高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第五章 第六节数列的综合问题课件 理

第六节第六节 数列的综合问题数列的综合问题第五章第五章【例1】设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列等差、等比数列知识的综合自主解答：(1)解析：解析：设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3，由a10，q0，得q2q20，解得q12，q21(舍去)，所以q2.(2)证明：证明：(法一)对任意kN，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列点评：点评：求解等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，根据已知条件列出正确的方程或者方程组，求出数列的基本量，这样过程往往用到转化与化归的思想方法因此，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列变式探究变式探究解析：设等差数列的公差为d，则1(9)4d，得d2，而a1a32d4，b(9)(1)9，且b20，所以b23.所以 故选D.答案：D数列与函数知识的综合自主解答：(3)证明：由(1)知lg(1an)2n1lg(1a1)2n1lg 3lg 32n1，1an32n1.Tn(1a1)(1a2)(1an)32032132232n1312222n132n1，点评：数列与函数的综合问题，一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题 变式探究变式探究2.(2013杭州名校模考)如图所示，设曲线y 上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形：OB1A1，A1B2A2，直角顶点在曲线y 上设An的坐标为(an,0)，A0为原点(1)求a1，并求出an和an1(nN*)之间的关系式；(2)求数列an的通项公式；(3)设bn (nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【例3】已知f(x)(x1)2，g(x)10(x1)，数列an满足a12，(an1an)g(an)f(an)0，bn (n2)(an1)(1)求证：数列an1是等比数列；(2)当n取何值时，bn取最大值，并求出bn的最大值数列与不等式的综合点评：点评：数列与不等式的综合问题有两类：(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明变式探究变式探究3 已知各项都是正数的等比数列an中，存在两项am，an(m，nN*)，使得 4a1，且a7a62a5，则 的最小值是()解析：解析：设等比数列的公比为q(q0)，则a5q2a5q2a5，解得q2，amana2mn242a，得mn6.等号在m2，n4时成立故选A.答案：A数列与算法的综合【例4】(2012常州模拟)根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，xn，x2 012；y1，y2，yn，y2 012.(1)求数列xn的通项公式xn；(2)写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列yn的一个通项公式yn，并证明你的结论；(3)求Znx1y1x2y2xnyn(xN*，n2 012)解析：解析：(1)由框图知，数列xn中，x11，xn1xn2，xn12(n1)2n1(nN*，n2 012)(2)由框图知，数列yn中，yn13yn2，y12，y28，y326，y480.由yn13yn2，得 yn113(yn1)， 3，y113.数列yn1是以3为首项，3为公比的等比数列yn133n13n.yn3n1(nN*，n2 012)数列yn1是以3为首项，3为公比的等比数列yn133n13n.yn3n1(nN*，n2 012)(3)Znx1y1x2y2xnyn1(31)3(321)(2n1)(3n1)13332(2n1)3n13(2n1)记Sn13332(2n1)3n，则3Sn132333(2n1)3n1，得，2Sn323223323n(2n1)3n12(3323n)3(2n1)3n12 3(2n1)3n13n16(2n1)3n12(1n)3n16，Sn(n1)3n13.又13(2n1)n2，Zn(n1)3n13n2(nN*，n2 012)点评：点评：解答数列与算法的综合问题的一般步骤：(1)读懂程序框图，把算法语言转化为数学语言；(2)确定数列的类型，选择对应的定义、公式求解问题变式探究4执行如图所示的算法框图，若p4，则输出的S_.解析：解析：程序执行过程为：n1，S ；数列的实际应用【例5】(2013扬州质检)某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2008年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2012年年底分红后的资金；(2)求该企业到哪一年年底分红后的资金超过32 500万元解析：解析：设an为(2008n)年年底分红后的资金，其中nN*，则a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列an5001 0002n1，an1 0002n1500.(1)a41 0002415008 500，该企业2012年年底分红后的资金为8 500万元(2)由an32 500，即2n132，得n6，该企业2015年年底分红后的资金超过32 500万元点评：点评：解答数列应用题的步骤：(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到实际问题中变式探究变式探究5某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n天(1)工作n天，记三种付费方式薪酬总金额依次为An，Bn，Cn，写出An，Bn，Cn关于n的表达式(2)如果n10，你会选择哪种方式领取报酬？解析：解析：(1)三种付酬方式每天金额依次为数列an，bn，cn，它们的前n项和依次分别为An，Bn，Cn.依题意，第一种付酬方式每天金额组成数列an为常数数列，An38n.第二种付酬方式每天金额组成数列bn为首项为4，公差为4的等差数列，则Bn4n 42n22n.第三种付酬方式每天金额组成数列cn为首项是0.4，公比为2的等比数列，则Cn 0.4(2n1)(2)由(1)知，当n10时，A1038n3810380，B102n22n2102210220，C100.4(2n1)0.4(2101)409.2.B10A10C10.应该选择第三种付酬方案