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专题能力训练9等差数列与等比数列(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在等比数列an中,若a12=4,a18=8,则a36为()A.32B.64C.128D.2562.已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(nN*),则an=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-23.(2018届甘肃兰州一中高三8月月考)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则第2天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里4.在正项等比数列an中,a1 008a1 009=,则lg a1+lg a2+lg a2 016=()A.2 015B.2 016C.-2 015D.-2 0165.已知数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=2,则满足的n的最大值是()A.8B.9C.10D.116.若数列an满足a1=2,a2=1,并且(n2),则数列an的第100项为()A.B.C.D.7.已知数列an是等差数列,Sn为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(ijkl),则()A.aialajakB.aialajakC.SiSlSjSkD.SiSlSjSk8.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1an=2n(nN*),则S2 016=()A.321 008-3B.22 016-1C.22 009-3D.22 008-3二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3=5,a5=3,则an=,S7=.10.(2017浙江台州4月调研)已知数列an的前m(m4)项是公差为2的等差数列,从第m-1项起,am-1,am,an+1,成公比为2的等比数列.若a1=-2,则m=,an的前6项和S6=.11.在数列an中,a1=2,a2=10,且an+2=an+1-an(nN*),则a4=,数列an的前2 016项和为.12.已知等差数列an满足:a40,a52的n的集合是.13.等比数列an的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的nN*都有an+2+an+1-2an=0,则S5=.14.已知a,b,c是递减的等差数列,若将其中两个数的位置互换,得到一个等比数列,则=.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知数列an中,a1=1,an+1=(1)求证:数列是等比数列;(2)设Sn是数列an的前n项和,求满足Sn0的所有正整数n.16.(本小题满分15分)在数列an中,a1=1,2anan+1+an+1-an=0(nN*).(1)求证:数列为等差数列,并求an的通项公式;(2)若tan+1(an-1)+10对任意n2的整数恒成立,求实数t的取值范围.参考答案专题能力训练9等差数列与等比数列1.B解析 由等比数列的性质可知:a12,a18,a24,a30,a36构成等比数列,且=2.故a36=424=64.2.A解析 由Sn=2an-4可得Sn-1=2an-1-4(n2),两式相减可得an=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).又a1=2a1-4,a1=4,所以数列an是以4为首项,2为公比的等比数列,则an=42n-1=2n+1.故选A.3.B解析 由题意可知,此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,S6=378,a1=192,a2=192=96,第二天走了96里.4.D解析 lg a1+lg a2+lg a2 016=lg a1a2a2 016=lg(a1 008a1 009)1 008=lg=lg(10-2)1 008=-2 016.故选D.5.B解析 当n=1时,2a2+S1=2,得a2=.当n2时,有2an+Sn-1=2,两式相减得an+1=an.再考虑到a2=a1,所以数列an是等比数列,故有Sn=2-2.因此原不等式可化为,化简得,得n=4,5,6,7,8,9,所以n的最大值为9,选B.6.D解析 条件(n2),即,所以数列是等差数列.故+99+99=50,a100=.7.A解析 可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则aial-ajak=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d20,故A正确,同理可以验证B,C,D选项均不正确.8.A解析 数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),a2a1=2,即a2=2.当n2时,=2,数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2.则S2 016=(a1+a3+a2 015)+(a2+a4+a2 016)=321 008-3.9.8-n28解析 设等差数列an的公差为d,则2d=a5-a3=-2,d=-1,所以a1=a3-2d=7,an=a1+(n-1)d=7+(n-1)(-1)=8-n,S7=7a1+d=77+21(-1)=28.10.428解析 am-1=a1+(m-2) d=2m-6,am=2m-4,而=2,解得m=4,所以数列an的前6项依次为-2,0,2,4,8,16,所以S6=28.11.-20解析 a1=2,a2=10,且an+2=an+1-an(nN*),a3=a2-a1=10-2=8,同理可得a4=8-10=-2,a5=-10,a6=-8,a7=2,a8=10,.an+6=an.则a4=-2,数列an的前2 016项和=(a1+a2+a6)336=(2+10+8-2-10-8)=0.12. 5解析 已知等差数列an满足a40,a50,则d2得0,即0,0,a1+(n-1)db,因此有a=-2b,c=4b,故=20;由消去a整理得(c-b)( c+2b)=0.又bc,因此有c=-2b,a=4b,故=20.15.(1)证明 =,所以数列是以a2-=-为首项,为公比的等比数列.(2)解 由(1)得a2n-=-=-,则a2n=-,由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=-6n+,所以a2n-1+a2n=-6n+9=-2-6n+9,S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)=-2-6(1+2+3+n)+9n=-2-6+9n=-1-3n2+6n=-3(n-1)2+2.显然,当nN*时,数列S2n单调递减;当n=1时,S2=0,当n=2时,S4=-0,则当n2时,S2n0.综上,可得满足条件Sn0的n的值为1和2.16.(1)证明 2anan-1+an-an-1=0(n2),=2(n2).又=1,数列是首项为1,公差为2的等差数列.=1+2(n-1)=2n-1,即an=.(2)解 tan+1(an-1)+10对任意n2的整数恒成立,即t+10恒成立.t对任意n2的整数恒成立.设cn=(n2),则=1+1,当n2时,数列cn为递增数列,cnc2=.t的取值范围为.
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