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第五节合情推理与演绎推理1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异演绎推理所获得的结论就一定可靠吗？提示：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论解析：由类比推理的特点可知答案：C 2观察下式：112,23432,3456752,4567891072，则第n个式子是()An(n1)(n2)(2n1)n2Bn(n1)(n2)(2n1)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2解析：由条件可知，第n个式子的第一个数为n，且第n个式子为2n1个数的和答案：C3“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故此奇数(S)是3的倍数(P)”上述推理是()A小前提错B结论错C正确的 D大前提错解析：大前提正确，小前提正确，故命题正确答案：C解析：由题意可得，任何一元多次方程的根的和均为定值5在平面几何中，关于正三角形的性质，有真命题：正三角形内任一点到各边的距离之和是一个定值，类比平面几何 的 上 述 性 质 写 出 正 四 面 体 的 一 个 真 命 题 ：_.答案：正四面体内任一点到各个面的距离之和是一个定值 1.归纳推理的特点(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础之上的2归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同本质(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题【活学活用】 1.考察下列一组不等式：2353225252，2454235253，255523522253，.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是_答案：amnbmnambnanbm(a，b0，ab，m，n0)或(a，b0，ab，m，n为正整数)注：填2mn5mn2m5n2n5m(m，n为正整数)也对 1.类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构2类比推理的关键是找到合适的类比对象平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面点线圆三角形角面积周长空间线面球三棱锥二面角体积表面积请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个表面的面积与该表面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【思路点拨】平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象【自主解答】经分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一【特别提醒】类比推理的结论不一定正确，其正确性有待进一步证明【活学活用】 2.观察下表的第一列，填空：等差数列an中正项等比数列bn中a3a4a2a5b3b4b2b5ana1(n1)dbnb1qn1前n项和Sn前n项积Tn_.1.演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论2演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理(2)由(1)有1f(x)f(1x)，f(x)f(1x)1，9分f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.12分【特别提醒】此题在求1y和f(1x)时易出现混乱和化简整理方面的错误合情推理推出的结论不一定正确，有待进一步证明，演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下得到的结论一定正确【活学活用】 3.用三段论证明函数yx22x在(，1上是增函数 解：任取x1、x2(，1, 且x1x2，f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x2)(x2x1)(x2x12)因为x1x2，所以x2x10；因为x1、x21，x1x2，所以x2x120.因此，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)于是根据“三段论”，得f(x)x22x在(，1上是增函数错源：归纳不准致误 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a2 009a2 010a2 011A1 003B1 005C1 006D2 010a1a2a3a4a5a6a7A8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6【纠错】本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准确“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2nn(nN*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交织后逐一递增，并且满足a4n3a4n10(nN*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n为偶数时ann，就会得到a2 009a2 010a2 0112010的错误结论，而选D.【正解】a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，这个数列的规律是奇数项为1，1,2，2,3，偶数项为1,2,3，故a2 009a2 0110，a20101 005，故a2 009a2 010a20111 005.故选B.【心得】归纳推理是由部分推至整体的一种合情推理，和类比推理一样，“合乎情理”是其主要特征，即我们作出的归纳首先要适合“部分”，如本题中的归纳也适合数列的前12项，其次归纳的结论要体现“部分”的发展规律，如本题中点的逐次上升和左右跳动类比推理得到的结论不一定是正确的结论，在一些问题中我们还要对归纳的结论进行严格的演绎推理证明，但在一些问题中我们也没有办法证明，只要得出的结论“合乎情理”即可，如本题中我们从“按如此规律下去”中归纳出的结论，就只能说合乎情理，而不能说完全正确，事实上点的变动可能还有其他的“后续规律”
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