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12 掌握探究与圆锥曲线相关的最值问题、定点与定值问题、参变数取值范围问题的基本思想与方法，培养并提升运算能力和思维能力.31.已知R,则不论取何值，曲线C：x2-x-y+1=0恒过定点( )DA.(0,1) B.(-1,1)C.(1,0) D.(1,1) 由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1,可知不论取何值,曲线C过定点(1,1).依题设,即解析423,22 A 3,3 B2,21 C (1) D0,022. AFyxPPAPFP 若点 的坐标为， 为抛物线的焦点， 点 在抛物线上移动，为使取最小值， 点的坐标为 ，B解析.2,2PFPlPQAPQPAPFP 如图，根据抛物线的定义可知等于点 到准线 的距离则当 、 、三点共线时最小，此时，可求得5212350 102 10 A. B.5557 5 C. 3. D.5 5 yxxy 抛物线与直线的最近距离 为 B解析222()12|35|112350( 1)4101042 10.5101Byyyyxyd代数法抛物线上的点，到直线的距离 ， 方故选法 ：622235030440161601.310.350310|51|2 10.5321xyxytyytttxyxyxy 几何法设与平行的抛物线的切线方程为，代入抛物线方程得，所以从而切线方程为直线与之间的距离即为所求最近距离， 方为法 ：74.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则POQ的面积为定值 .1 如图,双曲线x2-y2=4的两条渐近线为y=x,即xy=0.又|PQ|= ,|PR|= ，所以SPOQ= |PQ|PR|= =1.00|2xy00|2xy122200|4xy解析81.基本概念在圆锥曲线中，还有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.而当某参数取不同值时，某几何量达到最大或最小，这就是我们指的最值问题.曲线遵循某种条件时，参数有相应的允许取值范围，即我们指的参变数取值范围问题.92.基本求法解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体，以函数、不等式、导数等知识为背景，综合解决实际问题，其常用方法有两种：(1)代数法：引入参变量，通过圆锥曲线的性质，及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等，用变量表示(计算)最值与定值问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、定值；10(2)几何法：若问题的条件和结论能明显的体现几何特征，利用图形性质来解决最值与定值问题.在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题,解法通常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,11 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域.12PA BA PB AB 题型一 定点、定值问题 已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点，且满足| | |= . (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知点M(m,2)在曲线C上，过点M作直线l1、l2与C交于D、E两点，且 l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2=2,求证：直线DE过定点，并求此定点.例113PA BA PB AB PA BA PB AB 22(1)xy214y224y122211221144yyyy (1)设P(x,y),则 =（1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0).因为| | |= ，所以 2=2(x+1),即y2=4x,所以点P的轨迹C的方程为y2=4x .(2)证明:由(1)知M(1,2),设D( ,y1),E( ,y2),所以k1k2= =2,整理得(y1+2)(y2+2)=8. 解析14kDE= = =k,所以y1+y2= . 由知y1y2=4- ,所以直线DE的方程为y-y1= (x- ),整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,即4x- y+4- =0,即(x+1)k-(y+2)=0,所以直线DE过定点(-1,-2).4k12221244yyyy124yy8k124yy214y4k8k15 与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量，将题设转化为坐标关系式，然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时，坐标关系式恒成立的条件，而获得定点坐标.评析16 如图，F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线C的两焦点,其一条渐近线方程为y= x,A1、A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一 动点，直线A1P,A2P交直线 x= 分别于M、N两点. (1)求双曲线C的方程； (2)求证： 是定值.524312FM F N 素材117ba522245xy1AP2A P 1AM1032A N23 (1)由已知，c=3, = .又c2=a2+b2，所以a=2,b=5.所求双曲线C的方程为 =1.(2)证明：设P的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐标分别为y1、y2,因为A1(-2,0),A2(2,0),所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ，y1), =(- ,y2).解析18因为 与 共线，所以(x0+2)y1= y0,y1= .同理y2=- .因为 =( ,y1), =(- ,y2),所以 =- +y1y2=- -=- - =-10，为定值.1AP1AM10300103(2)yx 0023(2)yx 1FM1332F N 531FM2F N 6596592020209(4)yx 65920205(4)2049(4)xx1924x12PF PF 设F1、F2分别是椭圆 +y2=1的左、右焦点. (1)若P是该椭圆上的一个动点,求 的最大值与最小值； (2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.例2题型二 最值与范围问题20 (1)由方程易知a=2,b=1,c= ，所以F1(- ,0),F2( ,0).设P(x,y),则 =(- -x,-y)( -x,-y)=x2+y2-3=x2+1- -3 = (3x2-8).因为x-2,2，所以0 x2，故3324x12PF PF 331412PFPF 解析3 2,1. 21(2)显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去y,整理得(k2+ )x2+4kx+3=0.所以x1+x2= ,x1x2= .由=(4k)2-4(k2+ )3=4k2-30,解得k 或k- . 联立方程组24x142414kk 2314k 14323222又0AOB0,得 0, 所以 =x1x2+y1y20.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= .所以 + 0,即k24. 结合、知,k的取值范围是(-2,- )( ,2).OA OB OA OB 22314kk 22814kk22114kk2314k 22114kk323223 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：（1）构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解（如本题第（2）问）；（2）构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解（如本题第（1）问）.在解题的过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.评析2422121212yFFxABFABF 已知 、为椭圆的两个焦点，是过焦点 的一条动弦，求面积的最大值素材2解析1212222222 |2.1.2222102122ABABF FFFABykxxykxkxkxxxxkk 由题意，设上焦点为 ，下焦点为设直线的方程为代入椭圆方程，得，则，2522221222222281211|2 2221 21111 2 22.21110. 2ABABkxxkkS ABFF FS AxxkkBFkkkk 所以，当且仅当，即时有最大值为，26题型三 圆锥曲线综合问题例3 2222221010OP0()11323122xyabxyabPQOQOabe 若椭圆与直线相交于 、 两点，且为坐标原点求证：等于定值；若椭圆离心率，时，求椭圆长轴长的取值范围27解析 22222222222222222211221222212122222 10 210. 01001.()()21. 1b xa ya bxyabxa xaba babababP xyQ xyxxaabxxx xabab 证明：由 由 ， 因为 ，所以 设，则 ， 是的两根， 所以，12121212222222 00210 1122OP OQx xy yx xxxaba bab 由得， 即， 将代入得，所以，为定值28 222222222221222121122 12 1325632222 526aba beaeeaeeeaa 由得， 所以， 又，所以， 长轴， 评析 本题综合考查直线与椭圆的位置关系及定值问题和取值范围问题考查运算能力、思维能力及综合分析问题的能力29 抛物线有光学性质，由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线的对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p0),一光源在点M( ,4)处， 由其发出的光线沿平行于抛 物线的对称轴的方向射向抛 物线上的点P,折射后又射向 抛物线上的点Q，41430 再折射后，又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，途中遇到直线l:2x-4y-17=0上的点N，再折射后又射回点M. (1)设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),证明：y1y2=-p2; (2)求抛物线的方程； (3)试判断在抛物线上是否存在一点,使该点与点M关于PN所在的直线对称?若存在,请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由.312p1k2p2p2pk2p解析 (1)证明:由抛物线的光学性质及题意知，光线PQ必过抛物线的焦点F( ,0),设直线PQ的方程为y=k(x- ). 由式得x= y+ ,将其代入抛物线的方程y2=2px中,整理得y2- y-p2=0,由韦达定理得y1y2=-p2.当直线PQ的倾斜角为90时，将x= 代入抛物线方程得y=p,同样得到y1y2=-p2.32(2)设光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称.设点M（ ，4）关于l的对称点为M(x,y), =-1 x= -17=0 y=-1.514414则414124yx41442422xy ,解得33直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标为y2=-1.由题设P点的纵坐标为y1=4,由(1)知y1y2=-p2,则4(-1)=-p2得p=2,故所求抛物线的方程为y2=4x.(3)将y=4代入y2=4x得x=4，故P点的坐标为（4，4）.将y=-1代入直线l的方程2x-4y-17=0,得x= ，故N点的坐标为( ,-1).由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y-12=0.13213234设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1), (-2)=-1 x1= -12=0 y1=-1,即M1( ,-1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点（ ，-1）与点M关于直线PN对称.114414yx则114144222xy,解得14141435本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力对称问题是直线方程的一个重要应用对称问题常有：点关于直线对称，直线关于直线对称、圆锥曲线关于直线对称，圆锥曲线关于点对称问题，但解题方法评析：是一样的361.若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为f(x,y)+g(x,y)=0(其中为参变数)，由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标.372.在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.3.解析几何中的最值问题，或数形结合，利用几何性质求得最值，或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数，然后应用代数方法求得最值.382211,12yxPLABPAB 已知双曲线，过能否作一条直线 与双曲线交于 、 两点，且 为中点错解222221221221112 221120.21 ,221 22.2221PxPyk xyxkxkk xkkkxxkkkxxkkyx 过点 且与 轴垂直的直线显然不符合要求设过点 的直线方程为， 代入并整理得，所以又因为，所以 解得，故直线方程为，即直线是存在的39错解分析0. 未考虑隐含条件正解0,20k 接以上过程，考虑隐含条件当时代入方程可知，故这样的直线不存在
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