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能 力 提 升一、选择题1(2013烟台模拟)若M为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，则ABC为()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案B解析由()(2)0，可知()0，设BC的中点为D，则2，故0，所以.又D为BC中点，故ABC为等腰三角形2(2013福建文)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5D10答案C解析本题考查向量的坐标运算，数量积、模等由题意知AC，BD为四边形对角线，而1(4)220ACBD.S四边形ABCD|5.3若向量(2,2)、(2,3)分别表示两个力F1、F2，则|F1F2|为()A(0,5) B(4，1)C2 D5答案D解析F1F2(2,2)(2,3)(0,5)，|F1F2|5.4速度|v1|10 m/s，|v2|12 m/s，且v1与v2的夹角为60，则合速度的大小是()A2 m/s B10 m/sC12 m/s D2m/s答案D解析|v|2|v1v2|2|v1|22v1v2|v2|210021012cos60144364.|v|2(m/s)5一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2 B2 C2 D6答案A解析F1F2F30，F3F1F2，|F3|F1F2|2.6已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行km”，则向量ab表示()A向东北方向航行2 kmB向北偏东30方向航行2 kmC向北偏东60方向航行2 kmD向东北方向航行(1)km答案B解析a与b的夹角为90，则ab0，则|ab|2，a(ab)|a|2ab1.设a与ab的夹角为，则cos，60，即ab表示向北偏东30方向航行2 km.二、填空题7某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30m到达点B，则此人的位移的大小是_m，方向是东偏北_答案6060解析如图所示，此人的位移是，且，则|60(m)，tanBOA.BOA60.8(浙江高考)若平面向量、满足|1，|1，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_答案，解析以，为邻边的平行四边形的面积为：S|sin|sin，所以sin，又因为|1，所以，即sin且0，所以，9(广东韶关模拟)作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|3，|F2|5，则F1F2的大小为_答案解析|F1F2|2(F1F2)2F2F1F2F32235cos5219，所以|F1F2|.三、解答题10如图所示，已知ABCD中，AB3，AD1，DAB，求对角线AC和BD的长解析设a，b，a与b的夹角为，则|a|3，|b|1，.ab|a|b|cos.又ab，ab，|，|.AC，DB.11已知：ABCD中，ACBD，求证：四边形ABCD是矩形证明设a，b，由于四边形ABCD是平行四边形，ab，ba.ACBD，|ab|ba|.|ab|2|ba|2.|a|22ab|b|2|b|22ab|a|2.ab0.ab，即.ABAD.四边形ABCD是矩形12今有一小船位于d60 m宽的河边P处，从这里起，在下游l80 m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？(sin37)解析如图，由题设可知，船的实际速度vv划v水，其方向为临界方向.则最小划速|v划|v水|sin，sin，37.最小划速应为v划5sin53(m/s)当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127.
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