资源描述
课时分层训练(五十四)双曲线A组基础达标一、选择题1(2017石家庄一模)已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0),(4,0),则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1A已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0),(4,0),则c4,a2,b212,双曲线方程为1,故选A.2(2018合肥调研)双曲线1(a0,b0)的一条渐近线与直线x 2y10垂直,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.1B由已知得2,所以e,故选B.3已知点F1(3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为()A.1(y0)B.1(x0)C.1(y0)D.1(x0)B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为1(x0,a0,b0),由题设知c3,a2,b2945.所以点P的轨迹方程为1(x0)4(2018济南一模)已知双曲线1(a0,b0)上一点到两个焦点的距离分别为10和4,且离心率为2,则该双曲线的虚轴长为() 【导学号:79140296】A3B6C3D6D由题意得2a1046,解得a3,又因为双曲线的离心率e2,所以c6,则b3,所以该双曲线的虚轴长为2b6,故选D.5(2017天津高考)已知双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21Dx21D根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线yx上)由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60,c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上,tan 60.又a2b24,a1,b,双曲线的方程为x21.故选D.二、填空题6过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|_.4双曲线的右焦点为F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x2,渐近线方程为x20,将x2代入x20,得y212,y2,|AB|4.7设双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|AF2|的最小值为_10由双曲线的标准方程为1,得a2,由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4,|BF2|BF1|4,所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因为|AF1|BF1|AB|,当|AB|是双曲线的通径时,|AB|最小,所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810.8(2017全国卷)已知双曲线C:1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点若MAN60,则C的离心率为_. 【导学号:79140297】如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为yx,即bxay0,点A到l的距离d.又MAN60,MANAb,MAN为等边三角形,dMAb,即b,a23b2,e.三、解答题9已知椭圆D:1与圆M:x2(y5)29,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0),F2(5,0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c5.设双曲线G的方程为1(a0,b0),渐近线方程为bxay0且a2b225,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3,得a3,b4,双曲线G的方程为1.10已知双曲线的中心在原点,左,右焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,)(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:120.解(1)e,可设双曲线的方程为x2y2(0)双曲线过点(4,),1610,即6,双曲线的方程为x2y26.(2)法一:由(1)可知,双曲线中ab,c2,F1(2,0),F2(2,0),k,k,kk.点M(3,m)在双曲线上,9m26,m23,故kk1,MF1MF2,即120.法二:由证法一知1(32,m),2(23,m),12(32)(32)m23m2,点M在双曲线上,9m26,即m230,120.B组能力提升11(2017康杰中学)过双曲线1(a0,b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点,若OAB的面积为,则双曲线的离心率为()A.B.C. D.D由题意可求得|AB|,所以SOABc,整理得.因此e.12(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A,B两点若|AF|BF|4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_yx设A(x1,y1),B(x2,y2)由得a2y22pb2ya2b20,y1y2.又|AF|BF|4|OF|,y1y24,即y1y2p,p,即,双曲线的渐近线方程为yx.13(2018湖南五市十校联考)已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连接BP交椭圆于点M,连接PA并延长交椭圆于点N,若,求四边形ANBM的面积. 【导学号:79140298】解(1)设椭圆方程为1(ab0),则根据题意知双曲线的方程为1且满足解方程组得所以椭圆的方程为1,双曲线的方程为1.(2)由(1)得A(5,0),B(5,0),|AB|10,设M(x0,y0),则由得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x05, 2y0)将M,P坐标代入椭圆和双曲线方程,得消去y0,得2x5x0250.解得x0或x05(舍去)所以y0.由此可得M,所以P(10,3)当P为(10,3)时,直线PA的方程是y(x5),即y(x5),代入1,得2x215x250.所以x或5(舍去),所以xN,xNxM,MNx轴所以S四边形ANBM2SAMB21015.
展开阅读全文