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第第12课时导数与函数的单课时导数与函数的单调性、极值调性、极值第二章基本初等函数、导数及其应用第二章基本初等函数、导数及其应用教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1函数的单调性函数的单调性(1)(函数单调性的充分条件函数单调性的充分条件)设函数设函数yf(x)在某个区间内可导在某个区间内可导,如果如果f(x)0,则则f(x)为为_函数函数;如果如果f(x)0，则，则f(x)为为_函函数数单调递增单调递增单调递减单调递减(2)(函数单调性的必要条件函数单调性的必要条件)设函数设函数yf(x)在某个区间内可导，如果在某个区间内可导，如果yf(x)在在该区间上单调递增该区间上单调递增(或递减或递减)，则在该区，则在该区间内有间内有_ (或或_)f(x)0f(x)02函数的极值函数的极值(1)设函数设函数f(x)在点在点x0及其附近有定义及其附近有定义,如如果对果对x0附近的所有点附近的所有点,都有都有f(x)f(x0),我们就说我们就说f(x0)是是f(x)的一个的一个_,记作记作_.极大极大值与极小值统称为值与极小值统称为_.极大值极大值y极大值极大值f(x0)极小值极小值y极小值极小值f(x0)极值极值(2)判别判别f(x0)是极值的方法是极值的方法一般地，当函数一般地，当函数f(x)在点在点x0处连续时，处连续时，如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，右侧，右侧f(x)0，那么，那么f(x0)是是_如如果在果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么f(x0)是是_极大值极大值极小值极小值思考探究思考探究导数为零的点都是极值点吗？导数为零的点都是极值点吗？提示：提示：不一定是不一定是.例如例如:函数函数f(x)x3，有，有f(0)0，但，但x0不是极值点不是极值点课前热身课前热身1(教材改编教材改编)函数函数f(x)x33x的单的单调递减区间是调递减区间是()A(，0)B(0，)C(1,1) D(，1)，(1，)答案：答案：C2函数函数f(x)x3ax23x9，已知，已知f(x)在在x3时取得极值，则实数时取得极值，则实数a等等于于()A2 B3C4 D5答案：答案：D3(2011高考山东卷高考山东卷)执行下图所示的执行下图所示的程序框图，输入程序框图，输入l2，m3，n5，则输出的则输出的y的值是的值是_解析：当输入解析：当输入l2，m3，n5时，时，不满足不满足l2m2n20，因此执行：，因此执行：y70l21m15n702213155278.由于由于278105，故执行，故执行yy105，执行后，执行后y278105173，再执行一次再执行一次yy105后后y的值为的值为17310568，此时，此时68105不成立，故输不成立，故输出出68.答案：答案：684函数函数f(x)12xx3的极大值为的极大值为_答案：答案：165函数函数f(x)xlnx在在(0,5)上的单调递上的单调递增区间是增区间是_考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1求函数的单调区间求函数的单调区间求函数单调区间的基本步骤：求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数确定函数f(x)的定义域；的定义域；(2)求导数求导数f(x)；(3)由由f(x)0或或f(x)0时，时，f(x)在相应区间上在相应区间上是增函数；当是增函数；当f(x)0，右侧附近，右侧附近f(x)0，那么函，那么函数数yf(x)在这个根处取得极大值；如在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近果在根的左侧附近f(x)0，那么函数，那么函数yf(x)在这个根处在这个根处取得极小值取得极小值 (2010高考安徽卷高考安徽卷)设函数设函数f(x)sinxcosxx1,0 x2，求函数，求函数f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值【思路分析思路分析】按照求函数单调区间和按照求函数单调区间和极值的步骤求解极值的步骤求解例例3当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如的变化情况如下表：下表：【规律小结规律小结】(1)可导函数的极值点可导函数的极值点必须是导数值为必须是导数值为0的点的点,但导数值为但导数值为0的的点不一定是极值点点不一定是极值点,即即f(x0)0是可导是可导函数函数f(x)在在xx0处取得极值的必要不充处取得极值的必要不充分条件分条件.例如函数例如函数yx3在在x0处有处有y|x00,但但x0不是极值点不是极值点.此外此外,函函数不可导的点也可能是函数的极值点数不可导的点也可能是函数的极值点方法技巧方法技巧1注意单调函数的充要条件，尤其对注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值于已知单调性求参数值(范围范围)时，隐含时，隐含恒成立思想恒成立思想2求极值时，要求步骤规范、表格齐求极值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小全，含参数时，要讨论参数的大小失误防范失误防范1利用导数讨论函数的单调性需注意利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题的几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调讨论导数的符号，来判断函数的单调区间区间(2)在对函数划分单调区间时，除了必在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于须确定使导数等于0的点外，还要注意的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点定义区间内的不连续点或不可导点(3)注意在某一区间内注意在某一区间内f(x)0(或或f(x)0)是函数是函数f(x)在该区间上为增在该区间上为增(或减或减)函数的充分条件函数的充分条件2可导函数的极值可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系值没有必然的大小关系(2)若若f(x)在在(a，b)内有极值，那么内有极值，那么f(x)在在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值间上单调增或减的函数没有极值考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看，利用导数从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用的综合应用(各套都从不同角度进行考各套都从不同角度进行考查查)预测预测2013年高考仍将以利用导数研究年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向函数的单调性与极值为主要考向规范解答规范解答例例【名师点评名师点评】本题考查了利用导数求本题考查了利用导数求函数极值及单调性问题，考生失误在函数极值及单调性问题，考生失误在于：一是求导后不会因式分解成积的形于：一是求导后不会因式分解成积的形式，二是由式，二是由(*)式确定式确定a的范围不会或忽的范围不会或忽略分类讨论略分类讨论
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