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第十一节导数与函数的单调性考纲传真了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)(对应学生用书第32页) 基础知识填充函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是增加的；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是减少的；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数知识拓展1在某区间内f(x)0(f(x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间上没有单调性()(3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()答案(1)(2)(3)2f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4)B(0,2)C(4，)D(，0)Af(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x0，故选项D正确故选D(对应学生用书第32页)判断或证明函数的单调性已知函数f(x)ln xax2(2a)x.讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax2a.若a0，则f(x)0.所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则由f(x)0，得x，且当x时，f(x)0，当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减规律方法用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤一求：求f(x)；二定：确认f(x)在(a，b)内的符号；三结论：作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论变式训练1(2016四川高考节选)设函数f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0. 【导学号：00090064】解(1)由题意得f(x)2ax(x0).2分当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.7分(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.9分当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.12分求函数的单调区间(2016天津高考节选)设函数f(x)x3axb，xR，其中a，bR.求f(x)的单调区间解由f(x)x3axb，可得f(x)3x2A下面分两种情况讨论：当a0时，有f(x)3x2a0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(，).5分当a0时，令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.12分规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间变式训练2已知函数f(x)(x22x)ex，xR，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为_(，)因为f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)已知函数的单调性求参数已知函数f(x)x3ax1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围解因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0母题探究1(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3母题探究2(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数母题探究3(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解f(x)x3ax1，f(x)3x2A由f(x)0，得x(a0)f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3)规律方法根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了(0,1)来求解变式训练3已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上是减少的，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围. 【导学号：00090065】解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由h(x)在1,4上是减少的得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立令G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是.(2)h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.
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