 赈灾捐款活动八年级（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明对全班捐款情况的统计表： 因不慎两处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款38元（1）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程（2）该班捐款金额的众数、中位数分别是多少？解：（1） 被污染处的人数为11人 。设被污染处的捐款数为x元，则 11x+1460=5038 解得 x=40。 答：（1）被污染处的人数为11人，被污染处的捐款数为40元 （2）捐款金额的中位数是40元，捐款金额的众数是50元第四章：1.“实践与应用”领域在数学教育中的教学价值、总体目标等，结合个人教学谈一谈如何在实际教学中培养学生的数学应用意识、数学应用能力？实际教学中要强调学生的自主探索、合作交流和操作实践等学习方式。（1）充分发挥学生的主体性。在学习过程中，教师可以向学生推荐活动，让学生在选择中有较强的自主性；同时，让学生独立思考和合作交流，在此基础上教师进行有针对性的指导。（2）强凋学生学习方法、思维方法、学习态度的养成，关注学生的学习过程。课题学习活动强调学生主动学习，不宜强调对知识的学习，而且更重要的是强调学生对学习方法、思维方法、学习态度的养成。（3）创设恰当的问题情景，鼓励学生思考方法的多样化。在课题学习活动过程中，教师应当鼓励与尊重学生的独立思考，引导学生进行讨论与交流，培养学生良好的思考习惯和合作意识。鼓励算法多样化，对培养学生的创新意识与创新思维是十分必要的。（4）对课题学习的评价应该以质的评价为主。一般说来，对学生实践与综合应用活动的评价要强调过程性评价。重点在于促进学生创新精神的培养和实践能力的提高，具备与人沟通及有良好的人际交往能力。而不是把学生贴上优秀、良好、不及格的标签。2. 如何理解数学研究性学习的“全员参与性”特点。研究性学习主张全体学生的积极参与，它有别于培养天才儿童的超常教育。研究性学习重过程而非重结果，因此从理论上说，每一个智力正常的中小学生都可以通过学习提高自己的创造意识和能力。全员参与的另一层含义是共同参与。研究性学习的组织形式是独立学习与合作学习的结合，其中合作学习占有重要的地位。由于研究性学习是问题解决的学习，学习者面临着复杂的综合性的问题，因此就需要依靠学习伙伴的集体智慧和分工协作。在这里，合作既是学习的手段，也是学习的目的。通过合作学习和研究，学习者可以取长补短，取得高质量的成果。与此同时，在共同参与的过程中，学习者还需要了解不同的人的个性，学会相互交流与合作。现代社会与科学技术的发展使得人类面临的问题越来越复杂，而社会分工的细化则又限制了个人解决问题的能力和范围。因此，培养中小学生的合作意识与能力，也体现了时代和社会的要求。3. 数学研究性学习的评价对建立学生发展性评价有哪些有益的启示？（1）研究性学习评价更重视过程。研究性学习评价学生研究成果的价值取向重点是学生的参与研究过程。诸如学习方式、思维方式、知识整理与综合、信息资料的收集、处理和判断等。因此，注重学生研究性学习的过程，重视的是学生学习的主动性、创造性和积极性等。（2）研究性学习评价更重视理解中的应用。强调的是学生把学到的基础知识、掌握的基本技能，应用到实际问题的提出和解决中去，关注诸如社会的环境保护问题、人与自然的关系问题、精神文明建设中的问题、科学技术发展问题等等。在问题提出和解决中主动获取知识、应用知识，既促进学生对知识价值的反思，又加深对知识内涵理解和掌握，形成知识的网络和结构。（3）研究性学习评价强调学生在探究过程中的体验。科学研究的过程是一种实践过程。学生在实践中既发展了观察、思维、操作和表达等基本能力，更获得了大量的感性认识。因此，研究性学习的评价十分，包括使命感、责任感、自信心、进取心、意志、毅力、气质等精神自我认识和自我教育的发展。（4）研究性学习评价更重视全员参与。研究性学习的价值取向强调每个学生都有充分学习的潜能，为他们进行不同层次的研究性学习提供了可能性，也为个别化的评价方式创造了条件。4.简述数学研究性学习的常见模式。常见的数学研究性学习模式有以下三种：（1）理论实践模式。首先，运用数学课堂教学向学生介绍研究性学习的价值和基本理论，组织、引导学生选择他们感兴趣的源自生活实际的数学课题。其次，鼓励学生在实践中创新，不怕失败，总结经验。（2）数学问题探讨模式。教师将问题或案例呈现给学生，引导学生共同探讨，构建师生平等、互动的学习环境。（3）数学课题研究模式。数学课题研究模式是指教师提供课题或由学生根据兴趣设计研究课题，并在教师的指导下自主探索、实施研究计划、完成课题目标、提高社会实践能力的一种教学模式。第五章：1.给概念划分需要遵循哪几个标准？第一，所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集；第二，划分应是相称的，即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延；第三，每次划分都应按照同一个标准进行。在一次划分中用不同的根据就造成了混乱； 第四，划分不应越级。应把属概念分为最邻近的种概念二、论述：2.数学概念的外延与内涵之间的关系是怎样的？概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵。概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，二者是相互确定的。3.数学推理的几种形式在培养学生数学思维上分别起到什么样不同的作用？又有怎样的内在联系？推理的类型有直接推理与间接推理。直接推理的前提只有一个，比较简单；间接推理则是由两个或两个以上前提组成的推理，它又可分为归纳推理、类比推理和演绎推理三类。（1）归纳推理是一种由特殊到一般的推理，即从个别或特殊的事物所作判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程，且根据前提与结论所作判断的范围是否相同，又分为完全归纳法与不完全归纳法。完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作出了判断，如果皆是真实的，则所得结论是完全可靠的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方法。不完全归纳法推出的结论可能真，也可能假。因此，不完全归纳法不能作为数学上一种严格的推理方法使用，但是它在科学研究中可有助于提出假设或猜想，在解题中便于发现规律，启发思维。（2）类比推理所得结论，虽然不一定都真实，但在人们的认识活动中仍有着它的积极意义。例如，科学上有不少重要的假设，是通过类比推理提出来的；数学中有不少重大发现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的；生产实践和科学实验中的许多发明创造，也受到了类比推理的启发等。因此，类比推理仍不失为一种获取新知识的工具。（3）演绎推理的前提与结论之间有必然的联系，只要前提是真实的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此。演绎推理可以作为数学中一种严格的推理方法使用。第六章：1.谈一谈你对数学抽象层次性的理解。大体上分为三个层次：（1）把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段。（2）去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段。（3）通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段。2.如何理解图形与图形关系的抽象？对数学图形的认识和理解，应当注意把各种数量关系、图形的获得或抽象过程告诉学生，而不是仅仅把结果告诉学生。就几何图形而言，正是现实生活中的直线、三角形、圆等几何图形才构成了初等几何的数学抽象模式。如果脱离现实中的几何对象抽象成模型的过程，初等几何就变成纯粹的逻辑推理，从而失去了与现实联系的渠道。在中小学数学教学中，我们运用数学方法把具体问题抽象为数学问题。在这一过程中，我们要善于突出数学数量抽象模式与图形抽象模式的交互作用，运用直观、形象的数学模型来辅助学生理解数学、运用数学的抽象能力。在教学中还应当强调的一点是，要尽量利用具有直观、形象作用的数学模型。尤其是几何图形的应用，它可以帮助低年龄的学生很快地接受一些抽象性的数学概念。在中小学的不同年龄段，对不同数学模型的抽象能力有很大差异。如何运用这种差异不断有意识地强化数学模型的抽象程度，这也是教师在教学中应当注意的问题。3.简述中小学数学常见数学模型的抽象。(一)经济数学模型的抽象:在人类的生产生活中，有许多实际问题可以用初等数学来解决，对这些具体问题的抽象处理就形成了许多有关这些方面的数学模型。这些问题主要表现在工程进度、人口增长、收入变等方面。这些问题运用的数学工具大多是代数方程、指数函数以及其它相关的函数概念。这一类的数学模型在现实生活中随处可见，中小学的数学教学应以这些为例深入浅出地抽象、构造及运用这些模型。（二）运动数学模型的抽象:一些事物在运动中表现出速度、加速度、时间、距离之间的关系，这类问题构成了带有运动特征的数学模型。这些问题一般可以用抽象的代数方程、二次函数等方面的数学方法给予解决。在中小学数学中，一些追击问题、行程问题都是这方面的典型代表。在行程问题的路程、时间、速度三个因素中，如果路程固定，则时间随速度变化。同样的，如果时间固定，则路程随速度变化，如此等等。在这里，如果按照应用题方式解题是一种传统的教学形式。如果在学习了这种抽象成数学模型的解题方法之后，创设情景，让学生自己把生活中的具体问题构成一个行程、工程等方面的比例问题，那就会使学生体会到数学学习的乐趣，也会使他们增长信心，这样的数学教学效果才是我们素质教育中所要求的。（三）逻辑程序数学模型的抽象: 从逻辑程序模型的意义上说，我们的数学教育不仅仅是把推理过程表述出来，而是要把它抽象成一种可以独立构建的逻辑程序模型。此时我们的要求不是从几何的角度，而是从逻辑程序的自身角度来看待问题。这样我们在处理数学问题时，就不仅是从具体数学问题层次，而是从数学问题解决的逻辑程度的层次来考虑数学问题的解决，这也是中国古代数学最为值得骄傲的传统。对于中小学及初等数学中的数学模型抽象方法和问题，我们还可找出一些，上面提到的常见问题只是中小学数学中出现的比较多的类型。我们在实际教学中可以根据数学模型抽象方法选择一些具体的问题进行数学模型的抽象教学研究。考虑到素质教育的深入开展，应当格外注意中小学数学与实际生活相联的数学模型抽象问题的教学，把学生从公式、定理的逻辑推演引向注重利用抽象的数学去解决具体问题。4.结合初中教学实际谈一谈你对数学抽象的理解。数学抽象的教学应当直接指向学生在与数学相关问题上的一般思维水平方面的发展。事实上，义务教育阶段的数学教育是一种公民教育，它给学生带去的绝不仅仅是会解更多的数学题了。这些学生的未来会遇到不同的挑战一些人需要学习或研究更多的数学，对他们而言，是否能够“思考数学”非常重要；另一些人（他们是受教育的学生中的绝大多数）就业以后基本上不需要解纯粹的数学题（除了参加数学考试），对他们而言，“思考数学”是一种需要，但更多的或许是能够进行“数学的思考”，即在面临各种问题情境（特别是非数学问题）时，能够从数学的角度去思考问题、能够发现其中所存在的数学现象、并将之抽象为数学问题，运用数学的知识与方法去解决问题。对所有的未来公民来说，抽象思维和形象思维水平，归纳推理与演绎推理能力等都是不可缺少的。第七章：1.简述推理的基础有哪些？基本概念包括语言、命题和定义，其中，语言是推理的工具，命题是推理的对象，定义是命题的基础。（一）推理的工具：语言是传递信息的工具，这就要涉及信息的发布者和信息的接受者，发布者往往都是个体的、而接受者往往都是群体的。（二）推理的对象：命题是指或者可以通过分析，或者可以通过经验证实的语句，也就是说，命题是一种可以进行是非判断的语句。数学命题的核心是叙述研究对象之间的关系，即把关系概念应用于对象概念。（三）命题的基础：准确的定义对于命题的判断是非常重要的，在这个意义上，定义是命题的基础。数学定义大概可分为名义定义和实质定义。所谓名义定义是对某些事物标明符号，或者是对某类事物指明称谓。所谓实质定义是指揭示所研究问题对象内涵的逻辑方法，通过对许多所要研究问题的对象进行具体分析，归纳出共性、抽象出定义。2.谈谈你对数学推理教学的理解。长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式，发展学生的演绎推理能力，忽视了合情（归纳）推理能力的培养。数学不仅需要演绎推理，同样、甚至有时更需要合情（归纳）推理。科学结论的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比，即通过合情（归纳）推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误。演绎推理和合情（归纳）推理是既不相同又相辅相成的两种推理。标准对推理能力的主要表现作了如下的阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。这就是说，学生获得数学结论应当经历合情（归纳）推理演绎推理的过程。合情（归纳）推理的实质是“发现”，因而关注归纳推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。培养学生的演绎推理能力不仅要注意层次性，而且要关注学生的差异。要使每一个学生都能体会证明的必要性，从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求，克服“为了证明而证明”的盲目性；又要注意推理论证“量”的控制，以及要求的有序、适度。3.如何理解演绎推理与归纳推的关系？演绎推理是按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。归纳推理是按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。比较可以看到，归纳推理比演绎推理要灵活得多。在推理过程中，“法则”是必要的，但不需要事先规定；前提与结果之间的“联系”是必要的，但这种联系是或然的而不是必然的。正因为归纳推理具有这种灵活性，才可能从事物（事情和实物）的现实出发，对事物的过去或者未来进行推断。虽然通过推断得到的结论不一定是必然的，但却是实用的，因为在日常生活和生产实践中，人们对事情决策所遵循的原则并不要求必然成立，只是希望在大多数情况下成立。对于数学而言，如果说演绎推理是为了证明的推理，那么归纳推理就是为了推断的推理，把这两种推理模式结合起来，就得到了数学的推理的全部过程：从条件出发，借助归纳推理“推断”数学结果的可能性，借助演绎推理“验证”数学结果的必然性；或者进行一个相反的推理过程：从结果出发，借助归纳推理“推断”数学条件的可能性，借助演绎推理“验证”数学条件的必要性。4.结合中学数学教学实际，谈谈合情推理在数学上的意义。数学是一个逻辑推理构成的体系，在思维进程的意义上它是从一般到特殊的推理论证。对前提的确认，通过逻辑推理带来对结论的确认，每一步推理都是可靠的、无可置疑的，因而这种逻辑推理确认了逻辑上可靠的数学知识，同时也建立了严格的数学体系。实际上，这种数学的逻辑构造只是数学建构后的表现形式，而在形成这种演绎形式之前，数学的理论必有一个探索发现的过程。这个探索发现的过程作为一种思维方式，作为一种数学发现的方法，是非逻辑演绎的，是一种合乎情理的、似真的推理过程，即合情推理。作为数学中的创造性思维，它面临的是一个前人没有论证过的问题。因此按照合乎情理的方向，按照自己认为可能是正确的方向去进行推理，探索可能得到的结论，探索可能运用的方法，是合情推理发挥作用的地方。对于一个想把数学作为终身事业的学生而言，它必须学会逻辑论证推理。因为这是他未来的工作，也是数学科学思维发展中的一个特征。数学家为了取得成就，也必须学会合情推理，因为这是他创造性工作赖以进行的那种推理。作为数学的学习，如果我们要求学生运用自己掌握的数学知识去解决问题，那么作为学生的个体经验，他必然有一个自我形式的合情推理过程，即按照自己认为可能合乎情理、可能正确的方向来试一下，尝试一下自己的方法、想法是否正确。从这种意义上来说，对于数学学习者，对于数学的解题过程而言，合情推理就是一个必须学会运用的思维方式。合情推理实际上强调了一种思维的主动性、情感性和试错性。数学中合情推理的方式是各式各样的，在这些合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理两种。第八章：1如何基本活动经验的含义？结合初中数学课程教学中的典型事例加以分析。所谓数学的基本活动经验，是指围绕特定的数学课程教学目标，学生经历了与数学课程教学内容密切相关的数学活动之后，所留下的、有关数学活动的直接感受、体验和个人感悟。基本活动经验是经验的一种，属于学习数学课程过程中，学生与数学学习活动相互作用的结果。由于经验的层次、水平（特别是，由于经验获得者的抽象、概括和反思的水平）所限，个体之间的数学活动经验有较大差异，即使在同一个活动中，不同的个体所获得的基本活动经验也会有所不同，这往往取决于个体对活动的感知水平与反思能力。学生的基本活动经验包含三类基本内容：（1）一种体验性的内容 这种经验成分更多地表现为，学生在经历了活动之后在自己的情感、意志世界所形成的有关数学学科活动的、稳定的心理倾向。 作为“基本活动经验”的一个重要成分，“体验性的内容”属于一种典型的情感、意志成分，有时甚至带有个人的人格色彩。其主体是个体对于相应活动而感觉、知觉到的直接内容（属于直接经验），部分属于直接经验基础之上经过初步体验及其简单加工的结果。 在初中“概率”的学习中，需要学生“体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性”，而在“调查两支球队以往比赛的胜负情况，预测下场比赛谁获胜的可能性大，并说明自己的理由”的活动中，具有典型的体验性色彩。 在初中课题学习中，需要学生积累“综合运用数与运算、空间与图形、统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的成功体验”，进而“初步树立运用数学解决问题的自信心”。 （2）一种方法性内容即学生获得了这种活动经验之后，积累了开展类似活动的一种或几种基本的方法。这种策略既有方法学知识的意味，更有学生对这些策略、方法的自我诠释、自我解读。它属于典型的个体知识，而不是作为严格的数学学科知识出现的一般知识。（3）一种模式性、策略性的内容这种内容与第二类类似，都是在学生获得了这种活动的初步经验之后，经过个人反省而提升出来的、开展类似活动的一种或几种基本模式、基本策略。它仍属于典型的个体知识。引导学生积累数学活动经验并进行及时的积淀升华，就成为初中数学课程教学的重要目标之一，而不同的数学基本活动经验的均衡发展，才有可能实现学生的数学全面发展。2如何理解基本活动经验的教育价值？首先，获得必要的数学活动经验和与数学学习有关的生活经验，是进行建构数学理解、实现学生在数学学科上全面发展的基本前提。其次，获得基本活动经验，是情感态度价值观目标实现的必要前提，也有助于知识技能目标的实现。再次，一定数量的基本活动经验，是实现过程与方法目标的基本载体。第四，获得基本活动经验是“综合与实践”领域的基本目标之一。最后，积累学生全面的数学活动经验有助于全面提高学生的思维水平、培养创新性人才。3结合初中数学课程教学实际，试分析基本活动经验的主要类别。基本活动经验是一个学科、一门课程之中从事相应的学科活动所积淀的经验，虽然属于个体知识（即广义的知识），具有个体特征，但是，这些经验属于个体对于这类学科活动的自我诠释，就群体而言，这些经验能够比较全面地反映相应学科活动最基本的活动特征。因而，数学的基本活动经验，按照数学内部的分类标准，可以划分基本的操作经验、数学特有的思维活动经验（如代数推理的经验、统计推断的经验）、综合运用本数学内容进行问题解决的经验（如数学建模的经验）、思考的经验（如，反证的经验）等类型，按照思维科学的分类标准，可以区分为行为操作的经验、思考经验、探索的经验和复合经验。4在初中几何课程教学中，操作的经验有哪些基本要素？ 一般地，操作主要是指行为的操作，而不是指思维的操作。这种操作是进行抽象的直接素材，一般是直接经验。这种操作的直接价值取向不是问题的解决，而是获得第一手的直接感受、体验和经验，亦即，在实际的外显操作活动中来自感官、知觉的经验。如，折纸活动的经验，就是典型的几何操作的经验：如果一位学生亲身经历了如下活动，并且在活动中进行适当的反思、回味，那么，他对于“圆”概念的理解一定非常深刻：将一张较软的纸对折，再对折；而后，不断对折，从第三次对折开始，每次对折的折痕都经过第一次、第二次折痕的交点；直到对折不能进行为止。将折出的扇形的多余部分撕掉，保证将折叠的每层纸都撕到，而且撕口线尽可能平整。将剩余的部分打开铺平，就得到一个近似于圆形的纸片。在日常的课程教学中，我们平时所说的“让学生亲身经历操作的过程”就是期望学生获得这种操作的经验（属于直接经验）。5结合初中数学课程教学实际，谈一谈你对如何积累学生的基本活动经验的一些经验、做法或设想。积累学生的数学活动经验，需要教师精心设计，不仅需要深刻体会课程标准的有关规定要求，而且需要细心揣摩教科书的编写意图，在深刻了解学生原有的生活经验和数学活动经验的基础上，进行恰当的课堂教学设计。例如，在初中“字母表示数”的教学中，可以设计如下教学设计：下表是某月的月历：12345678910111213141516171819202122232425262728293031 （1）彩色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其它方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？ （3）这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？ （4）你还能提出哪些问题？在解决上面的问题过程中，几乎所有的学生都会有一种惊奇，这就是，几乎天天见到的月历中竟然有这样奇妙的规律，所获得的这种经验属于“体验性内容”，而计算彩色方框中的9个数之和时，由于九个数字的平均数是最中间的数字，因而，可以直接用这个数字乘以九，就得到九个数字的和。而在解决类似问题时，也需要先思考，找到规律，再动手解决问题，而不需要贸然动手计算，那样话往往事倍功半，这种经验就是基本活动经验的第三成份，即“方法性策略性的内容”。14 / 14