第五章 平面向量

第五章 平面向量一、教学目标：理解向量、零向量、单位向量、相等相量的概念；掌握向量的几何表示，及字母表示，了解平行向量的定义及表示法，共线量的定义。二、教学重点：向量、相等向量的定义，向量的定义，向量的几何表示。北东A西南B三、教学难点：向量的定义。四、教学过程：1. 新课引入：如图，小船向西北方向航行15n 到达地，如果反指出“由地行15”，而不指明“向西北方向”，则小船就不能到达地了。就表示位移是一个即有大小又有方向的量向量。2. 新课讲解：（1）既有大小又有方向的量叫做向量。在数学中，常用点表示位置，用射线表示方向。（2）具有方向的线段叫做有向线段。常在有向线段的终点处画上简头以示方向，以A为起点，B为终点的有向线段记作.线段AB的长度叫有向线段的长度，记作。（3）有向线段的三要素：起点、方向、长度。（4）常用有向线段表向量，有向线段的长度表向量的大小，简头表向量的方向。（5）向量的大小就是的长度或模，记作，长度为0的向量叫零向量。长度为1个单位长度的向量叫单位向量。（6）方向相同或相反的向量叫平行向量。向量、平行，记作.规定与任一向量平行。（7）长度相等且方向相同的向量叫相等向量。与相等，记作，任两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。如图，任作一条与所在直线平行的直线在上任取一点，则可在上分别作出OA=，OC。即任一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫共线向量。说明：由向量的定义可知，“大于”，“小于”对向量无意义，故向量不能比较大小。3.例题讲解：【例1】如图，设0为正六边行ABCDEF的中心，分别写出图中与相等的向量。思考：与相等吗？与相等吗？AOFBCDE4.练习：P96.135.小结：略。6.作业：P96.13第2课 向量的加法一、教学目标：掌握向量加法的定义，交换法律和结合律，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，会用运算律实行计算。二、教学重点：向量加法的和几何表示。三、教学难点：向量加法的定义。四、教学过程：1. 新课讲解：（1）如图，已知向量.在平面内任取一点A，作则向量叫与的和，记作。（2）求两个向量和的运算，叫向量的加法。（3）2.例题讲解：【例1】已知向量，求作向量。（4）向量的加法满足交换律与结合律，即 如右图，作平行四边形ABCD，使。则 由以上作图知，以A为起点的对角线即为与的和，这种作两向量和的方法叫向量加法的平行四边形法则。前面的方法叫向量加法的三角形法则。（5）多个向量的加法可按照任意的次序与任意的组合来实行。2. 例题讲解：【例2】如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水速度为。求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示。3. 练习：99.14.4. 小结：5. 作业：102.14.第3课 向量的减法一、教学目标：掌握向量的减法，会用两个向量的差向量。二、教学重点：向量减法的定义。三、教学难点：同重点。四、教学过程：1. 复习提问：（1）向量加法的定义及几何表示。（2）向量加法的运算律。（3）三角形法则与平行四边形法则。2. 新课讲解：（1）与长度相等，方向相反的向量，叫的相反向量，记作。规定：零向量的相反向量仍是零向量。（2）（），+（）（）+0.（3）是互为相反方向的向量，则，+0（4）加上的相反向量，叫与的差，即+（） 因为（）+0。故求即是求一个量，使之与的和为（5）如图，已知，在平面内任取一点，作，则想一想：若、方向相同或相反时，如何作出？ 在右图中，如何表示？3. 例题讲解：【例3】如图，已知向量、求作，.【例4】在平行四边形ABCD中，用、表示。4. 练习：102.13.5. 小结：略。6. 作业：103.68.第4课 实数与向量的积一、教学目标：掌握实数与向量的积的定义及其运算律，理解两向量共线的充要条件。二、教学重点：同目标。三、教学难点：两向量共线的充要条件。四、教学过程：1. 新课讲解：已知非零向量我们作出+和（）+（）+（）.由左图可知，.显然3的方向与的方向相同，且3=3同理，的方向与方向相反，且33. 一般地，实数与向量的积是相关向量，记作，其长度与方向规定如下：复习提问：；当0时，的方向与方向相同；当0还是0；当在线段或的延长线上时，900，作作则与的夹角为A-900, 与的夹角为900-C.同理可证：由此即得正弦定理：128.正弦定理的作用：已知两角和任一边，求另两边和一角。已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。3.例题讲解：【例1】在ABC中，已知C=10,A=450,C=300,求（保留两个有效数字）。4.练习：131.1.5.小结：略。6. 作业：132.2.第14课正弦定理（2）一、教学目标：巩固正弦定理及其应用。二、教学重点：正弦定理及其应用。三、教学难点：已知两边和另一边的对角，解三角形时应讨论。四、教学过程：1.复习提问：（1）写出正弦定理。（2）正弦定理的作用？（3）已知两边和其中一边的对角，能确定一个三角形吗？（4）三角形中边角不等关系。2.例题讲解：【例2】在ABC中，已知20，28.A=400,求B。（精确到10）和C（保留两个有效数字）.【例3】在ABC中，已知60，50.A=380,求B和C。由例2.例3可知，已知两边和其中一边的对角解三角形时，有两解或一解：下图说明了在ABC中，已知、和A时解三角形的情况。A为锐角。为直角或钝角。3.练习：131.2.4.小结：略。5.作业：132.1.3.4.5.第15课余弦定理（1）一、教学目标：掌握余弦定理，理解其推导过程，并能用它解斜三角形。二、教学重点：余弦定理及其应用。三、教学难点：同重点。四、教学过程：1.新课讲解：对一个R来说，其斜边的平方等于两直角边的平方和。对一个任意三角形来说，是否可根据两边及其夹角，求出第三边呢? 如图，在ABC中，AB，AC=，BC。则 同理可证：+2A+2C上述结果即为余弦定理。在余弦定理中，令900，则有勾股定理：+.由余弦定理知：余弦定理的作用：已知三边，求三个角；已知两边和其夹角，求第三边和其余两个角。2.例题讲解：【例4】在ABC中，已知7，10，6.求A,B,C.(精确到10)3.练习：131.3（2）（4）4.4.小结：略。5.作业：132.6.7.第16课解斜三角形应用举例一、教学目标：掌握利用正弦定理和余弦定理解任意三角形的方法，懂得解任意三角形知识在实际中有应泛的应用，培养学生分析问题，解决问题的能力。二、教学重点：正、余弦定理在解三角形中的应用。三、教学难点：定理的选用。四、教学过程：1.复习提问：（1）写出正、余弦定理。（2）说出正、余弦定理的作用及应注意的问题。2.例题讲解：【例1】书132.分析：此问题可转化为：在ABC中，已知AB=1.95，AC1.40，BAC=600+60660.求BC的长。由于是已知ABC的两边和它们的夹角，故可由余弦定理求BC。【例2】书133.分析：因为AOA=AOC-AC,而AOC=AB+BC=340+85=425。故只要求出AC即可。在ABC中，已知AB=340,BC=85, ACB=800.求AC。补充:1.在ABC中，2B=A+C,求A,B,C.2.在ABC中，5，4，求S ABC.3.在ABC中，ABC，求、A,B.4.在ABC中，求A,B,C.5.在ABC中，ABC求.第17课向量在物理中的应用（1）一、教学目标：会用向量、正弦定理和余弦定理，解决生活中有关力的问题，培养学生发现问题、提出问题和明确探完方向的能力，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力。二、教学重点：向量知识的应用。三、教学难点：把物理问题转化成数学问题，又反过来解释物理现象。四、教学过程：1.新课引入：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多这种量，试举例说明。用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题，即把物理量间的关系抽象成数学模型，然后再通过对此数学模型的研究来解释相关物理现象。2.应用例说：日常生活中，我们常用同样长的两根绳子挂一个物体。如果绳子的最大拉力为F，物体受到的重力为G。你能否用向量的知识，分析绳子受到的拉力F1的大小与两绳夹角的关系？ 把物理问题转化成数学问题.不考虑其它物理因素，只考虑绳子和物体的受力平衡，可用左图表示。由向量的平行四边形法则。力的平衡及解R等知识，你能否提出（1） 根据（1），定量描述与的关系。10.当逐渐增大时，的大小怎样变化？为什么？20. 为何值时，最小，最小值是多少？30. 为何值时，？40.若588N，882N，在什么范围内，绳子才不会断？50.自行设定与的大小，再研究与的关系。60.用（1）还可解释生活中的哪些物理现象？举例说明。第18课向量在物理中的应用（1）一、教学目标：会用向量、正弦定理和余弦定理，解决生活中有关力的问题，培养学生发现问题、提出问题和明确探完方向的能力，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力。二、教学重点：向量知识的应用。三、教学难点：把物理问题转化成数学问题，又反过来解释物理现象。四、教学过程：1.应用例说：一条河的两岸平行，河的宽度为500。一般船从A处出发航行到河的正对岸B处。船航行的速度水流速度问与的夹角多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶了多少时间？分析：若水是静止的，则船只需垂直于对岸航行即可。由于水流的作用，船要被水冲向下游，因此船要垂直到达对岸，就要使与的合速度的方向正好垂直于河岸方向。由向量的平行四边形法则和解直角三角形的知识，可以算出：请思考以下问题：设BC=BD=500，要使船分别到达C处和D处，与的夹角分别是多少？分别行驶多少时间？当船垂直到达对岸时，所用时间最少吗？你能否推导出一个关于于的关系式并加以说明？ 当船速垂直于河岸时，到达对岸后，船在B的什么位置？