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第四节数列求和第四节数列求和第四节数列求和第四节数列求和考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考1公式法求和公式法求和(1)直接由等差、等比数列的求和公式求和直接由等差、等比数列的求和公式求和(2)掌握一些常见数列前掌握一些常见数列前n项和项和123n_.135(2n1)_n2.2错位相减法错位相减法这是在推导等比数列的前这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列方法，这种方法主要用于求数列anbn的前的前n项和，其中项和，其中an，bn分别是分别是_和和_3倒序相加法倒序相加法将一个数列倒过来排列将一个数列倒过来排列(反序反序)，当它与原数列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是求和，它是_求和公式的推广求和公式的推广等差数列等差数列等比数列等比数列等差数列等差数列4分组转化法分组转化法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并然后再合并5裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：裂项相消时的注意事项有哪些？裂项相消时的注意事项有哪些？思考感悟思考感悟2(2011年镇江调研年镇江调研)设设f(n)2242721023n1(nN)，则，则f(n)等于等于_答案：答案：64数列数列an的通项公式的通项公式an(1)n1(4n3)，其前其前n项和为项和为Sn，则，则S100等于等于_答案：答案：200考点探究考点探究挑战高考挑战高考 倒序相加法求和倒序相加法求和这是推导等差数列的前这是推导等差数列的前n项和公式时所用的项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列，再把方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到它与原数列相加，就可以得到n个个(a1an)，其最简单的形式为：若数列其最简单的形式为：若数列an中有中有a1ana2an1a3an2，就可以用此方，就可以用此方法求和法求和【名师点评】【名师点评】当数列具有当数列具有“首尾配对首尾配对”，“中心对称中心对称”特征时，常用倒序相加法特征时，常用倒序相加法错位相减法求和错位相减法求和用乘公比错位相减法求和时，应注意用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；为负数的情形；(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将的表达式时应特别注意将两式两式“错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式利用错位相减法求和时，转化为等比数列求利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数和若公比是个参数(字母字母)，则应先对参数加以，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于讨论，一般情况下分等于1和不等于和不等于1两种情况两种情况分别求和分别求和 (2010年高考课标全国卷年高考课标全国卷)设数列设数列an满足满足a12，an1an322n1.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)令令bnnan，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.【思路分析】【思路分析】(1)由由an1an322n1的结的结构特点可知用迭代法或累加法求构特点可知用迭代法或累加法求an；(2)观察观察bn的通项式特点，用错位相减法求的通项式特点，用错位相减法求Sn.【名师点评】【名师点评】错位相减法的运用并不困错位相减法的运用并不困难，其难点是运算的结果不易计算正确，难，其难点是运算的结果不易计算正确，最后的结果，往往显得繁琐，因而整理化最后的结果，往往显得繁琐，因而整理化简过程中要格外细心简过程中要格外细心分组求和法分组求和法1数列求和应从通项入手，若无通项，则数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前差或等比或可求数列前n项和的数列来求项和的数列来求之之2常见类型及方法常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前，利用等差数列前n项和公式项和公式直接求解；直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前，利用等比数列前n项和公式直项和公式直接求解；接求解；(3)anbncn，数列，数列bn，cn是等比数列或等是等比数列或等差数列，采用分组求和法求差数列，采用分组求和法求an的前的前n项和项和【思路分析】【思路分析】(1)用用a1，q代入两已知条代入两已知条件，可求出件，可求出a1，q；(2)化简化简bn的式子，分组求和的式子，分组求和【名师点评】【名师点评】分组求和法要注意数列的特分组求和法要注意数列的特征或求和式子的特征，分成哪样的几种数列征或求和式子的特征，分成哪样的几种数列求和，怎样分组都是在解题过程中应特别要求和，怎样分组都是在解题过程中应特别要注意的注意的拆项、裂项求和法拆项、裂项求和法1利用裂项相消法求和时，应注意抵消利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等公式相等【思路分析】【思路分析】(1)由基本量的运算求出由基本量的运算求出an及及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相的式子为分式结构，考虑裂项相消法求和消法求和使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列数列an中每一项中每一项an均裂成一正一负两项，所均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点实质上，正负项相消是此法的目的特点实质上，正负项相消是此法的目的方法技巧方法技巧1求和问题可以利用等差、等比数列的前求和问题可以利用等差、等比数列的前n项项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数注意项数2非等差非等差(比比)的特殊数列求和题通常的解题思的特殊数列求和题通常的解题思路是：路是：(1)设法转化为等差数列或等比数列，这一思想设法转化为等差数列或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成方法往往通过通项分解或错位相消来完成(2)不能转化为等差不能转化为等差(比比)的特殊数列，往往通的特殊数列，往往通过裂项相消、错位相减和倒序相加法求和一过裂项相消、错位相减和倒序相加法求和一般如果数列能转化为等差数列或等比数列就用般如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差，般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差，一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项分组法分组法3数列求和的关键在于数列通项公式的表达数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题决窍种方法是这类题的解题决窍4通项公式中含有通项公式中含有(1)n的一类数列，在求的一类数列，在求Sn时要注意需分项数时要注意需分项数n的奇偶性讨论的奇偶性讨论失误防范失误防范1利用裂项相减法求和，裂项能否等价转化利用裂项相减法求和，裂项能否等价转化及怎样相消易出错，为避免出错，在裂项时，及怎样相消易出错，为避免出错，在裂项时，可检验一下；前可检验一下；前n项和的展开式可以多列举几项和的展开式可以多列举几项寻找项寻找“相消相消”的规律的规律2数列求和结果易化简出错，若使用方法不数列求和结果易化简出错，若使用方法不只一个，可以分别求出其中一部分的结果，化只一个，可以分别求出其中一部分的结果，化简后再整理，结果不一定最简，但要易于观察，简后再整理，结果不一定最简，但要易于观察，符合数学的习惯即可符合数学的习惯即可考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考从近几年江苏高考试题来看，数列求和常常会涉从近几年江苏高考试题来看，数列求和常常会涉及，不论是考查等差、等比数列直接求和，还是及，不论是考查等差、等比数列直接求和，还是错位相减法、裂项相消法等，都是考查的热点，错位相减法、裂项相消法等，都是考查的热点，题型以解答题为主，又往往与其他知识相结合，题型以解答题为主，又往往与其他知识相结合，考查综合运用知识的能力江苏省的数列题往往考查综合运用知识的能力江苏省的数列题往往设计新颖独特，突出考查学生分析问题的能力，设计新颖独特，突出考查学生分析问题的能力，题目有一定的难度题目有一定的难度预测在预测在2012年的江苏高考中，数列求和会以年的江苏高考中，数列求和会以解答题的形式出现，结合不等式的有关知识，解答题的形式出现，结合不等式的有关知识，成为较为综合的问题成为较为综合的问题【名师点评】【名师点评】本题主要考查结论本题主要考查结论anSnSn1，错位相减法求和及运算能力，对，错位相减法求和及运算能力，对复杂的关系要善于概括、归纳，抽象其本复杂的关系要善于概括、归纳，抽象其本质特征质特征1等差数列等差数列an中，中，Sn是前是前n项和，且项和，且S3S8，S7Sk，则，则k的值为的值为_答案：答案：42将正偶数划分为数组：将正偶数划分为数组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)，则第，则第n组各数的组各数的和是和是_(用含用含n的式子表示的式子表示)答案：答案：n3n
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