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第一章 集合理解教材新知1集合的含义与表示把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二知识点三考点一考点二考点三 一位渔民非常喜欢数学，但他一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义于是，怎么也想不明白集合的意义于是，他请教数学家：他请教数学家：“尊敬的先生，请你尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？告诉我，集合是什么？”集合是不加集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位定义的概念，数学家很难回答那位渔民渔民 有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动数学家非常激动，高兴轻轻一拉，许多鱼在网中跳动数学家非常激动，高兴地告诉渔民：地告诉渔民：“这就是集合！这就是集合！” 问题问题1：数学家说的集合是指什么？：数学家说的集合是指什么？ 提示：提示：网中的所有鱼的全体网中的所有鱼的全体 问题问题2：网中的：网中的“大鱼大鱼”能构成集合吗？能构成集合吗？ 提示：提示：不能不能 一般地，指定的某些对象的一般地，指定的某些对象的 称为集合集合常称为集合集合常用用 标记集合中的每个标记集合中的每个 叫叫作这个集合的元素元素常用作这个集合的元素元素常用 标记标记.全体全体 大写字母大写字母A，B，C，D，对象对象小写字母小写字母a，b，c，d在知识点在知识点1的入门答辩所涉及的情景中的入门答辩所涉及的情景中问题问题1：网内的每一条鱼与集合的关系是什么？：网内的每一条鱼与集合的关系是什么？提示：提示：每一条鱼都是集合的元素，均在集合中每一条鱼都是集合的元素，均在集合中问题问题2：网外面的鱼与集合的关系是什么？：网外面的鱼与集合的关系是什么？提示：提示：不是集合的元素不是集合的元素 1元素与集合的关系元素与集合的关系 (1)若元素若元素a在集合在集合A中，就说元素中，就说元素a 集合集合A，记作，记作 . (2)若元素若元素a不在集合不在集合A中，就说元素中，就说元素a 集合集合A，记作记作 .属于属于aAa A不属于不属于2常用数集及表示符号常用数集及表示符号名称名称非负整数集非负整数集(自然数集自然数集)正整正整数集数集整数集整数集有理有理数集数集实数集实数集符号符号NNZQR给出下列集合：给出下列集合：(1)小于小于10的所有正偶数组成的集合的所有正偶数组成的集合A；(2)方程方程x2x10的根组成的集合为的根组成的集合为B；(3)所有奇数组成的集合为所有奇数组成的集合为C.问题问题1：将集合：将集合A中的元素一一列举出来中的元素一一列举出来提示：提示：2、4、6、8.问题问题2：集合：集合B中的元素满足的条件是什么？中的元素满足的条件是什么？提示：提示：x2x10.问题问题3：如何表示集合：如何表示集合C ？提示：提示：C奇数奇数或或x|x2n1，nZ 1集合的表示方法集合的表示方法 集合的常用表示法有列举法和描述法集合的常用表示法有列举法和描述法 (1)列举法：把集合中的元素列举法：把集合中的元素 出来写在大出来写在大括号内的方法叫列举法括号内的方法叫列举法 (2)描述法：用描述法：用 表示某些对象是否属于这表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法个集合的方法叫描述法一一列举一一列举确定的条件确定的条件 2集合的分类集合的分类 集合可分为有限集和无限集，含集合可分为有限集和无限集，含 元素的集元素的集合叫作有限集，含合叫作有限集，含 元素的集合叫作无限集元素的集合叫作无限集 不含有任何元素的集合叫作不含有任何元素的集合叫作 ，记作，记作 .有限个有限个无限个无限个空集空集 1集合中元素的特性集合中元素的特性 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个定的即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的要么是该集合中的元素集合是确定的要么是该集合中的元素,要么不是，二者必要么不是，二者必居其一居其一 (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的如方于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的如方程程(x1)20的解构成的集合为的解构成的集合为1，而不能记为，而不能记为1,1 (3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合a，b，c与与b，a，c是相等的集合是相等的集合 2列举法与描述法列举法与描述法 列举法适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集列举法适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集合时，只需把它的元素一一列举出来即可同时，要注意合时，只需把它的元素一一列举出来即可同时，要注意自然语言与集合语言的区别描述法多适用于元素个数有自然语言与集合语言的区别描述法多适用于元素个数有无穷多的集合，用描述法表示集合，关键在于确定代表元无穷多的集合，用描述法表示集合，关键在于确定代表元素及代表元素所满足的条件素及代表元素所满足的条件 3根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无限集限集 例例1考察下列每组对象能否组成一个集合？考察下列每组对象能否组成一个集合？ (1)2011参加世界大学生运动会的所有国家；参加世界大学生运动会的所有国家； (2)2010年上海世博会的所有漂亮的展馆；年上海世博会的所有漂亮的展馆； (3)参加参加2012年五年五四青年节联欢晚会的所有同学；四青年节联欢晚会的所有同学； (4)直角坐标系中，接近原点的点直角坐标系中，接近原点的点 思路点拨思路点拨根据本题所列举的元素是否具有确定根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判断的属性来判断 精解详析精解详析(1)中中“所有国家所有国家”，(3)“所有同学所有同学”，都有确定，都有确定的的“属性属性”，能组成集合，能组成集合 (2)中中“漂亮漂亮”展馆，没有明确的标准，展馆，没有明确的标准，(4)中中“接近原点接近原点”，界限不明，都不能组成集合界限不明，都不能组成集合 综上可知，综上可知，(1)(3)能组成集合，能组成集合，(2)(4)不能组成集合不能组成集合 一点通一点通判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象若鉴定对象的客观否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象若鉴定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合合1下列各组对象：接近于下列各组对象：接近于0的数的全体；比较小的数的全体；比较小 的的 正整数的全体；平面上到点正整数的全体；平面上到点O的距离等于的距离等于1的点的全的点的全 体；正三角形的全体；体；正三角形的全体； 的近似值的全体其的近似值的全体其 中能构成集合的组数是中能构成集合的组数是 () A2B3 C4 D5答案：答案：A2判断下列对象能否构成集合判断下列对象能否构成集合 某中学里较胖的同学；某中学里身高超过某中学里较胖的同学；某中学里身高超过1.75米的米的 同学；第同学；第29届奥运会中的所有比赛项目；大于届奥运会中的所有比赛项目；大于4且且 小于小于8的偶数的偶数 解：解：中因为未规定胖的标准，即没有明确的标准划分中因为未规定胖的标准，即没有明确的标准划分 胖与不胖，所以不能构成集合，而中的对象是胖与不胖，所以不能构成集合，而中的对象是 确定的，所以能构成集合确定的，所以能构成集合. 例例2已知已知x21,0，x，求实数，求实数x的值的值 思路点拨思路点拨分类讨论分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍据集合中元素的互异性进行取舍 精解详析精解详析若若x20，则，则x0，此时集合为，此时集合为1,0,0，不符合集合中元素的互异性，舍去不符合集合中元素的互异性，舍去 若若x21，则，则x1. 当当x1时，时， 集合为集合为1,0,1，不符合集合中元素的互，不符合集合中元素的互异性，舍去；异性，舍去； 当当x1时，集合为时，集合为1,0，1，符合要求，符合要求 若若x2x，则，则x0或或x1，不符合集合中元素的互异性，不符合集合中元素的互异性，都舍去都舍去 综上可知，综上可知，x1. 一点通一点通这类问题既要讨论元素的确定性，又要利这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，元素的确定性常被用来判断用互异性检验解的正确与否，元素的确定性常被用来判断涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中未知的元素表示是否正确，或用来求集合中未知的元素3若集合若集合Ma，b，c中的元素是中的元素是ABC的三边长，的三边长， 则则ABC一定不是一定不是 () A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形 解析：解析：集合中的任何两个元素是不能相同的，所以集合中的任何两个元素是不能相同的，所以a， b，c不相等不相等 答案：答案：D4已知集合已知集合Aa2，(a1)2，a23a3，若，若1A， 求实数求实数a的值的值 解：解：1A，a2，(a1)2，a23a3都可能等于都可能等于1. 若若a21，则，则a1，此时，此时A中的元素为中的元素为1,0,1， 与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；若若(a1)21，则，则a0或或a2，当当a0时，时，A2,1,3适合题意，适合题意，当当a2时，时，A中的元素为中的元素为0,1,1，与集合中元素的互异，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；性矛盾，舍去；若若a23a31，则，则a1或或a2，由知都不，由知都不合题意，舍去合题意，舍去综上所述，综上所述，a0. 一点通一点通 1用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型一般地，数集用一个字母是数集、点集还是其他的类型一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示若描述部代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如指出取值范围，如(2)小题小题 2对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法素间存在明显规律的集合，可采用列举法5集合集合xN|x32用列举法可表示为用列举法可表示为 () A0,1,2,3,4 B1,2,3,4 C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5 解析：解析：x32，x325. xN， 集合表示为集合表示为1,2,3,4 答案：答案：B解析：解析：中含有两个元素，且都是式子，而方程组的解中含有两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，所以不正确；代表元集中只有一个元素，是一个点，所以不正确；代表元素是点的形式，且对应值与方程组的解相同，所以正确；素是点的形式，且对应值与方程组的解相同，所以正确；中含有两个元素，是数集，所以不正确；没有用中含有两个元素，是数集，所以不正确；没有用“”括起来，不表示集合，所以不正确；正确；中代表括起来，不表示集合，所以不正确；正确；中代表元素与方程组解的一般形式不符，所以不正确元素与方程组解的一般形式不符，所以不正确答案：答案：7用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是 无限集无限集 (1)由所有非负奇数组成的集合；由所有非负奇数组成的集合； (2)由所有小于由所有小于20，既是奇数又是质数的数组成的集合；，既是奇数又是质数的数组成的集合； (3)方程方程x2x20的实数解组成的集合；的实数解组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合 1组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等可以是人或物等 2用列举法表示集合应注意：用列举法表示集合应注意： 元素间用元素间用“，”隔开；元素不重复；不考虑元素顺隔开；元素不重复；不考虑元素顺序；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有序；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显的规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清明显的规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号；楚后方能用省略号；“”含有含有“所有所有”“整体整体”的含义，如所的含义，如所有实数构成的集合可以写为有实数构成的集合可以写为实数实数，写为，写为实数集实数集、全体实全体实数数都是错误的都是错误的 3用描述法表示集合应注意：用描述法表示集合应注意： 写清楚该集合中元素的代号写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号用字母表示的元素符号)；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应当准确使用多层描述时，应当准确使用“或或”“且且”“非非”；所有描述的；所有描述的内容都要写在集合括号内；用于描述的语句力求简明、准内容都要写在集合括号内；用于描述的语句力求简明、准确确点击下列图片进入应用创新演练
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