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第五章 基本图形（一）第20课线段、角、相交线和平行线基础知识 自主学习1. 线段沿着一个方向无限延长就成为 ；线段向两方无限延长就成为 ；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分2. 直线的基本性质： 线段的基本性质： ，连结两点的 ，叫做两点之间的距离3有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形(1)1周角 平角 直角 ,1 ,1 .(2)小于直角的角叫做 ；大于直角而小于平角的角叫做 ；度数是90的角叫做 要点梳理要点梳理射线射线直线直线两点确定一条直线两点确定一条直线两点之间线段最短两点之间线段最短线段的长度线段的长度243606060锐角锐角钝角钝角直角直角4. 两个角的和等于90时，称这两个角 ，同角(或等角)的余角相等 两个角的和等于180时，称这两个角 ，同角(或等角)的补角相等5. 角平分线和线段中垂线的性质：角平分线上的到 线段中垂线上的点到线段 到角两边的距离相等的点在角平分线上 到线段两个端点的距离相等的点在线段的中垂线上6. 两条直线相交，只有 两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的每一对角叫做对顶角，对顶角 互为余角互为余角互为补角互为补角角两边的距离相等角两边的距离相等两个端点的距离相等两个端点的距离相等一个交点一个交点相等相等7. 两条直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相 ，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 从直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离连结直线外一点与直线上各点的所有线段中 8. 垂 直 于 一 条 线 段 并 且 平 分 这 条 线 段 的 直 线，叫 做 这 条线段的 ，也叫线段的中垂线9. 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行垂直垂直垂线垂线垂足垂足垂线段的长度垂线段的长度垂线段最短垂线段最短垂直平分线垂直平分线10. 平行线的判定及性质： (1)判定： 在同一平面内 的两条直线叫做平行线； 相等，两直线平行； 相等，两直线平行； ，两直线平行； 在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行； 平行于同一直线的两直线平行 (2)性质： 两直线平行， ； 两直线平行， ； 两直线平行， 不相交不相交同位角同位角内错角内错角同旁内角互补同旁内角互补同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补难点正本疑点清源 1正确理解线段、射线、直线的概念 点通常表示一个物体的位置，无大小可言点动成线，线有弯曲的，也有笔直的，弯曲的线叫做曲线；而笔直的线，若向两边无限延伸，没有端点且无粗细可言就叫做直线，射线是直线的一部分，向一方无限延伸，有一个端点，线段也是直线的一部分，有且只有两个端点 “延伸”和“延长”是两个不同的概念线段不能延伸，但可以延长；直线与射线是可以无限延伸，线段向一方延长的部分，叫做线段的延长线，指定哪个方向延长就是向哪个方向延长；反向延长的部分叫做反向延长线，如延长线段AB即为反向延长线段BA. 线段的延长线即指线段向一方延长的部分，延长线常画成虚线线段的延长线是有方向的，作延长线时要特别注意表示线段的字母的顺序，以便确定延长方向注意：一条线段可以延长，但线段的延长线不是原线段的一部分 2理解同一平面内两条直线的相互位置关系 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行“在同一平面内”是其前提，离开了这个前提，不相交的直线就不一定平行了，因为在空间里存在着既不平行也不相交的两条直线，如正方体的有些棱所在的线既不相交也不平行基础自测1(2011桂林)下面四个图形中，12一定成立的是()答案答案B解析在解析在B图中，图中，1、2有相同的顶点，且角的两边互为有相同的顶点，且角的两边互为反向延长线，反向延长线，1与与2是对顶角，所以是对顶角，所以12.2(2011茂名)如图，已知ABCD, 则图中与1互补的角有() A2个 B3 个 C4个 D5个答案答案A解析解析ABCD，1AEF180.又又CFD180，1EFD180，所以与，所以与1互补的角有互补的角有AEF、EFD共共2个个3(2011金华)如图，有一块含有45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果120，那么2的度数是() A30 B25 C20 D15答案答案B解析解析ABCD，又又3245，3120，2453452025.4(2011绍兴)如图，已知AB/CD，BC平分ABE，C34，则BED 的度数是() A17 B34 C56 D68 答案D 解析ABCD， CABC34， BEDABE. 又BC平分ABE， ABE2ABC23468， BED68.5(2011黄石)平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为() A5 B6 C7 D8 答案C题型分类 深度剖析【例 1】已知E、F两点把线段AB分成2 3 4三部分，D是线段AB的中点，FB12，求DF的长及AE：AD. 解如图，设AE2x，EF3x，FB4x，则AB9x. D是AB的中点，ADBD4.5x. FB12，4x12，x3. 又AF2x3x5x， DF5x4.5x0.5x0.531.5. AE AD2x 4.5x2 4.54 9.探究提高在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件； 学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式或方程来解答题型一线段的计算 题型二相交线【例 2】如图，直线AB、CD相交于点O，OEAB，垂足为O，如果EOD42，则AOC_. 答案48 解析OEAB，AOE90. AOCEOD180AOE90. EOD42，AOC904248.探究提高当已知中有“相交线”出现的时候，要充分挖掘其中隐含的“邻补角和对顶角”，以帮助解题知能迁移2(1)(2010宁波)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是AOD内一点，已知OEAB，BOD45，则COE的度数是() A125 B135 C145 D155 答案B 解析OEAB， EOA90. AOCBOD45， COEEOAAOC9045135.(2)如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分EOC，若EOC100，则BOD的度数是() A20 B40 C50 D80 答案C题型三平行线【例 3】(1)如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BCAD的是() A34 BAADC180 C12 DA5 答案C 解析BC、AD被BD所截，当12时，BCAD，应选C.(2)如图，ab，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，求123之和解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！解：解： 思路一：延长思路一：延长MP交交b于于Q，因为因为ab，所以，所以14，故故123423，PQN的三外角之和等于的三外角之和等于360.思路二：连接MN，则原1被分成5、6之和，原3被分成7、8之和，又58180，267180，所以123(627)(58)360.探究提高本例中集中给出了多种辅助线的作法，以构造平行线 或构造“三线八角”基本图形为主要原则，利用平行线的性质求 角度思路三：过P画ca，因为ab，所以cb，原2被分成9、10之和，因为19180，310180，所以123360.知能迁移3(1)(2011德州)如图，直线l1l2, 140，275，则3等于() A55 B60 C65 D70 答案C 解析如右图，在ABC中，BAC275，ABC140.3180BACABC65.(2)如图，ab，1105，2140，则3的度数是() A75 B65 C55 D50 答案B 解析如图，过点B画，ca. ab， bc. 14180， 25180， 475，540， 31804565题型四与直线交点个数有关的探究问题探究提高探究提高此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化 规律也可以得到探究结果，熟记本题的探究结果，对解决一些规律也可以得到探究结果，熟记本题的探究结果，对解决一些 问题会有所帮助问题会有所帮助知能迁移4(1)(2011柳州)如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是() A1条 B2条 C3条 D4条 答案C 解析有三条线段AB、AC、BC.(2)在某次商业聚会中，聚会结束后同桌的六个客人都互相握了手，聚会开始时这六个客人也都互相问了好，那么，他们一共有多少次握手，多少次问好？易错警示13因概念理解不清，造成角的计算错误剖析若不用方程的思想方法来考虑本题，可能无法下手，或以错误告终本题已知角度的数量关系及某一个角的度数，要求其他角的度数，因为给出度数的角DOE不能运用角平分线，也不知DOE与其他角的任何关系，因此DOE72，这个条件用不上，那么此时可以考虑在应用题中学习的一种方法，当某个量不知道或不好表示时，我们常用未知数把这个量设出来，其他的量也都可以用这个未知数表示出来，再列出方程解出这个未知数当然，未知数的设法有多种批阅笔记本题采用间接设未知数的方法，设AODx，则可知DOBx，BOE72x，EOC2(72x)，最后利用AODDOBBOEEOC180这个等量关系列出方程解出x的值，利用方程的思想方法来解题，用代数的方法来解决几何问题. 思想方法 感悟提高方法与技巧 1. 掌握平面几何的基本概念，正确理解平面几何的基本内容和方法，是学好平面几何的第一步 2. 重视名词的定义，抓住概念的本质，养成结合图形理解概念的习惯 3. 一个概念要有一个名词或一个词组来表示说明一个名词的含义，使各名词互不混淆的语句，叫做名词的定义例如：角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形显然，在定义的语句中，必须使用另外的一些名词以角的定义为例，就使用了“端点”、“射线”、“图形”等名词，而定义这些名词，就需要另外一些名词，这样就必然有一些名词无法被定义这些无法被定义的名词，应是人们在日常生活中所熟悉的，因而容易区分，也是不需要定义的，如体、面、线、点等，都是不需要定义的名词 4. 定义是推理、论证的依据之一，应在准确理解的基础上熟记，想象出它所刻画的图形情景，不要死记语句 5. 公理、定理，都是在它的题设条件下，一定可以得到它所指出的结论的命题，因而是真命题平面几何的许多定理，还必须满足一个形式上并未写出的条件在同一平面内，否则，结论就不成立如“垂直于同一直线的两直线平行”，必须在同一平面内才成立，等等在学习平面几何阶段，都是指在同一平面内失误与防范 1计算直线条数、线段条数或角的个数等题目，一方面考查了对几何概念的准确掌握，另一方面也考查了思维的严密性数数问题的关键是把问题分为不重不漏的有限种情况，一一列举出各种情况加以解决，最终达到解决整个问题的目的 例如：平面内三条直线可以把平面分成几部分？ 分析与解：这道题的答案取决于三条直线的位置关系，如图： 第一种是三条直线没有交点，可将平面分成4部分；第二种是三条直线交于一点，可将平面分成6部分；第三种是三条 直线有两个交点，可将平面分成6部分；第四种是三条直线两两相交，有三个交点，可将平面分成7部分 在几何问题中，如果不善于将问题进行全面讨论、合理分类，做到不重不漏，就很难得到完整的答案，导致“漏解”的错误 2几何学的突出特点之一就是逻辑推理方法的运用，利用推理的方法得出结论学习推理应注重以下两个方面：一是要对问题进行清晰的分析，这是解题的关键；二是在推理过程中，推理的每一步都必须有科学依据完成考点跟踪训练20
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