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高二数学高二数学 选修选修1-11.1.2-1.1.3 1.1.2-1.1.3 四种命题与四种命题与四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系学习目标：1：掌握四种命题的相互关系2：掌握四种命题的真假性定理，互为逆否命题的等价性定理重点：四种命题的相互关系，四种命 题的真假性定理难点：四种命 题的真假性定理的应用复习引入复习引入二、从构成来看，所有的命题都具由条件二、从构成来看，所有的命题都具由条件p和结论和结论q两部分构成两部分构成l“若若p则则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成也可写成“如果如果p,那么那么q” “只要只要p,就有就有q”等形式。等形式。l其中其中p和和q可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不是命题.一、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达一、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题的，可以判断真假的陈述句叫做命题 定义的要点：能判断定义的要点：能判断真假的陈述句真假的陈述句 判断为真的语句叫做真命题。判断为真的语句叫做真命题。 判断为假的语句叫做假命题。判断为假的语句叫做假命题。 下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和的条件和结论之间分别有什么关系？结论之间分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；3.若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。观察命题观察命题(1)与命题与命题(2)的条件和结论之间分别有什么的条件和结论之间分别有什么关系？关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；互逆命题互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆逆 命命 题题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即即 原命题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q,则则p例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的逆命题是的逆命题是“ ”。两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等观察命题观察命题(1)与命题与命题(3)的条件和结论之间分别有什么的条件和结论之间分别有什么关系？关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；3. 若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数不是周期函数.pqp 原命题原命题:若若p,则则qq 为书写简便为书写简便,常把条件常把条件p的否定和结论的否定和结论q的否定分别记作的否定分别记作 “p” “q”，读作读作“非非”“”“非非q”。否命题否命题:若若p,则则q互否命题：互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题互否命题。如果把其。如果把其中一个命题叫做中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做，那么另一个叫做原命题的否命题原命题的否命题。例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的否命的否命题是题是“ ”。同位角不相等，两直线不平行同位角不相等，两直线不平行观察命题观察命题(1)与命题与命题(4)的条件和结论之间分别有什么的条件和结论之间分别有什么关系？关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；4. 若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数.pqq 原命题原命题: 若若p, 则则qp逆否命题逆否命题: 若若q, 则则p互为逆否命题：互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做命题叫做互为逆否命题互为逆否命题。例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的逆否命题是的逆否命题是“ ”。 两直线不平行，同位角不相等两直线不平行，同位角不相等原命题原命题, ,逆命题逆命题, ,否命题否命题, ,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式: : 原命题原命题: : 逆命题逆命题: : 否命题否命题: : 逆否命题逆否命题: :若若 p, p, 则则 q q 若若 q q, , 则则 p p若若p p, , 则则q q若若q, q, 则则p p1：要写出一个命题的另外三个命题关键是要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设分清命题的题设和结论（即把原命题写成和结论（即把原命题写成“若若P则则q”的形式）的形式）2：（1）“或或”的否定为的否定为“且且”，（，（2）“且且”的否的否定为定为“或或”， （3）“都都”的否定为的否定为“不都不都”。注意：注意：三种命题中最难写三种命题中最难写 的是否命题的是否命题。2）原命题：若）原命题：若a=0, 则则ab=0。逆命题：若逆命题：若ab=0, 则则a=0。否命题：若否命题：若a 0, 则则ab0。逆否命题：若逆否命题：若ab0,则则a0。(真真)(假假)(假假)(真真)(真真)例例1 1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：断它们的真假：1）原命题：若）原命题：若x=2或或x=3, 则则x2-5x+6=0。逆命题：若逆命题：若x2-5x+6=0, 则则x=2或或x=3。否命题：若否命题：若x2且且x3, 则则x2-5x+60 。逆否命题：若逆否命题：若x2-5x+60，则，则x2且且x3。(真真)(真真)(真真)3) 原命题：若原命题：若a b, 则则 ac2bc2。逆命题：若逆命题：若ac2bc2,则则ab。否命题：若否命题：若ab,则则ac2bc2。逆否命题：若逆否命题：若ac2bc2,则则ab。（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）例例2 若若m0或或n0，则，则m+n0。写出其逆命题、。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。否命题、逆否命题，并分别指出其假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且且” “或或”的的否定为否定为“或或” “且且”。解：逆命题：若解：逆命题：若m+n0，则，则m0或或n0。否命题：若否命题：若m0且且n0, 则则m+n0.逆否命题：若逆否命题：若m+n0, 则则m0且且n0.（真）（真）（真）（真）（假）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。题真假等价。原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假一般地一般地, ,四种命题的真假性四种命题的真假性, ,有而且仅有下面四种有而且仅有下面四种情况情况: :四种命题的真假性关系如下：四种命题的真假性关系如下：1.1.两个命题两个命题互为逆否命题互为逆否命题，它们有，它们有相同相同的真假性；的真假性；2.2.两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题, ,它们的真假性没它们的真假性没有关系。有关系。四种命题之间的关系四种命题之间的关系原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则则p互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互否命题真假互否命题真假无关无关互否命题真假互否命题真假无关无关1.判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）（对）2.四种命题真假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（ ）个。）个。答：答：0个、个、2个、个、4个。个。3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）（错）练一练练一练3:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。(1)原命题：原命题： 若若 则则答答:逆命题：逆命题： 若若 则则 否命题：否命题： 若若 则则 逆否命题：逆否命题： 若若 则则 22baba 22ba ba ba 22ba 22baba (2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是原命题：若一个数是负数，则它的平方是0； 逆命题：逆命题：若一个数的平方是若一个数的平方是0，则它是负数；，则它是负数； 否命题：否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是若一个数不是负数，则它的平方不是0；逆否命题：逆否命题：若一个数的平方不是若一个数的平方不是0，则它不是负数，则它不是负数. 试判断上面命题的真假试判断上面命题的真假.真命题真命题假命题假命题假命题假命题真命题真命题假假假假假假假假4 4、把下列命题改写成、把下列命题改写成“若若p则则q”的形式，并写出它们的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题的逆命题、否命题与逆否命题. .并判断真假。并判断真假。解解：原命题原命题：若一个函数是奇函数若一个函数是奇函数 , 则它的图象则它的图象关于原点中心对称关于原点中心对称;逆命题：逆命题：若一个函数的图象关于原点中心对称若一个函数的图象关于原点中心对称,则它是奇函数则它是奇函数;否命题：否命题：若一个函数不是奇函数若一个函数不是奇函数 , 则它的图象不则它的图象不关于原点中心对称关于原点中心对称;逆否命题逆否命题:若一个函数的图象不关于原点中心对若一个函数的图象不关于原点中心对称称 , 则它不是奇函数则它不是奇函数.课本课本P4练习练习(3)奇函数的图象关于原点中心对称奇函数的图象关于原点中心对称.试判断上面命题的真假试判断上面命题的真假.真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题l否命题否命题是用是用否定条件也否定结论否定条件也否定结论的方式构成新命题。的方式构成新命题。l命题的否定命题的否定是逻辑联结词是逻辑联结词“非非”作用于判断作用于判断, ,只否定结只否定结论不否定条件。论不否定条件。l对于原命题对于原命题: : 若若 p , p , 则则 q q 有有 否命题否命题: : 若若p , p , 则则q q 。 命题的否定命题的否定: : 若若 p p ，则则q q 。例例.命题：命题：ABC中，若中，若C90，则，则A、B都是锐角都是锐角.命题的否命题是（命题的否命题是（ ），命题的否定是（），命题的否定是（ ）(A)ABC中，若中，若C90，则，则A、B都不是锐角都不是锐角(B)ABC中，若中，若C90，则，则A、B不都是锐角不都是锐角(C)ABC中，若中，若C90，则，则A、B都不一定是锐角都不一定是锐角(D) ABC中，若中，若C90，则，则A、B不都是锐角不都是锐角否命题与命题的否定否命题与命题的否定原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立所有的所有的不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x， 成立成立不等于不等于某个某个某些某些下面是一些常见词语的否定下面是一些常见词语的否定证明命题的方法证明命题的方法l方法一：方法一：直接法，直接法，从命题的条件从命题的条件p p出发，经出发，经推理直接得出结论推理直接得出结论p p，证明其为真命题；，证明其为真命题；l方法二：方法二：等价法，等价法，证明命题（若证明命题（若p p，则，则q q）的等价命题的等价命题逆否命题（若逆否命题（若q q，则，则q q）为真，则原命题也为真；为真，则原命题也为真；l方法三：方法三：反证法，反证法，证明证明命题的否定（若命题的否定（若p p，则则q q）为假命题，从而间接地证明了命题为假命题，从而间接地证明了命题（若（若p p，则，则q q）为真命题。）为真命题。例例1 1： 证明：证明：若若P PQ Q2 2，则，则P P2 2Q Q2 22.2. 证明一：要证证明一：要证“若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22”2” 只需证它的只需证它的逆否命题逆否命题“若若p p2 2q q2 22 2，则，则p pq2q2”成立。成立。 p p2 2q q2 2=2=2，则，则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2 逆否命题为真命题，逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。故原命题也为真命题。 证明二：证明二：假设假设p p2 2q q2 2=2=2，则则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2，这与命题的条件，这与命题的条件p pq q2 2相矛盾相矛盾， 假设不成立假设不成立，即，即p p2 2q q2 22 2， 故原命题为真命题。故原命题为真命题。（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）关于反证法关于反证法证明二（反证法）：证明二（反证法）：假设假设p p2 2q q2 2=2=2， 则则2=p2=p2 2q q2 22pq pq12pq pq1 （p+qp+q）2 2 =p=p2 2q q2 2+2pq=2+2pq 4+2pq=2+2pq 4 p+qp+q 2 2， 这与命题的条件这与命题的条件p pq q2 2相矛盾相矛盾， 假设不成立假设不成立，即，即p p2 2q q2 22 2， 故原命题为真命题。故原命题为真命题。例例1 1： 证明：证明：若若p pq q2 2，则，则p p2 2q q2 22.2.假设原命题结假设原命题结论的反面成立论的反面成立看能否推出原命题看能否推出原命题条件的反面成立条件的反面成立尝试成功尝试成功得证得证反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。 反设反设归谬归谬结论结论推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。2、导出矛盾有四种可能：、导出矛盾有四种可能：（1）与原命题的条件（）与原命题的条件（题设）题设）矛盾；矛盾；（2）与定义、公理、定理等矛盾；）与定义、公理、定理等矛盾；（3）与结论的反面（）与结论的反面（反设）反设）成立矛盾。成立矛盾。（1 1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2 2）唯一性命题；）唯一性命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性命题。）否定性或肯定性命题。3 3、反证法的使用范围：、反证法的使用范围：几点注意：几点注意：（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。P8 习题习题1.1 B组组 例例2：求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。：求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。 已知：如图，在已知：如图，在O O中，弦中，弦ABAB、CDCD交于交于P P，且，且ABAB、CDCD不不是直径是直径. . 求证：弦求证：弦ABAB、CDCD不被不被P P平分平分. . 证明：假设证明：假设ABAB、CDCD被被P P平分，平分， 则则OPOP是等腰是等腰AOB, AOB, CODCOD的底边上的中线，的底边上的中线， 所以，所以，OPOPAB, OPAB, OPCDCD 但但ABAB和和CDCD都经过点都经过点P,P,且与且与OPOP 垂直，这是不可能的，垂直，这是不可能的， 所以假设不成立，所以假设不成立， 故弦故弦ABAB、CDCD不被不被P P平分，平分， 命题得证。命题得证。连结连结OA,OB,OC,ODOA,OB,OC,OD及及OP,OP,1.本节重点研究了四种命题的概念与相互关系。即如本节重点研究了四种命题的概念与相互关系。即如果果 原命题为：若原命题为：若p则则q，则它的逆命题为：若，则它的逆命题为：若q则则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：若若p则则q即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题；逆否命题为：若题；逆否命题为：若q则则p，即交换原命题的条件和结，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即得其逆否题；论，并且同时否定，即得其逆否题； 2.两个互为逆否的命题同真或同假两个互为逆否的命题同真或同假 3.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。法。
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