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第58课 排列与组合最新考纲内容要求ABC排列与组合1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同的元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合并成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性质(1)0！1；An!(2)CC；CCC1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式CC，则xm成立()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知，则C_.28，化简，得m223m420，解得m2或m21(舍去)CC28.3方程3A2A6A的解为_x5由排列数的定义可知，解得x3，且xN.原方程可化为3x(x1)(x2)2x(x1)6x(x1)即3x217x100，解得x5或x(舍)原方程的解为x5.4(2016四川高考改编)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_72第一步，先排个位，有C种选择；第二步，排前4位，有A种选择由分步计数原理，知有CA72(个)5某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为_49法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有CC种方法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类计数原理，共有CCCC49种选法法二(间接法)：从9人中选3人有C种方法，其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选排方法有CC843549种排列应用题(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种(1)216(2)36(1)第一类：甲在左端，有A54321120种方法；第二类：乙在最左端，有4A4432196种方法，所以共有12096216种方法(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC26336种不同的摆法规律方法1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置对于分类过多的问题，可利用间接法2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法变式训练1在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有_种. 【导学号：62172318】96程序A的顺序有A2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有AA48种结果，由分步乘法计数原理，实验编排共有24896种方法组合应用题(1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_种(2)(2016全国卷改编)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有_个(1)66(2)14(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，不同的取法共有CCCC66种(2)由题意知：当m4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a10，a81.不考虑限制条件“对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C20(种)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的个数少于1的个数的情况有：若a2a31，则有C4(种)；若a21，a30，则a41，a51，只有1种；若a20，则a3a4a51，只有1种综上，不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个规律方法1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解2第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用变式训练2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_472第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC264种第二类，不含有红色卡片，不同的取法C3C22012208种由分类计数原理，不同的取法共264208472种排列与组合的综合应用角度1简单的排列与组合的综合问题用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有_个120当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有CA48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有CA72个，所以比40 000大的偶数共有4872120个角度2分组分配问题将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有_种. 【导学号：62172319】1505名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式当5名学生分成2,2,1时，共有CCA90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有CA60种方法由分类加法计数原理知共有9060150种保送方法规律方法1.解排列与组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)对于排列与组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列2(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”思想与方法1解有附加条件的排列与组合应用题的三种思路：(1)特殊元素、特殊位置优先原则(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一(3)解排列与组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配2求解排列与组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘”易错与防范1易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关2计算A时易错算为n(n1)(n2)(nm)3易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数4解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义5对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏课时分层训练(二)A组基础达标(建议用时：30分钟)1(2016江苏高考)(1)求7C4C的值；(2)设m，nN，nm，求证：(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C.解(1)7C4C740.(2)证明：当nm时，结论显然成立当nm时，(k1)C(m1)(m1)C，km1，m2，n.又因为CCC，所以(k1)C(m1)(CC)，km1，m2，n.因此，(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m1)(CC)(CC)(CC)(m1)C.2某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有多少种？ 【导学号：62172320】解赠送1本画册，3本集邮册需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有C种方法赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有C种方法由分类加法计数原理，不同的赠送方法有CC10种3将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有多少种？解1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有CCA种，由分类计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为CCACCA36种4男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员解(1)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246(种)法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种所以“至少有1名女运动员”的选法为CC246(种)(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法不选女队长时，必选男队长，共有C种选法其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共有CC种选法，所以既有队长又有女运动员的选法共有CCC191(种)57名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)老师不站中间，女生甲不站左端. 【导学号：62172321】解(1)两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有AA1 440种站法(2)4名男生互不相邻，应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有AA144种站法(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A720种站法当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列共有A553 000种站法根据分类计数原理知共有7203 0003 720种站法6用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？解个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有CACAC90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有CACCCAC234(个)，所以共有90234324(个)B组能力提升(建议用时：15分钟)1设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球放入五个盒子内(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解(1)CA1 200种；(2)A1119种(3)满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种；第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法，2C20种故满足条件的放法数为：1102031种2(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A24种(2)法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数，分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C242种；若分配到3所学校有C35种共有7423584种方法法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C84种不同方法所以名额分配的方法共有84种3(2017南京模拟)已知整数n3，集合M1,2,3，n的所有含有3个元素的子集记为A1，A2，A3，AC，设A1，A2，A3，AC中所有元素之和为Sn.(1)求S3，S4，S5，并求出Sn；(2)证明：S3S4Sn6C.解(1)当n3时，集合M只有1个符合条件的子集，S31236，当n4时，集合M每个元素出现了C次S4C(1234)30.当n5时，集合M每个元素出现了C次，S5C(12345)90.所以 ，当集合M有n个元素时，每个元素出现了C，故SnC.(2)证明：因为SnC6C.则S3S4S5Sn6(CCCC)6(CCCC)6C.4(2017苏州期末)如图581，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x1，x2，xk，其中xi0,1(1ik)，其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x0.图581(1)当k4时，若要求x0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？(2)当k11时，若要求x0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？ 解(1)当k4时，第4层标注数字依次为x1，x2，x3，x4，第3层标注数字依次为x1x2，x2x3，x3x4，第2层标注数字依次为x12x2x3，x22x3x4，所以x0x13x23x3x4.因为x0为2的倍数，所以x1x2x3x4是2的倍数，则x1，x2，x3，x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1C18种标注方法. (2)当k11时，第11层标注数字依次为x1，x2，x11，第10层标注数字依次为x1x2 ，x2x3，x10x11，第9层标注数字依次为x12x2x3，x22x3x4，x92x10x11，以此类推，可得x0x1Cx2Cx3Cx10x11.因为CC45，CC120，CC210，C252均为3的倍数，所以只要x1Cx2Cx10x11是3的倍数，即只要x1x2x10x11是3的倍数，所以x1，x2，x10，x11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个x3，x4，x9可以取0或1，这样共有(1C)27640种标注方法
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