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动动 点点 问问 题题 探探 究究中考中考数学专题复习数学专题复习2424题题-动点问题动点问题 最后一题并不可怕，更要有信心！最后一题并不可怕，更要有信心！ 图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题-动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被不要被“动动”所迷惑，而是要在所迷惑，而是要在“动动”中求中求“静静”，化，化“动动”为为“静静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的确定的关系式关系式，就能找到解决问题的途径。，就能找到解决问题的途径。 本节课重点来探究动态几何中的第一种类型本节课重点来探究动态几何中的第一种类型-动点动点问题。问题。1、如图：已知、如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30DCBA(1)点点P从点从点A沿沿边边AB向点向点B运动，速度为运动，速度为1cm/s,时间为时间为t(s).7430P当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？若若PBC为等腰三角形为等腰三角形则则PB=BC7-t=4t=3如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？PDCBA74(2)若点若点P从点从点A沿沿 AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s。射线射线小组合作交流讨论PDCBA74当BP=BC时（锐角)PDCBA7430当CB=CP时E32P当PB=PC时DCBA74PEDCBA74当BP=BC时（钝角）1、如图：已知、如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30PDCBA74当BP=BC时PDCBA7430当CB=CP时E32P当PB=PC时DCBA74PEDCBA74当BP=BC时(2)若点若点P从点从点A沿射线沿射线AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s。当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程(2)若点若点P从点从点A沿射线沿射线AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s。当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？PDCBA74当BP=BC时(钝角)当BP=BC时(锐角)当CB=CP时当PB=PC时t=3或11或7+ 或 /3 +7 时 PBC为等腰三角形为等腰三角形34341.如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30DCBA（3）当）当t7时，是否存在某一时刻时，是否存在某一时刻t,使得线段使得线段DP过线段过线段BC的三等分点？的三等分点？PEPEDCBA解决动点问题的好助手：数形结合定相似比例线段构方程（1）当）当t为何值时，为何值时，PQBC?CBAPDQ2.在在RtABC中，中，C=90，AC=6cm， BC=8cm， 点点P由点由点A出发出发 ，沿，沿AC向向C运动，速度为运动，速度为2cm/s，同时同时 点点Q由由AB中点中点D出发，沿出发，沿DB向向B运动，速度为运动，速度为1cm/s，连接连接PQ，若设运动时间为，若设运动时间为t(s) (0t 3)若若PQBC62105tt715 tACAPABAQ则则 AQPABC2t5+t(2)设设 APQ的面积为的面积为y( )，求，求y与与t之间的函数关系。之间的函数关系。2cmMN2.在在RtABC中，中，C=90，AC=6cm， BC=8cm， 点点P由点由点A出发出发 ，沿，沿AC向向C运动，速度为运动，速度为2cm/s，同时同时 点点Q由由AB中点中点D出发，沿出发，沿DB向向B运动，速度为运动，速度为1cm/s，连接连接PQ，若设运动时间为，若设运动时间为t(s) (0t 3)CBAPDQCBAPDQNCBAPDQttytty4545442212AQN ABC1058tQNtQN544 ABAQBCQN相似法相似法2.(2)NCBAPDQtQN544 90CABCRt中，在108AQQN1085tQN108SinA三角函数法三角函数法2.(2)ttytty45454422122.(3)是否存在某一时刻是否存在某一时刻t，使，使 APQ的面积与的面积与 ABC的面积的面积比为比为715？若存在，求出相应的？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由。的值；不存在说明理由。当当t=2时，时， APQ的面积与的面积与 ABC的面积比为的面积比为715246821 ABCS157 ABCSy241574542tt01452tt0)2)(7(tt2,(7tt舍去）CBAPDQ计算要仔细计算要仔细2.（4）连接）连接DP,得到得到QDP，那么是否存在某一时刻，那么是否存在某一时刻t，使得点，使得点D在线段在线段QP的中垂线上？若存在，求出相应的的中垂线上？若存在，求出相应的t的值；若不存在，的值；若不存在，说明理由。说明理由。点点D在线段在线段PQ的中垂线上的中垂线上 DQ=DP22DPDQ222)32(4tt0251232tt方程无解。方程无解。 即点即点D都不可能在线段都不可能在线段QP的中垂线上。的中垂线上。 = 1560GCBAPDQt2t34. 4.4.（2009中考）中考）例例1 1、如图，已知在直角梯形、如图，已知在直角梯形ABCDABCD中，中，ADBC ADBC ，B=90B=90，AD=24AD=24cmcm，BC=26BC=26cmcm，动点，动点P P从点从点A A开始沿开始沿ADAD边向点边向点D D，以以1 1cmcm/ /秒的速度运动，动点秒的速度运动，动点Q Q从点从点C C开始沿开始沿CBCB向点向点B B以以3 3厘米厘米/ /秒的秒的速度运动，速度运动，P P、Q Q分别从点分别从点A A点点C C同时出发，当其中一点到达端点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t t秒，求：秒，求：1 1）t t为何值时，四边形为何值时，四边形PQCDPQCD为平行四边形为平行四边形2) 2) t t为何值时，为何值时，等腰梯形等腰梯形？1t3t24264(1)解： 要使四边形PQCD为平行四边形，只要QC=PD 3t=24-t t=6，当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形 1t3t2426由题意，只要PQ=CD，则四边形PQCD为等腰梯形FE过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F: 4.2)解： t3t则EF=PD，QE=FC=2 t=7，当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。3t-4=24-t455545.如图如图(1):在梯形在梯形ABCD中中: AD=BC=5cm, AB=4cm, CD=10cm,BEAD。如图如图(2):若整个若整个BEC从点从点E以以1cm/s的速度沿射线的速度沿射线CD平移，同时，平移，同时， 点点P从点从点D出发，以出发，以1cm/s的速度沿的速度沿DA向点向点A运动，时间为运动，时间为t（0t4）EBADCBEPt为何值时，为何值时，PDE 为直角三角形？为直角三角形？EDCBA6PEBCEDBAPEBCEDBAt534tt534 ttt=1.5t=2.545554EDCBAF4334-tt4-t小结小结：CBAPDQMCBAPDQPEBCEDBAPEBCEDBA2、平行、平行3、求面积、求面积4、平行四边形平行四边形DCBA1、比例、比例 6、直角三角形、直角三角形化动为静化动为静 分类讨论分类讨论 数形结合数形结合构建函数模型、方程模型构建函数模型、方程模型思思路路5、等腰梯形、等腰梯形 动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法:首先根据题意理清题目中两个变量X、Y及相关常量。第二找关系式。把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，再解出。第三，确定自变量范围，画相应的图象。 必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。小结小结：收获一：化动为静收获一：化动为静收获二：分类讨论收获二：分类讨论收获三：数形结合收获三：数形结合收获四：构建函数模型、方程模型收获四：构建函数模型、方程模型3、（、（2009中考）如图在边长为中考）如图在边长为2cm的正方形的正方形ABCD中，中，点点Q为为BC边的中点，点边的中点，点P为对角线为对角线AC上一动点，连接上一动点，连接PB、PQ,则则 周长的最小值是周长的最小值是-cm (结果不取近结果不取近似值）似值）A D PB Q C
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